【正文】 )( 2 ???? )04,( 2 ??? ? qpk N若干部分分式之和 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 1. 將下列真分式分解為部分分式 : 解 : (1) 用拼湊法 22 )1()1(1??? xxxx 2)1(1??x )1(1?? xx2)1(1??x )1( ?? xx2)1(1??x 11?? x x1?)1( ?? xx)1( ?? xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 用賦值法 6532 ???xxx)3)(2(3????xxx2?? xA3?? xB原式???? )2( xA 2?x 233 ???? xxx 5?原式??? )3( xB 3?x 323 ???? xxx 6?故 25??? x原式 36?? x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 混合法 ??? )1)(21(12xx ?? xA21 2xCBx??原式??? )21( xA21??x 54?C?? 541215461 CB ??? 52??B51?C原式 = x21451??????????2112xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四種典型部分分式的積分 : CaxA ??? ln)1( ?n CaxnA n ???? ?1)(1? ? xax A ? ? xax A n d)(.2? ?? ? xqxpx NxM 2? ?? ? xqxpx NxM n d)(.4 2變分子為 )2(2 pxM ? 2 pMN ??再分項(xiàng)積分 px qpxx ?? ???2 )(2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 2. 求 解 : 已知 )1)(21(12xx ?? ???? 51x214? 212xx?? ????? 211x? ???? xx21 )21(d52原式 ? ??? 221)1(d51xx??? 21d5 xxx21ln52 ?? )1(ln51 2x?? Cx ?? a rc t a n51例 1(3) 例 1(3) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 3. 求 解 : 原式 xxx d322? ??? 3)22(21 ??x? ?? ??? 32 )32d(21 22xxxx32ln21 2 ??? xx? ?? ?? 22 )2()1( )1d(3 x xCx ??? 2 1a rc t a n23思考 : 如何求 提示 : 變形方法同例 3, 并利用書 P363 公式 20 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 4. 求 解 : 原式 ? ??? xxx d)22( 22)22( 2 ?? xx 22( ?? x? ??? 1)1( d 2x x? ?? ??? 222)22()22d(xxxx)1a r c ta n ( ?? x 2212 ??? xx C?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例 設(shè) 表示三角函數(shù)有理式 , xxxR d)c o s,(sin?令 2tan xt ? 萬(wàn)能代換 (參考下頁(yè)例 7) t 的有理函數(shù)的積分 1. 三角函數(shù)有理式的積分 則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 5. 求 .d)c o s1(sinsin1??? xxxx解 : 令 ,2ta n xt ? 則 222222c o ssi nc o ssi n2si nxxxxx??222t a n1t a n2xx??212tt??22222222c o ssi nsi nc o sc o sxxxxx???2222t an1t an1xx???2211tt????xd tt d1 2 2?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ? ?? xxx x d)c o s1(sin sin1?? 2121tt??212tt? )1( 2211tt??? tt d212?? ttt d1221 ????????? ?????21 221t t2? tln? C????2ta n41 2 x?2tanx? Cx ??2t a nln21212s i nttx??2211c o sttx ??ttx d1 2d 2??目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 6. 求 解 : ?? 原式xx d2cos1222 ta n bxa ? ? ?? 222)(t a nt a nd1abxxa)t a na rc t a n (1 xbaba? C?說(shuō)明 : 通常求含 xxxx c o ss inc o s,s in 22 及的積分時(shí) , xt tan? 往往更方便 . 的有理式 用代換 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 7. 求 .)0(d)c o ssin(12 ??? baxxbxa解法 1 xt ta n?令 原式 ?? d x2)ta n( bxa ?x2cos? ?? 2)( d bta t Cbtaa ???? )( 1Cxbxaa x ???? )c o ss i n( c o s目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xbxa c o ss in ?例 7. 求 )0(d)c o ssin(12 ??? baxxbxa解法 2 ?? c o s,s in 2222 ???? babbaa令 ????? 22 ba??????xbabxbaa c o ss i n2222?sin ?cos原式 ? ??? )(c o sd1222 ?xxbaCxba ???? )t a n (1 22 ?Cbaxba ???? )a rc t a nt a n (1 22目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 ,d),(? ? xbaxxR n令 n bxat ??,d),(? ?? xxR n dxc bxa令 n dxc bxat ???被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換 化為有理函數(shù)的積分 . 例如 : ,d),(? ?? xbaxbaxxR mn,p bxat ??令 ., 的最小公倍數(shù)為 nmp目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 8. 求 .21d3? ?? xx解 : 令 ,23 ?? xu 則 原式 ? ?? u123u ud uuu d11)1(3 2?????uuu d)1 11(3 ???? ??3? 221u u? u?? 1ln ? C目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 9. 求 解 : 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的 最小公倍數(shù) 6 , ,6tx ? 則有 原式 ? ?? 23 tt tt d6 5tttt d)1 11(6 2? ??????6? 331t 221 t? t? t?? 1ln ? C?令 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 10. 求 .d11? ? xx xx解 : 令 ,1 x xt ?? 則 原式 ? ??? tt )1( 2 ttt d)1(222 ???tt t d12 22? ??? t2?? 11ln ??? tt C?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1. 可積函數(shù)的特殊類型 有理函數(shù) 分解 多項(xiàng)式及部分分式之和 三角函數(shù)有理式 萬(wàn)能代換 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù) 三角代換 根式代換 2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出 , 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡(jiǎn)便計(jì)算 . 簡(jiǎn)便 , 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí) ? 解 : 1. ? ?? 23233)()(d31xax原式 Caxaxa????33333 ln61 Caxaxa???33