【正文】 (2) 當 t1t2= 和 t1t2= 時的二維聯(lián)合概率密度函數(shù) 。求 1）由 協(xié)方差能否求出它們各自的均值？ ? ? ? ?X t Y t和2）它們的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間；并判斷哪個過程的起伏速度快。 τ0 越小， ρ(τ) 隨 τ的 增加降低越快 ,隨機過程的起伏越快； τ0 越大，隨機過程的起伏越慢。 定義 1： ? ?0 ?? ?定義 2：用矩形等效形式定義相關(guān)時間 ? ?0cX d? ? ? ??? ?同相關(guān)系數(shù)一樣，是相關(guān)程度的度量。 工程上，近似認為只要 ρX(τ) 小于某值，則這兩個時刻的 RV就近似不相關(guān)了 。 ()R?③ 若信號 不含有任何周期分量，則隨機變量 與 的關(guān)聯(lián)程度會隨著時間間距的增大而逐漸減小，直至無關(guān)。式 指明了這點； ()Xt ()R?2( ) ( )R C m????② 若信號 含有周期分量，則 將含有同樣周期的周期分量。 ? ?, [ ( ) ( ) c o s ( ) ]( ) [ c o s ( ) ] 0XYXR t t E X t X t tR E t? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?作業(yè)： 45/117 2022/2/14 平穩(wěn)信號的相關(guān)函數(shù) 基本性質(zhì) ① 相關(guān)函數(shù)是實偶函數(shù) ( ) ( ) ( ) ( )R R C C? ? ? ?? ? ? ?性質(zhì) 1：若 { X(t) , t∈ T }是實平穩(wěn)信號，則 2( ) ( )C R m????1 2 2 1( ) ( , ) ( , ) ( )R R t t R t t R??? ? ? ?證明： 46/117 2022/2/14 ? ? ? ?? ? ? ?2c os , [ 0 , 2 ]2 c osXX t a t URa??? ??? ? ? ??例： ? ? ? ? ? ?2, . . XX t C C is R V R E C?? ? ? ? 常數(shù)關(guān)聯(lián)性（內(nèi)在聯(lián)系）在同一時刻最緊密， X(t)的相關(guān)函數(shù)為周期函數(shù)時可能取 “ ＝ ” 關(guān)于相對時間 τ的周期性 ② 相關(guān)函數(shù)在原點處非負，并達到最大，即 ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )R R C C????2( 0) [ ( ) ] 0R E X t??47/117 2022/2/14 ③ 若 ，則 是周期為τ1 的周期函數(shù)，即對任意 τ有 1( ) ( )RR? ? ???11( ) (0 ) , 0RR???? ()R ?關(guān)于相對時間 τ的周期性 ④ 若 且 τ1 與 τ2不公約，則 為常數(shù)； 1 2 1 2( ) ( ) (0 ) , 0 , 0R R R? ? ? ?? ? ? ?()R ?⑤ 若 在原點處連續(xù)，則它處處連續(xù)； )(?R此時， X(t)稱為 周期平穩(wěn)信號 。 且： 注意 ：如果振蕩不是隨機相位的，則輸出信號可能不是平穩(wěn)的，輸入與輸出信號不會正交，也不會聯(lián)合廣義平穩(wěn)。 )X Y X YX Y X YF x y t t F x yf x y t t f x y????12tt? ??43/117 2022/2/14 定義 ：廣義平穩(wěn)隨機過程 與 ，如果 ()Xt ()Yt12( , ) ( , ) ( )X Y X Y X YR t t R t t R??? ? ?2. 聯(lián)合廣義平穩(wěn)性 JWSS 則稱 X(t)與 Y(t)是聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機信號，記作 JWSS . 。 )( , 。 , , , , , )X Y n m n mX Y n m n mf x x y y t t s sf x x y y t u t u s u s u? ? ? ? ? 0 , ( ) : SS S. R . S. 0 , ( ) : SS S. R . S.n Y tm X t??當. ( ) ( ) ( ) . . . ( ) . .X t Y t J S S SX t S S S R SY t S S S R S?? ??與是是是即： 42/117 2022/2/14 1212( , ) ( )( , ) ( )X Y X YX Y X YR t t RC t t C???? 性質(zhì)： 1212( , 。 , , , , , )X Y n m n mX Y n m n mF x x y y t t s sF x x y y t u t u s u s u? ? ? ? ?Joint 41/117 2022/2/14 上式等同于： 1 1 1 11 1 1 1( , , , , , 。 1 1 1 11 1 1 1( , , , , , 。 2 2 c o s 3 s in3 3 3f x t x x t x t? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?221 2 1 2 1 2001 2 1 1 2 21 1 2 2, 。 , , 。 ()Xt ()Ytco s ( )t? ??35/117 2022/2/14 解：由上題可知， . 是 WSS的 依題意： ( ) ( ) c o s ( )Y t X t t?? ? ?[ ( ) ] [ ( ) ] [ c o s( ) ]1c o s( ) 02XE Y t E X t E tm t d???? ? ???? ? ? ?? ? ? ??c os( )t? ??常數(shù) 36/117 2022/2/14 相關(guān)函數(shù)可以表示為 由于均值是常數(shù)且相關(guān)函數(shù)僅與 τ有關(guān)， Y(t)是廣義平穩(wěn)的。 , , )X n nX n nf x x t tf x x t u t u? ? ?28/117 2022/2/14 補充例：判斷如下四個正弦隨機信號是否廣義平穩(wěn)？ ( ) c os ( )( ) c os ( )( ) c os ( )( ) c os ( )X t a tX t A tX t a tX t A t????? ? ???? ? ?? ? ? ?? ?, , , . . ,~ 0 , 2a A R VU??????為常數(shù)， , 為相互獨立的式中： ? ?, ~ 0 ,U ?? ,0A ?29/117 2022/2/14 ? ? ? ? 201( ) c o s( ) = c o s( ) 02E X t E a t a t d?? ? ? ??? ? ? ? ??( 1 ) ( ) c o s ( )X t a t?? ? ? 常數(shù) * 可證：隨機相位余弦波也是嚴平穩(wěn)的 . ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?21 2 1 2 1 221 2 1 2212, c o s( ) c o s( )c o s( ) + c o s( + 2 )2c o s2XXR t t E X t X t E a t taE t t t tat t R??? ? ? ?????? ? ? ? ? ????? ??? ? ?? ? ? RX(t1,t2)與 t1,t2 的絕對位置無關(guān)，只與其相對位置 τ有關(guān) 故， (t) WSS 30/117 2022/2/14 ( 2 ) ( ) c o s ( )X t A t???? 均值是 t的函數(shù)，故 (t)不是 WSS的 1t 2t1 t ? ? ? ?? ?( ) c os( )c os( )E X t E A tE A t??????? ? ?(t)也不是 SSS的 A 0 31/117 2022/2/14 均值是 t的函數(shù)，故 (t)不是 WSS的 ( 3 ) ( ) c o s ( )X t a t ?? ? ?(t)也不是 SSS的 ? ? ? ?? ?00( ) c os( )1c os( ) sin( ) |sin( ) sinE X t E a taa t d ttatt???? ? ? ? ???? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?, ~ 0 ,U ??32/117 2022/2/14 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?2020( 4 ) ( ) c o s ( )( ) c o s ( ) c o s ( )c o s ( )c o s ( ) 0212X t A tE X t E A t E A E tE A t d dEAftfdd????? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?????????常數(shù) 33/117 2022/2/14 ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 1 221221 2 1 22, ( ) ( )c os( ) c os( )1c os ( ) c os( 2 )21c os2XXR t t E X t X tE A t tE A E t t t tE A E R?????? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ???故， (t) WSS RX(t1,t2)只與其相對位置 τ有關(guān) 34/117 2022/2/14 例 廣義平穩(wěn)隨機信號 X(t)通過如圖所示的乘法調(diào)制器得到隨機信號 Y(t)，圖中 ω是確定量，Θ是 [π,+π ]均勻分布的隨機相位， Θ與 X(t)是統(tǒng)計獨立的。 0( ) c os( )X t A t?? ? ?0? A ?與2? ( 0 , 2 )U ??A25/117 2022/2/14 3. (1,1)半隨機二進制傳輸信號 ( ) [ ( ) ]m t E X t p q? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 21212( , ) 4 ( / / ) 1 41 , / /1 4 , / /R t t pq t T t T pqt T t Tpq t T t T?? ? ? ?? ??? ?????R(t1,t2)與 t1,t2 的絕對位置有關(guān)，故非廣義平穩(wěn) 常數(shù) 也非嚴平穩(wěn) 隨機二進制傳輸信號卻是嚴平穩(wěn)的 . 26/117 2022/2/14 補充例： 隨機信號 X(t)=Ay(t)， 其中 A為高斯隨機變量 ， y(t)為確定的時間函數(shù) ， 判斷 X(t)是否為. 221 ( )( ) e x p22Aamfa????? ??? ????解： ? ? ? ? ? ? ? ?E X t E A y t m y t? ? ?????與 t有關(guān) 故 X(t)非 . 與 t有關(guān) ,非 . 27/117 2022/2/14 ( ) , ( )y t k X t k A?若 為常數(shù) 即X(t)與 t無關(guān) ,X(t)的全部概率特性不隨觀察時刻組平移而變，故 X(t)是 . ()X t k A?t1111( , , 。 )1mmmmmiiiF x x n nF x n F x n F x nq u x p u x?? ? ? ?? ? ??????()Xm n p?? ?1 2 1 2212( , ) ( ) ( )()R n n E X n X np q n n p??? ? ?常數(shù) R(n1,n2)與 n1,n2 的絕對位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)，故也廣義平穩(wěn) 與 n無關(guān)，是嚴格平穩(wěn)信號。 ) ( 。 )f u t t與 無關(guān)與 t無關(guān)，故 X(t)是 .,又因為 X(t)是高斯信號，故它也是. 一般，一階平穩(wěn)的獨立 . 21/117 2022/2/