【正文】 s2YXR t t R A? ? ? ?? ? ?作業(yè)： 92/117 2022/2/14 噪聲：對信號和系統(tǒng)功能起干擾作用的隨機信號。 噪聲按其功率譜密度可劃分為 ： ???白噪聲 色噪聲 白噪聲與熱噪聲 白噪聲 93/117 2022/2/14 ? ? 0 ,2X NS ??? ? ? ? ? ?其中： ? ?XS ??00 /2N1. 白噪聲 定義 若 . ，其功率譜密度 在整個頻率范圍內(nèi)為一個非零常數(shù)，則稱 為（平穩(wěn)）白噪聲信號。簡稱白噪聲或白信號。 ? ?Xt? ?XS ?? ?Xt? ? ? ?02X NR ? ? ??? ?XR ??? ?02N ??00N正實常數(shù)，單邊功率譜 02N 雙邊功率譜 94/117 2022/2/14 ? 白噪聲通?？偸?零均值 的，因此， ? ? ? ?CR???? ? ? ?? ? ? ?? ? 1 , 00 , 000CRCR????????? ? ? ???白噪聲有時也通俗地稱為 “ 純隨機的 ” ： 1) 無限帶寬的理想隨機信號， 2) 功率（即方差）為無窮大， 3) 而不同時刻上彼此 不相關(guān)，正交 ? ?XR ??? ?02N ??095/117 2022/2/14 說明： （ 1） 實際 關(guān)聯(lián)性 ，故其相關(guān)函數(shù)不可能為嚴格的 函數(shù)。 ()? ?（ 2） 工程上，當信號帶寬 系統(tǒng)帶寬，且信號功率譜在系統(tǒng)通頻帶內(nèi)及通頻帶附近基本恒定，就認為該信號是白噪聲。 ??且 實際信號功率總是有限的，帶寬也是有限的 。白噪聲只是一種理想的數(shù)學模型。 ? ?XR ??0熱噪聲 96/117 2022/2/14 ? 若白噪聲的每個隨機變量都服從高斯分布，則稱它為 高斯白噪聲 （ WGN, White Gaussian noise）。它也 是獨立信號 ，代表著信號“隨機性”的一種極限。 如果序列，恒有， ? ? ? ?02NR m m??? ? 0[ ] / 2j j mmS e R m e N?? ????則稱它是 白噪聲序列 。 高斯白噪聲序列 是 獨立序列 ，利用獨立性，很容易寫出它的任意階密度函數(shù)。 或 高斯白噪聲在不同時刻上的隨機變量彼此不相關(guān)，正交，獨立 97/117 2022/2/14 定義：若 . 功率譜密度 在頻帶內(nèi)不為 常數(shù)，則稱 為色噪聲。 ? ?Nt? ?Nt? ?NS ?即： 是 的函數(shù)。 ? ?NS ? ?2. 色噪聲 ? ? 222 ,0N aSa a? ????如 98/117 2022/2/14 例 方差為 的高斯白序列 。試求：（ 1）相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)；（ 2） k維密度函數(shù)。 2? ? ?Xn解： ? ? ? ?? ?1 2 1 2 1 212212221 1 2[ , ] [ , ]0,[],C n n R n n E X n X nnnnnE X n n n???? ? ????????? ? ???? ??????也是同分布的獨立信號。于是， ? ?Xn1 2 1 21221( , , , 。 , , , ) ( 。 )1e xp22kk k i iikiif x x x n n n f x nx?????????? ??????99/117 2022/2/14 應(yīng)用舉例 例 討論隨機正弦信號的廣義平穩(wěn)條件。 0( ) c os( )X t A t?? ? ?變量 A的均值為 , 方差為 , Θ的特征函數(shù)為 , Θ與 A統(tǒng)計獨立。 Am 2A?()v??解：計算均值與自相關(guān)函數(shù)。首先 100/117 2022/2/14 ? ? ? ?0( ) c o s( )AE X t m E t?? ? ?0( ) c os( )X t A t?? ? ?() jvv E e? ?? ??? ??? ?? ? ? ?? ?0000[ ] [ ]2112j t j tjjAj t j tAme E e e E emee???????? ? ?? ???????當且僅當 時， （常數(shù)）。 (1 ) 0? ? ? ? ?( ) 0E X t ?? ? ? ?( ) ( )0c o s 2jjt e e? ?? ? ? ?00ω t + Θ ω t + Θ101/117 2022/2/14 ? ?12。XR t t 0( ) c os( )X t A t?? ? ?? ?? ?21 2 0 1 0 220 1 2 0 1 0 2( ) ( ) c o s( ) c o s( )()c o s ( ) c o s( 2 )2E X t X t E A t tEAE t t t t??? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?0 1 0 2 0 1 0 20 1 0 2 0 1 0 20 1 0 2( ) ( )22( ) ( ) *c os ( 2 )2( 2) ( 2) 2j t t j t tjjj t t j t tE t tE e e e eee? ? ? ?? ? ? ?????? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?????????當且僅當 時，上式等于 0。 ( 2 ) 0? ? ?() jvv E e? ?? ??? ??102/117 2022/2/14 隨機相位的正弦信號廣義平穩(wěn)的充要條件是： ( 1 ) ( 2 ) 0??????此時， ? ?( ) 0E X t ?2221 2 0 1 2 0 1 2()( , ) c o s ( ) c o s ( )22AA mEAR t t t t t t??? ?? ? ? ?比如當 時， ( , )U ???? sin() vvv???? ?? ?221 2 0 1 2, c o s ( )2AAXmR t t t t? ????103/117 2022/2/14 解：例 是廣義平穩(wěn)的，并且， 例 : 討論乘法調(diào)制信號的功率譜 X(t)為實廣義平穩(wěn)隨機信號，其功率譜為 ， Θ與 X(t)統(tǒng)計獨立 ()XS ?0( ) ( ) c o s( )Y t X t t?? ? ?( , )U ????其中：()Yt01( ) ( ) c o s ( )2YXRR? ? ? ??? ?? ?000011( ) ( ) ( ) ( )221( ) ( )4YXXXSSSS? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?104/117 2022/2/14 可見，調(diào)制使得信號的譜平移到 處 0??? ?001( ) ( ) ( )4Y X XS S S? ? ? ? ?? ? ? ?0 105/117 2022/2/14 例 討論隨機二元（二進制）傳輸信號的平穩(wěn)性與功率譜。 ( ) 1 1, , [ , ( + 1 ) )( ) 1 0nnXt X t n T n TXt X?? ?? ?? ?? ??若若半隨機二進制傳輸信號： 常用于傳輸二進制數(shù)據(jù)信息，接收信號為初始時刻“隨機滑動”的二元傳輸信號，記為 ，D與 統(tǒng)計獨立，并服從均勻分布 。 ( ) ( )Y t X t D??()Xt (0, )UT()Xt106/117 2022/2/14 ? ? ? ?Y t X t D?0 ? ?Xtt1 1 0 1 1 0 0 1 0 t1 1 0 1 1 0 0 1 DT? ? ? ?nnX t a g t n T??? ? ????()gt1 0 t T1,1,npaq??? ???依概率依概率107/117 2022/2/14 更為一般的形式稱為 數(shù)字傳輸信號 ，如下式， ? ? ? ? ( 3 .3 3 )nnX t a g t n T??? ? ????其中， 為幅度隨機序列； 為每個時隙的脈沖信號， T 為每個時隙寬度。 {}na ()gt()Xta2 a1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 ()gt1 0 t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T T 2T T 108/117 2022/2/14 ()Xta2 a1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 ()gt1 0 t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T T 2T T Da2 a1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 2T T T 2T 3T 4T 5T 6T ( ) ( )Y t X t D??()gt1 0 t 假定 為平穩(wěn)序列，均值為 ，自相關(guān)函數(shù)為 {}na am? ? ? ?=a n k nR k E a a? ? ?, ( ) Fg t G j?? ??109/117 2022/2/14 下面證明： 是平穩(wěn)信號，并且， ()Yt(1) 均值 ( ) ( 0)amE Y t G jT?() (2) 自相關(guān)函數(shù) ? ? ? ? ? ?1Y a gkR R k r kTT????? ? ????() (3) 功率譜 ? ? ? ?21() j k TYakS G j R k eT??????? ? ?? ?() 其中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?gr g t g t d t g g? ? ? ?????? ? ? ? ??碼元波形的自相關(guān)函數(shù) 110/117 2022/2/14 證明：（ 1）由于 由隨機序列 與隨機變量D復合構(gòu)成，直接計算其均值不容易。先算條件平均 ()X t D? {}na? ? ? ?? ? ? ?( ) | |()nnnannE X t D D x E a g t n T D D xE a g t n T x m g t n T x??? ???? ??? ?? ? ????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ????于是 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?0( ) |1aannTanE Y t E X t D E E X t D DE m g t nT D m E g t nT Dm g t nT x dxT? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????????? ? ? ???? ?111/117 2022/2/14 ? ? ? ?? ?? ?? ?0( 1 )( 1 )()()( 0)Tant n Tat nTnt nTat n TnaamE Y t g t nT x dxTmg u d uTmg u duTmmg u du Gu t nT x