【正文】 C ??22 ax ?a?xa目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,時當(dāng) ax ?? 令 ,ux ?? ,au ?則 于是 ? ??? 22d au u 122ln Cauu ?????122ln Caxx ??????1222ln Caxxa ??????)ln2( 1 aCC ??目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式 ? ??? 21)1( 22 ta221a例 18. 求 .d422? ? xx xa解 : 令 ,1tx ? 則 原式 ?? tt d12?? ttta d)1( 2122? ???42112tta ?Cata ????2223)1( 23當(dāng) x 0 時 , 類似可得同樣結(jié)果 . )1(d 22 ?ta目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié) : 1. 第二類換元法常見類型 : ,d),()1 ? ? xbaxxf n令 n bxat ??,d),()2 ? ?? xxf n dxc bxa令 n dxc bxat ???,d),()3 22? ? xxaxf 令 tax s in? 或 tax c o s?,d),()4 22? ? xxaxf 令 tax ta n? 或 tx sh?,d),()5 22? ? xaxxf 令 tax s e c? 或 tax ch?第四節(jié)講 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7) 分母中因子次數(shù)較高時 , 可試用 倒代換 ,d)()6 ? xaf x令 xat ?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 19. 求 解 : 令 1 ,tx ? 得 原式 ttat d122? ???? ???? 1 )1(d2 1 22222 tataa Ctaa ???? 11 222目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ttttd)1(1 2132??? ?例 20. 求 解 : 原式 ? ???? 1)1()1(d23 xxx令 tx 11 ??ttt d1 22? ???ttt d11)1(22? ? ??? tt d1 2? ?? tt d1 1 2? ??例 16 ttt a rc s in1 21221 ??? Ct ?? a r c s inCxx xx ??? ?? ? 1121)1( 221 a rc s i n22例 16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí) 1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便 ? 令 令 令 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 已知 求 解 : 兩邊求導(dǎo) , 得 則 )1( xt ?令1( 1)??? (代回原變量 ) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié) 由導(dǎo)數(shù)公式 vuvuuv ?????)(積分得 : xvuxvuuv dd ???? ??分部積分公式 xvuuvxvu dd ?? ????或 uvvuvu dd ?? ??1) v 容易求得 。 nm? 時 , 為真分式 有理函數(shù) 相除 多項式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式為 kk qxpxNxMaxA)(。 循環(huán)解出 。s in1)( xB ?的導(dǎo)函數(shù)為 則 的一個原函數(shù) 是 ( ) . 。 — 被積表達式 . — 積分變量 。 容易計算 . 分部積分法 第 四 章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 求 解 : 令 ,xu ? ,c o s xv ??則 ,1??u xv sin?∴ 原式 xx sin? ?? xx ds inCxxx ??? c o ss i n思考 : 如何求 提示 : 令 ,2xu ? ,s in xv ?? 則 原式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 求 .dln xxx?解 : 令 ,ln xu ? xv ??則 ,1xu ?? 221 xv ?原式 = xx ln21 2 ?? xx d21Cxxx ??? 22 41ln21目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 3. 求 .da rc t a n xxx?解 : 令 ,a r c ta n xu ? xv ??則 ,1 1 2xu ??? 221 xv ?∴ 原式 xx a rc t a n21 2? ? ?? xxx d12122xx a rc t a n21 2? ? ??? xx d)1 11(21 2xx a rc t a n21 2? Cxx ??? )a rc t a n(21目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 4. 求 .ds i ne xxx?解 : 令 ,sin xu ? xv e?? , 則 ,c o s xu ?? xv e?∴ 原式 xx s ine? ?? xxx dc o se再令 ,c o s xu ? xv e?? , 則 ,s in xu ??? xv e?xx s ine? ??? xxx xx ds i nec o se故 原式 = Cxxx ?? )c o s( s ine21說明 : 也可設(shè) 為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型 必須一致 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解題技巧 : 把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 , 按 “ 反對冪指三” 的 順序 , 前者為 后者為 u .v?例 5. 求 解 : 令 ,a rc c o s xu ? 1??v , 則 ,21 1 xu ???? xv?原式 = xx a rc c o s? ?? xxx d21xx a r c c o s? )1d()1( 2221 21? ??? ? xxxx a r c c o s? Cx ??? 21反 : 反三角函數(shù) 對 : 對數(shù)函數(shù) 冪 : 冪函數(shù) 指 : 指數(shù)函數(shù) 三 : 三角函數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 6. 求 解 : 令 ,c o sln xu ? xv 2c o s1?? , 則 ,ta n xu ??? xv tan?原式 = xx c o slnta n ? ?? xx dt a n 2xx c o slnta n ?? ? ?? xx d)1(se c 2xx c o slnta n ?? Cx ??? ta n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 7. 求 解 : 令 ,tx ? 則 ,2tx ? ttx d2d ?原式 tt t de2??? tt e2?Cxx ??? )1(e2,tu ? tv e??)et? C?令 tt e(2??tt de??目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 8. 求 解 : 令 ,22 axu ?? ,1??v 則 ,22 ax xu ??? xv?22 axx ???? xaxx d22222 axx ?? ????? xaxaax d22222 )(22 axx ?? ? ?? xax d22 ??? 22d2axxa∴ 原式 = 2221 axx ? Caxxa ???? )(ln2222??? xax d22目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 9. 求 解 : 令 ,)(122 naxu ?? ,1??v 則 ,)(2122 ?????naxxnuxv?nI? xaxxnn d)(2 1222? ???naxx)( 22 ?? xaxn n d)(2 122? ???naxx)( 22 ?? nIn2? 122 ?? nIan得遞推公式 nnn IannaxxanI 22221212)(21 ?????222 )( aax ??naxx)( 22 ??目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明 : 遞推公式 已知 CaxaI ?? a rc t a n11 利用遞推公式可求得 .nI例如 , ?3I 2222 )(41axxa ? 2243 Ia?2222 )(41axxa ?? ?243a? 22221axxa ? 1221 Ia? ?2222 )(41axxa ?? 2483axxa ?? Caxa ?? a rc ta n835nnn Iannax