【正文】 江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）19方向的單位向量,有 (計(jì)算過(guò)程可見(jiàn)??IIyIxI ????????? 222第三章 節(jié)中的預(yù)備知識(shí)).因?yàn)樘荻确较蚝痛怪毕蛄康臄U(kuò)散系數(shù)一樣，即為同性擴(kuò)散，因此該模型在去噪的同時(shí)也使邊緣模糊了。 修復(fù)圖 (ISNR=) (ISNR=) 圖 (4) 混合模型 上述討論的 TV 模型 ，相應(yīng)的 Euler 方程為?????dIdIJD????????\02][，用同樣的方法可以推導(dǎo)出擴(kuò)散項(xiàng) ，只0)(???????????II? I??????????在邊緣方向擴(kuò)散，一般而言，圖像的每個(gè)像素點(diǎn)處都有一個(gè)梯度方向和邊緣方向，而在平坦區(qū)域得到的邊緣方向并不真實(shí)存在，此時(shí)仍僅沿邊緣方向擴(kuò)散，無(wú)疑會(huì)導(dǎo)致在平坦區(qū)域的噪聲抑制不充分，甚至產(chǎn)生階梯效應(yīng)。21?p 其中可以根據(jù)圖像是否含噪聲，建立相應(yīng)的能量泛函模型。 修復(fù)圖 c. n=2022 =5000 圖 　　 因?yàn)?TV 模型破壞了視覺(jué)連通性原理，為此，有不少學(xué)者提出了一些 TV 改進(jìn)模型，如文獻(xiàn) [24,25,26].(2) 時(shí)，為各項(xiàng)同性擴(kuò)散的調(diào)和 (harmonic)模型 [18]。當(dāng) 時(shí)，則返回到 TV 模型。其????????????????? ???????????IgIItID??為 增 函 數(shù) ， 0修復(fù)結(jié)果佳于 TV 模型，如上圖 所示。 修復(fù)圖 修復(fù)圖 圖 為了使 TV 模型更具視覺(jué)連通性，文獻(xiàn) [3]對(duì) TV 模型進(jìn)行了修改，提出了CDD 模型。當(dāng)破損區(qū)域長(zhǎng)度 大于待修復(fù)物體寬度 時(shí)不能完成修復(fù), TV 模型修l w復(fù)結(jié)果如圖 ( b)所示,而滿足連通性原理的修復(fù)結(jié)果如圖 ( c)所示。相對(duì)于BSCB 模型，其穩(wěn)定性和魯棒性也更好。它使擴(kuò)1I???21II???????散強(qiáng)度在梯度大的地方小,梯度小的地方大,這表明擴(kuò)散是各項(xiàng)異性的,能按照與梯度垂直的方向即等照度線方向進(jìn)行信息擴(kuò)散。 相對(duì)應(yīng)的最速下降方程為 ()0()(,)DIIxyIt??????由上式可以看出，當(dāng) 時(shí)，就可以求出能量代價(jià)最小的 。? xy? 根據(jù)變分原理，可求得 EulerLagrange 方程 ()0()(,)DIxyI??????式中， ，其中\(zhòng),\(,)1(,)(,)Dxyxy?????????。由于該模型能夠起到延長(zhǎng)邊緣的作用，從而很適合圖像破損面積較小的修復(fù)。1? Tony Chan 等人于 2022 年提出了整體變分法 [16]（Total Variation , TV） ，TV 模型 [4]的主要思想是在保持圖像邊緣的同時(shí)，向異向進(jìn)行擴(kuò)散，最終達(dá)到圖像信息補(bǔ)全的效果。其相對(duì)應(yīng)的能量泛函方程為NI??0 ()?????????DpdIdIIJ\20)(1???對(duì) 進(jìn)行討論，可得到幾個(gè)比較經(jīng)典的圖像修復(fù)模型。但是，BSCB 修復(fù)模型的缺點(diǎn)缺乏穩(wěn)定性，當(dāng)待修復(fù)區(qū)域面積較大時(shí)，或是圖像背景為紋理圖案時(shí)，容易產(chǎn)生模糊的現(xiàn)象,如圖 。其中， 。()I????該模型為了使修復(fù)過(guò)程更加清晰，并且能夠保持修復(fù)邊界的光滑性和噪聲魯棒，使用各向異性擴(kuò)散，該方程表示為： ()(,),(,)(,IgxyktIxytt ????????其中， 是修補(bǔ)區(qū)域 內(nèi)的以 為半徑的圓域擴(kuò)展。對(duì)于某等照度線上任N意一點(diǎn) ，離散梯度方向 表示灰度變化最大的方(,)xy(,),)(,nnIxyIxy??向。有 ()(,)(,)(,)nnntIxyLxyN???圖像修復(fù)希望信息平滑延伸， 即為信息平滑的估算因子。當(dāng)(,)ntIxyt(,)nIxy增大到一定程度時(shí)，有 時(shí)，有 ，則算法停止。LN??? N表示圖像在單位時(shí)間的變化量，則 BSCB 模型的信息傳輸過(guò)程表達(dá)式為：It? ()ILtN???用來(lái)表示待修復(fù)的離散的二維圖像， 表示修復(fù)過(guò)程中的離散圖像，0(,)Ixy (,)Ixy同時(shí)也表示圖像灰度函數(shù)，從手工修復(fù)技術(shù)描述，采用迭代算法，則算法可描述為： 。如圖 所示：圖 圖像修復(fù)延伸方向 N其中， 表示待修補(bǔ)區(qū)域， 為其邊界， 為信息的延伸方向。算法通過(guò)延伸邊界區(qū)域的等照度線進(jìn)入修復(fù)區(qū)域而實(shí)現(xiàn)修復(fù)，是各向異性擴(kuò)散。 基于以上原則，BSCB 模型就是利用偏微分方程，模擬手工修復(fù)的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)歸數(shù)字圖像的自動(dòng)修復(fù)。江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）11(3)通過(guò)延伸邊緣處的等照度線進(jìn)入修復(fù)區(qū)域，實(shí)現(xiàn)修復(fù)區(qū)域和完好區(qū)域邊緣處的連續(xù)。(1)圖像的整體決定了如何修復(fù)破損處，修復(fù)的目的就是為了恢復(fù)圖像的完整性。 數(shù) 字 圖 像 修 復(fù) 算 法 以下介紹幾種經(jīng)典的圖像修復(fù)模型和算法:BSCB，TV, CDD 模型，調(diào)和模型，基于樣本的紋理合成算法?；跇颖镜募y理合成主要依據(jù)相似性，從一小塊紋理來(lái)反映整體紋理特點(diǎn)，從而生成在視覺(jué)上連續(xù)的大面積紋理圖像。 基于樣本的紋理合成算法是一給定小塊紋理的基礎(chǔ)上，生成大量相似的紋理塊。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是避免了紋理映射的紋理合成所帶來(lái)圖像的失真，同時(shí)可以獲得非常逼真的紋理。通常，常用的兩種紋理合成的算法主要是過(guò)程紋理合成算法和基于樣本的紋理合成算法。所以可以得出，圖像的紋理特征所描述的不僅僅是基于單個(gè)某個(gè)像素點(diǎn)的特征，而是對(duì)含有圖像中的區(qū)域塊進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和計(jì)算得出的。紋理合成目標(biāo)是：生成的圖片要以一個(gè)給定樣本紋理為基礎(chǔ)，12{,.}nCT形成新的且滿足視覺(jué)要求的紋理圖像。（a）機(jī)構(gòu)性紋理 （b）隨機(jī)性紋理 （c）半結(jié)構(gòu)性紋理 圖 紋理的表現(xiàn)形式其中，紋理單位(用 T 表示)是指一幅圖像中具有相似視覺(jué)表現(xiàn)的像素或像素的集合。（3）半結(jié)構(gòu)性紋理圖像。（2）隨機(jī)性紋理圖像。 如圖 所示，紋理圖像大致可分為三種 [13][14]：（1）結(jié)構(gòu)性紋理圖像。日常研究中，自然紋理常常表現(xiàn)為隨機(jī)性的，人造紋理多為確定性或周期性的。Jain[12]給紋理下的定義如下：紋理一般是指圖像的基本紋理元素—紋元的重復(fù)。?f???江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）9 卷積 兩個(gè)函數(shù) ,由這兩個(gè)函數(shù)的積分生成第三個(gè)函數(shù)()fth稱為 的卷積，記作()ztd??????(),fth。由散度和梯度的定義可知，??yxdiv,。引進(jìn)符號(hào)f0P??0,fPfgradyx?（稱為哈密頓算符） ，則 。f0Pn0|,()Pnf??定理：若函數(shù) 在點(diǎn) 可微，則 在點(diǎn) 處沿任一方向 的方向?qū)?shù)都f??0,yxf0存在，則有 ， 為方向 的方向余弦，????coscos00fyxn????cos,n?有 。用歐拉方程解這類(lèi)問(wèn)題，可以仿照函數(shù)的條件極值○ 5問(wèn)題，運(yùn)用 Lagrange 乘子法。dFyxyx?????泛函取決于多元函數(shù) 的情況。39。,39。Fdyxz???()泛函取決于 及其高階導(dǎo)數(shù)的情況。,)0baJFzd?????????? 0,39。baFydxyd???????????由變分預(yù)定理知，相應(yīng)的歐拉方程即為 ()()039。bbaababaFdxFyydxdx?????????????????????必要條件成為 。()39。0baFJyxydx????????????? () 39。baJyxydx???????????江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）7要條件是 。baJyFxyyFxydd??????????????上式稱為泛函的變分，記為 。)(,39。設(shè) 的增量為 ，變?yōu)?，則泛函的值變化為：()?()?? ()[][,39。xy39。,0f? 求解變分問(wèn)題可以化為微分問(wèn)題 [11]進(jìn)行求解. 泛函 ，函數(shù) 對(duì)于 都是二次連續(xù)可導(dǎo)， 也○ 1 [()](,39。記為v=v[y(x)] (2) 泛函的變分定義： ，其中 為 的近似值。 變分法 (1) 泛函：設(shè){y(x)}為已知的類(lèi)函數(shù)，如果對(duì)于這類(lèi)函數(shù)的每一個(gè)函數(shù) y(x),變量 v 都有一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)。變分法研究的是一個(gè)函數(shù)的極大值和極小值問(wèn)題，因此它可看成是一個(gè)變分問(wèn)題。 （以上積分表達(dá)式中的積分實(shí)際為二重積分， ） 。比如 Sobolev 范數(shù)：；Rudin 等的全變分模型 [4]: 。用 Lagrange 乘子法可將該約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下無(wú)約束問(wèn)題： ()0min[]|]EII??通常， 用于均衡匹配項(xiàng) 與正則化項(xiàng) 。這就是所謂的變分法。圖像模型可以從圖像數(shù)據(jù)中經(jīng)過(guò)濾波、參數(shù)或非參數(shù)估計(jì)以及熵方法得到，這些統(tǒng)計(jì)方法雖對(duì)具有豐富紋理圖像的修補(bǔ)很重要，然而，對(duì)大多數(shù)的修補(bǔ)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，修補(bǔ)區(qū)域常常丟失的是圖像的重要幾何信息(如邊緣)，為了重建這些幾何信息，圖像模型要事先解決這些幾何特征，而多數(shù)傳統(tǒng)的概率模型則均缺乏這種特征。已知DI\0|??待修復(fù)區(qū)域 DD 圖 圖像修復(fù)示意圖江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）5對(duì)于大多數(shù)圖像修補(bǔ)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)模型可以描述為： ()0\ \|[*]DDIKIN???? 假設(shè)圖像只考慮噪聲，即 ，NIyxIyx ???00 ),(),(),(也 可 簡(jiǎn) 記 為其中 為具有零均值，方差為 的高斯白噪聲，即有 。數(shù)據(jù)模型用來(lái)描述圖像現(xiàn)存部分,圖像模型用來(lái)描述原圖的類(lèi)型。 圖 圖像退化/復(fù)原過(guò)程模型 [10] 一幅數(shù)字圖像都是二維離散圖像用 表示，簡(jiǎn)記為 。II后的圖像。一般圖像復(fù)原的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： ()0IKN???式中， 為最初觀察得到的圖像， 為原圖像, 為退化函數(shù)， 為加性白噪0I IKN聲， “*”表示卷積。江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）4第 二 章 數(shù) 字 圖 像 修 復(fù) 算 法 綜 述 像 的 數(shù) 學(xué) 描 述 數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)隸屬于圖像復(fù)原的研究領(lǐng)域。 圖 像 修 復(fù) 算 法 的 客 觀 評(píng) 價(jià)一幅 的原灰度圖像 ， 為受損圖像，其復(fù)原后圖像 質(zhì)NM?),(?yxI),(0I ),(yxI量的評(píng)價(jià)測(cè)度有：(1) 均方差測(cè)度(MSE) ????21,),(????MxNyyxISE(2) 信噪比測(cè)度(SNR) ???????????????21,),(?,lg0MxNyxyyxISR(3) 峰值信噪比測(cè)度(PSNR)江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）3 ?????????????????212,),(?5lg10MxNyyxIPSNR(4) 改進(jìn)信噪比測(cè)度(ISNR) ????????????????210,),(?,lg0MxNyxyyxIIISR 圖像修復(fù)較常用的客觀評(píng)價(jià)測(cè)度為峰值信噪比測(cè)度(PSNR)和改進(jìn)信噪比測(cè)度(ISNR)，它們的值越大時(shí)，表示修復(fù)效果越好。變分和偏微分方法都屬于非紋理結(jié)構(gòu)性的算法。再在待修補(bǔ)區(qū)域的周?chē)鷮ふ遗c之最相配的紋理塊，來(lái)替代該紋理塊?；趫D像分解的技術(shù)將圖像分解為結(jié)構(gòu)部分和紋理部分，其中結(jié)構(gòu)部分用 inpainting 算法修補(bǔ)，紋理部分用紋理合成方法填充。由于偏微分方程與變分法是可以通過(guò)變分原理相互等價(jià)推出的，因此，可把這一類(lèi)方法統(tǒng)稱為基于變分 PDE 的圖像 inpainting 算法。在這類(lèi)方法中，還有一種是基于幾何圖像模型的變分修補(bǔ)技術(shù)，該類(lèi)算法的主要思路是模仿修補(bǔ)師手江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）2工修復(fù)圖像的過(guò)程，該類(lèi)算法認(rèn)為修補(bǔ)一幅缺損圖片主要依賴于以下兩個(gè)因素：(1) 如何觀察并讀懂圖片的現(xiàn)存部分 ，其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，也就是如何建立圖像的數(shù)據(jù)模型（data model） ；(2) 原始圖片 I 屬于哪類(lèi)圖像，其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是，也就是如何獲得圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ停╥mage prior model） ，即通過(guò)建立圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛿?shù)據(jù)模型，將修補(bǔ)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)泛函求極值的變分問(wèn)題。這種基于 PDE 方法的思想首先由Bertalmio, Sapiro, Caselles, Bellester[2]提出，他們利用帶修補(bǔ)區(qū)域的邊緣信息，采用一種由粗到精的方法來(lái)估計(jì)等照度線的方向，并采用傳播機(jī)制將信息傳播到待修補(bǔ)的區(qū)域內(nèi)，以便得到較好的修補(bǔ)效果。如圖 所示。 數(shù) 字 圖 像 修 復(fù) 技 術(shù) 國(guó) 內(nèi) 外 研 究 現(xiàn) 狀 目前存在兩大類(lèi)圖像修復(fù)技術(shù)：一類(lèi)用于修復(fù)小尺度缺損的圖像修補(bǔ)技術(shù)（image inpainting technique） ，也可稱為基于變分 PDE 的圖像 inpainting算法。 Bertalmio 等在 2022 年的一次學(xué)術(shù)會(huì)議上，首次提出數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)這江西理工大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）1個(gè)術(shù)語(yǔ)。目前的一些圖像處理軟件雖有專業(yè)的特效處理和圖像修復(fù)處理，但這要求用戶掌握必要的圖像處理知識(shí)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展及待修復(fù)作品客觀因素的要求，圖像修復(fù)也從手工修復(fù)發(fā)