【正文】 1 第 2章 隨機(jī)信號分析 引言 隨機(jī)過程的一般表述 平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 高斯過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 正弦波加窄帶高斯過程 2 通信過程：有用信號通過通信系統(tǒng)（通信系統(tǒng)中信號與噪聲共存） 對通信系統(tǒng)的分析，離不開對噪聲和信號的分析； 信號（隨機(jī)信號）與噪聲具有隨機(jī)性，統(tǒng)稱隨機(jī)過程（統(tǒng)計學(xué)觀點）； 本章內(nèi)容： 運用統(tǒng)計學(xué)中有關(guān)隨機(jī)過程的理論分析隨機(jī)信號和噪聲的特性表示以及通過線性系統(tǒng)的分析方法。 引言 3 隨機(jī)過程的一般表述 隨機(jī)過程的概念 隨機(jī)過程： 隨時間 t變化的無數(shù)個隨機(jī)變量的集合。 基本特征： 時間 t的函數(shù)，但在任一確定時刻上的取值是不確定的，是一個隨機(jī)變量；或者，可看成是一個事件的全部可能實現(xiàn)構(gòu)成的總體，其中每個實現(xiàn)都是一個確定的時間函數(shù)，而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個實現(xiàn)是不確定的。 通信過程中的隨機(jī)信號和噪聲均可歸納為依賴于時間 t的隨機(jī)過程。 4 解釋 ：隨機(jī)變量是與試驗結(jié)果有關(guān)的某一個隨機(jī)取值的量。例如，在給定的某一瞬間測量接收機(jī)輸出端上的噪聲，所測得的輸出噪聲的瞬時值就是一個隨機(jī)變量。如果連續(xù)不斷地進(jìn)行試驗，那么在任一瞬間都有一個與之相應(yīng)的隨機(jī)變量，這時的試驗結(jié)果就不僅是一個隨機(jī)變量，而是一個在時間上不斷變化的隨機(jī)變量的集合。 5 隨機(jī)過程：與時間有關(guān)的函數(shù)，但任一時刻的取值不確定 (隨機(jī)變量 ) 樣本函數(shù)：隨機(jī)過程的具體實現(xiàn) 樣本空間：所有實現(xiàn)構(gòu)成的全體 所有樣本函數(shù)及其統(tǒng)計特性構(gòu)成了隨機(jī)過程 ixt~ ( )? ?iS x t x t1~ ( ) , , ( ) ,?t~ ( )?6 隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性 隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性是通過概率分布或數(shù)字特征來表述的。 一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 設(shè) 是一個隨機(jī)過程，在任意給定時刻 其取值 是一個隨機(jī)變量。這個隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性，可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)描述，稱 ()t? 1t 1()t?? ? ? ?? ?F x t P t x1 1 1 1 1, ???為隨機(jī)過程 的一維分布函數(shù)。 ()t?7 如果 對 的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有 則稱 為 的一維概率密度函數(shù)。 顯然，隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，沒有說明隨機(jī)過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此需要在足夠多的時間上考慮隨機(jī)過程的多維分布函數(shù) ? ?F x t1 1 1, 1x? ? ? ?F x t f x tx1 1 11 1 11, ,? ??? ?f x t1 1 1, ()t?8 9 二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性 , 但在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。 數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計平均值） 隨機(jī)過程 的數(shù)學(xué)期望定義為： 并記為 。 說明 ：均值與 t1有關(guān)。然而 t1是任意取值的，故可把 t1直接寫成 t。 所以， 隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是時間的函數(shù)。 ()t?[ ( ) ] ( )E t a t? ?1[ ( ) ] ( , )E t x f x t d x????? ?10 方差 隨機(jī)過程 的方差定義為： 記為 ()t?? ? ? ?? ?D t E t E t x f x t d x a t2 221( ) ( ) ( ) ( , ) ( )? ? ? ???? ? ? ??? ?Dt()? t2 ()?11 12 自相關(guān)函數(shù)定義為 ? ?? ?R t t E t tx x f x x t t d x d x1 2 1 21 2 2 1 2 1 2 1 2, ( ) ( ), 。 ,?????? ??????????2 1 1 ,tt t t ??? ? ?2 1 2 1 1若 ， 并 令 則 R ( t , t ) 可 表 示 為 R ( t , t + )說明：相關(guān)函數(shù)是起始時刻 的函數(shù) 1t ?和 時 間 間 隔可得自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )B t t R t t a t a t??13 14 15 例：設(shè)隨機(jī)過程 ，其中 A為高斯隨機(jī)變量， b為常數(shù)，且 A的一維概率密度函數(shù) 求 X(t)的均值和方差 ( ) , 0X t A t b t? ? ?2( 1 ) 21()2xAf x e????16 平穩(wěn)隨機(jī)過程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程： 隨機(jī)過程的任意 n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)。 即，對于任何正整數(shù) n和任意實數(shù) ，隨機(jī)過程 的 n維概率密度函數(shù)滿足 也稱狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程 nt t t12, , , ?以 及()t?? ?? ?n n nn n nf x x x t t tf x x x t t t n1 2 1 21 2 1 2, , , 。 , , , , , 。 , , , ,? ? ? ?? ? ? ? ?，17 可見，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性將不隨時間的推移而不同。其一維分布與時間 t無關(guān)，二維分布只與時間間隔有關(guān)。 18 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 19 隨機(jī)過程是否平穩(wěn)的判斷： 若一個隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與時間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)，則稱這個隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)的。 通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)均可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。 20 總結(jié) : 一、狹義平穩(wěn) (嚴(yán)平穩(wěn) ) ? ?? ?n n nn n nf x x x t t tf x x x t t t n1 2 1 21