【正文】 2022/2/14 1/117 隨機(jī)信號(hào)分析 第 3章 平穩(wěn)性與功率譜密度 2/117 2022/2/14 第 3章 平穩(wěn)性與功率譜密度 有一類極為重要的隨機(jī)信號(hào)， 它的主要（或全部）統(tǒng)計(jì)特性關(guān)于參量保持“穩(wěn)定不變” ，這種隨機(jī)信號(hào)被稱為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。 本章討論： 1）嚴(yán)格與廣義平穩(wěn)性； 循環(huán)平穩(wěn)性； 2）平穩(wěn)信號(hào)相關(guān)函數(shù)的特性；有關(guān)物理意義； 3）平穩(wěn)信號(hào)的功率譜密度與互功率譜密度； 4）白噪聲及其實(shí)例 ——熱噪聲 3/117 2022/2/14 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 * 循環(huán)平穩(wěn)性 平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù) 功率譜密度與互功率譜密度 白噪聲與熱噪聲 應(yīng)用舉例 4/117 2022/2/14 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 平穩(wěn)性（ Stationarity） : 平穩(wěn)性 是指隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性不隨觀察時(shí)刻 t（或觀察時(shí)刻組 t1,t2,?, tn）平移而變化的性質(zhì)，相應(yīng)的隨機(jī)信號(hào)被稱為 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 。 1 2 1 2( 。 ) ( 。 ) ( )( ) ( )( , ) ( , )XXXXf x t f x t u f xm t m t uR t t R t u t u? ? ?? ? ?? ? ?常數(shù)例： 5/117 2022/2/14 S tr ic t S e nse S ta ti ona r y . W ide S e nse S ta ti ona r y S S S .W S S .???????????嚴(yán)格平穩(wěn)（強(qiáng)平穩(wěn), 狹義平穩(wěn)）分類：廣義平穩(wěn)（弱平穩(wěn)，寬平穩(wěn)）6/117 2022/2/14 嚴(yán)格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 1 2 1 21 2 1 2( , , , 。 , , , )( , , , 。 , , , )X n nX n nF x x x t t tF x x x t u t u t u? ? ? ? 定義 若對(duì)于 任意的 ，隨機(jī)過(guò)程{ X(t),t∈ T } 的 任意 n 維概率分布函數(shù)滿足 u則稱 X(t)是 嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) , 記作 SSS 1. 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 SSS . 強(qiáng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 狹義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 7/117 2022/2/14 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)也可以由概率密度來(lái)定義： 1 2 1 21 2 1 2( , , , 。 , , , )( , , , 。 , , , )X n nX n nf x x x t t tf x x x t u t u t u? ? ? ?? ?Xt1t 2t nt 1tu?2tu?ntu?8/117 2022/2/14 b. 時(shí)刻組平移時(shí)，時(shí)刻組間的相對(duì)位置不變，即任意 n維概率分布函數(shù)與時(shí)刻組的起始位置無(wú)關(guān)，而只與其相對(duì)位置有關(guān)。 注意： a. ? ? ? ?X t X t? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?全部統(tǒng)計(jì)特的 對(duì)時(shí)刻嚴(yán)格平穩(wěn) 或時(shí)刻組是位移不變性的9/117 2022/2/14 ? SSS . X(t)的特性 ( 。 ) ( 。 ) ( )( 。 ) ( 。 ) ( )F x t F x t u F xf x t f x t u f x? ? ?? ? ?(1) SSS . X(t)的一維概率分布、密度函數(shù)與時(shí)間 t無(wú)關(guān)；如果其均值與方差存在，它們也與時(shí)間 t無(wú)關(guān)，即： 一階平穩(wěn) 10/117 2022/2/14 一階密度函數(shù)平穩(wěn)性示例： 11/117 2022/2/14 ? ?? ?22 2[ ( ) ] ( 。 ) ( )[ ( ) ] ( )()X X XXX X XE X t x f x t dx x f x dx mV ar X t E X t mx m f x dx ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ???????? ? ????均值均為 0，均值平穩(wěn)，但各時(shí)刻的 ?？梢?jiàn)一階平穩(wěn)一定均值平穩(wěn)，但均值平穩(wěn)不一定一階平穩(wěn)。 常數(shù) 常數(shù) 12/117 2022/2/14 (2) SSS . X(t)的二維概率分布 、 密度函數(shù)與兩時(shí)刻組的絕對(duì)位置 (t1,t2)無(wú)關(guān) ， 只與相對(duì)位置 有關(guān) 。 ( ) 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( , 。 , ) ( , 。 )( , 。 , ) ( , 。 )F x x t t F x xf x x t t f x x????12tt? ???21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( , 。 , ) ( , 。 , )( , 。 , 0) ( , 。 )utF x x t t F x x t u t uF x x t t F x x ???? ? ?? ? ?令證明： 13/117 2022/2/14 ? ? ? ?? ?? ?121 2 1 21 2 1 2 1 2( , )( , 。 ) ( )XxxR t t E X t X tx x f x x d x d x R??? ????????(3) 如果 SSS . X(t)的 相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、相關(guān)系數(shù) 存在，它們也只與兩時(shí)刻的相對(duì)位置 有關(guān)，而與兩時(shí)刻組的絕對(duì)位置 (t1,t2)無(wú)關(guān)。 12tt? ??14/117 2022/2/14 1221221( , ) ( )(( , ) ( )) ( ) X XXXXXXC t t Ctttt ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?1 2 2212 1( , )(( , )) ()X X XX XXX R t t m tC mtRmttC? ???? ? ?2w he n 0 , ( 0) ( 0)X X XC R m? ? ? ?15/117 2022/2/14 通常 采用 的等價(jià)形式， 為相對(duì)時(shí)間，是核心變量， t 稱為絕對(duì)位置。 如： ? ? ? ? ? ?12, ( , )R t t R t t E X t X t??? ? ? ?????? ?12,tt ( , )tt?? 12tt? ??16/117 2022/2/14 2. 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 WSS . 定義 若 . 的均值和相關(guān)函數(shù)存在，并且滿足： ① 均值為常數(shù)；即 ② 相關(guān)函數(shù)與兩時(shí)刻 (t1,t2)的絕對(duì)值無(wú)關(guān) ， 只與相對(duì)差 有關(guān) ， 即 12( , ) ( , ) ( )X X XR t t R t t R??? ? ?12tt? ??[ ( ) ] XE X t m?? 常數(shù)則稱 X(t)是 廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) , 記作 WSS . ? ?( ) ,X t t T?弱平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 17/117 2022/2/14 3. 嚴(yán)格平穩(wěn)性與廣義平穩(wěn)性之間關(guān)系： ?????????? ? ? ?? ? ? ?? ????????? ? ? ?如果其均值與相關(guān)函數(shù)存在不一定是嚴(yán)格平穩(wěn) 廣義平穩(wěn) 過(guò)程 過(guò)程定理 如果某高斯信號(hào)是廣義平穩(wěn)信號(hào)，則該信號(hào)也是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)。 關(guān)于隨機(jī)序列的平穩(wěn)性問(wèn)題，只需要將連續(xù)時(shí)間變量 t換為離散時(shí)間 n 18/117 2022/2/14 ? 平穩(wěn)性是隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)參量（組）的移動(dòng)不變性，即平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的測(cè)試不受觀察時(shí)刻的影響； ? 應(yīng)用與研究最多的平穩(wěn)信號(hào)是廣義平穩(wěn)信號(hào)； ? 嚴(yán)格平穩(wěn)性因要求太“苛刻”，更多地用于理論研究中； ? 經(jīng)驗(yàn)判據(jù)：如果產(chǎn)生與影響隨機(jī)信號(hào)的主要物理?xiàng)l件 不隨時(shí)間而改變，那么通常可以認(rèn)為此信號(hào)是平穩(wěn)的。 ? 非平穩(wěn)信號(hào)：當(dāng)統(tǒng)計(jì)特性變化比較緩慢時(shí)，在一個(gè)較短的時(shí)段內(nèi)，非平穩(wěn)信號(hào)可近似為平穩(wěn)信號(hào)來(lái)處理。如語(yǔ)音信號(hào)，人們普遍實(shí)施 10－ 30ms的分幀，再采用平穩(wěn)信號(hào)的處理技術(shù)解決有關(guān)問(wèn)題。 說(shuō)明： 19/117 2022/2/14 例 設(shè)獨(dú)立高斯隨機(jī)信號(hào) U(t)的一階概率密度函數(shù)為 其中 a與 σ為常數(shù)。試分析其平穩(wěn)性。 221 ( )( 。 ) e x p22uaf u t????? ??? ????? ? ? ? 2, ??? tDatm UU20/117 2022/2/14 解： 故 U(t) 一階平穩(wěn) , 依題： 1 2 1 2 1 1 2 2221221( , , , 。 , , , ) ( 。 ) ( 。 ) ( 。 )()1e x p22()1e x p22n n n nniinniif u u u t t t f u t f u t f u tuaua??????????? ??? ?????? ????? ?????? ????( 。 )f u t t與 無(wú)關(guān)與 t無(wú)關(guān)，故 X(t)是 .,又因?yàn)?X(t)是高斯信號(hào)，故它也是. 一般，一階平穩(wěn)的獨(dú)立 . 21/117 2022/2/14 例： 熱噪聲的取樣觀察值為 ， 是 一隨機(jī)序列，它具有以下性質(zhì)： （ 1） 相互獨(dú)立； （ 2） 是 分布，（即每一時(shí)刻取值連續(xù)、高斯） 判斷 的平穩(wěn)性； ? ?? ?, 0 , 1 , 2X n n ? ? ?? ?? ?Xn? ?? ?Xn? ?Xn ? ?20,N ?? ?? ?Xn22/117 2022/2/14 ? ?? ?12 212221 1 20,nnnnE X n n n??????? ? ???? ??? ???X(n)是 . ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 20,XE X nR n n E X n X n???????????常數(shù) RX(n1,n2)只與其相對(duì)位置 n1n2有關(guān) ? ? ? ?. . . .X n W SS R S X n SS S R S?? 是是解： 23/117 2022/2/14 1. (0,1)貝努里隨機(jī)信號(hào) ? ? ? ?111 1 2 21( , , 。 , , )( 。 ) ( 。 ) ( 。 )1mmmmmiiiF x x n nF x n F x n F x nq u x p u x?? ? ? ?? ? ??????()Xm n p?? ?1 2 1 2212( , ) ( ) ( )()R n n E X n X np q n n p??? ? ?常數(shù) R(n1,n2)與 n1,n2 的絕對(duì)位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)，故也廣義平穩(wěn) 與 n無(wú)關(guān)，是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)。 24/117 2022/2/14 2. 隨機(jī)正弦信號(hào) ? ? ? ?0c o s 0E X t E A t?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 220 1 2( , )c o s ( )R t t E X t X ttt??? ??????R(t1,t2)與 t1,t2 的絕對(duì)位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)，故廣義平穩(wěn) 常數(shù) ， 是確定量， 獨(dú)立， 服從參數(shù)為 的瑞利分布， 。 0( ) c os( )X t A t?? ? ?0? A ?與2? ( 0 , 2 )U ??A25/117 2022/2/14 3. (1,1)半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào) ( ) [ ( ) ]m t E X t p q? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 21212( , ) 4 ( / / ) 1 41 , / /1 4 , / /R t t pq t T t T pqt T t Tpq t T t T?? ? ? ?? ??? ?????R(t