數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文冪零矩陣跡的特征-文庫吧資料
2025-01-24 17:16本頁面
【正文】 ：Nilpotent matrix。 Trace。Eigenvector. 1 引言在2009年舉行的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，有這樣一道試題：例1 假設(shè)是復(fù)數(shù)域上維線性空間（），是上的線性變換．如果，證明的所有特征值都是0，且有公共特征向量．（2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）在2002年的蘇州大學(xué)研究生入學(xué)考試中也有類似的試題：例2 設(shè)是有理數(shù)域上的向量空間，是上的線性變換，其中可對角化，且滿足，證明存在正整數(shù)，使得是零變換．（2002年蘇州大學(xué)研究生試題） 由于的所有特征值都是0是冪零矩陣，易知例1與例2本質(zhì)上是屬于同一問題．在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽組委會為例1提供的解答中，通過構(gòu)造一些復(fù)雜的生成子空間，證明它們在線性變換下不變，最后利用的跡為零的結(jié)果，間接導(dǎo)出的任意特征值為0，整個證明復(fù)雜繁瑣．而例2中條件“可對角化”過強(qiáng)，能否在例1的條件下直接證明是冪零矩陣呢？另外，對例1中關(guān)于有公共特征向量的問題，一個熟知的結(jié)論是命題1[1] 若是復(fù)數(shù)域上維線性空間上的線性變換，且，則和存在公共的特征向量．爾后由Laffey與Choi在19781981年將之推廣為 命題2[2,3] 若都是復(fù)數(shù)域上的階方陣，滿足，則和存在公共的特征向量．對于命題2的證明，通常的方法是把矩陣轉(zhuǎn)化為線性變換問題，但遺憾的是無法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具體形式，而這些在理論與應(yīng)用上都是很有用的[4].從以上諸例及相關(guān)結(jié)論上看，對線性變換而言，可以把問題轉(zhuǎn)化為對矩陣的討論.本文將討論與解決如下問題：關(guān)于矩陣或線性變換的性質(zhì)；對滿足或的線性變換，不僅證明之間存在公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；某些逆命題.2 性質(zhì)設(shè)為階矩陣，令，則具有如下基本性質(zhì)：性質(zhì)1 .證明 設(shè)、則，.性質(zhì)2 對任何階矩陣，.證明 反證法 假設(shè)，則由性質(zhì)
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