經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-一階微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2025-01-22 21:52本頁(yè)面
【正文】 中的應(yīng)用 d ln 3dx xp ??即分離變量解此微分方程 d l n 3 dx px ??兩邊積分得 Cpx ln3lnln ???3lnpCex ???12 0012 00,0 ??? Cxp 得，再由px ???? 31 2 0 0)(4003120011 公斤的需求量為元時(shí)，市場(chǎng)上對(duì)該商品當(dāng)價(jià)格為??? ?x例 2 設(shè)某種商品，它的價(jià)格主要由供求關(guān)系決定，設(shè)供給量 S 與需求量 D 均是依賴于價(jià)格的線性函數(shù)),( 為常數(shù)dcbadpcDbpaS????????, 當(dāng)供求平衡時(shí)，平衡價(jià)格dbcap??? ，顯然當(dāng)供大于求即 DS ? 時(shí)，則價(jià)格 p 下降；當(dāng)求大于供即 SD ?時(shí)，則價(jià)格 p 上升 . 現(xiàn)若價(jià)格是時(shí)間 t 的函數(shù) p = p ( t ) ，在時(shí)間 t 時(shí)，價(jià) 格的變化率與此時(shí)刻的過(guò)剩需求量 D S 成正比，即d()dpDSt??? ，其中 α 為大于 0 的常數(shù)，試求價(jià)格 p與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系 .( 設(shè)初始價(jià)格0)0( pp ? ) 解 d ()d p DSt ???由 已 知d ( d ) ( ) ( )dp c p a bp a c b d pt ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?即d ( ) ( )dp b d p a ct ??? ? ? ?即( ) d ( ) d( ( ) d )p t t p t tp e q t e t c? ???? ?其 通 解 為)()(),()( catqdbtp ???? ??這里tdbtdbtdb eedbcacep )(α)(α)(α)(α)(α ????? ?????所以0??pcedb cace tdbtdb ?????? ???? )()( ??ppcpp ??? 00)0( 代入上式，得由的函數(shù)關(guān)系為與時(shí)間故所求價(jià)格 tppeppp tdb ??? ?? )(0 )( ?., 即價(jià)格趨于平衡價(jià)格顯然當(dāng) ppt ???例 3 ( 邏輯斯諦曲線 ) 在商品銷(xiāo)售預(yù)測(cè)中，時(shí)刻 t 的銷(xiāo)售量用 x = x ( t ) 表示，如果商品銷(xiāo)售的增長(zhǎng)速率d ( )dxtt正比于銷(xiāo)售量 x(t) 及與銷(xiāo)售接近飽和水平的程度 )( tx?? 之乘積 ( ? 為飽和水平 ) 求銷(xiāo)售量函數(shù)x(t). 解： 程據(jù)題意，可建立微分方d ( ) ( ) ( ( ) ) ,dxt kx t x t kt ??? 其 中 為 比 例 因 子d ( ):d( ) ( ( ) )xt ktx t x t? ??分 離 變 量0 t x a 1 1 1 d ( ) d( ) ( ) x t k tx t x t????? ? ??? ???)(α)()(ln 11 為任意常數(shù)CCkttxa tx ????)()()( 221 為任意常數(shù)CeCetxtx ktCkt ??? ???? ?從而可得通解為)(11)(22 為任意常數(shù)CCeeCeCtxktktkt??? ???????例 4 在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚(yú)，由于條件限 制最多只能養(yǎng) 1000條 . 在時(shí)刻 t 的魚(yú)數(shù) y 是時(shí)間 t 的函數(shù) y =y(t) ，其變化率與魚(yú)數(shù) y 和 1000 y 的乘積成正比 . 現(xiàn)已知池塘內(nèi)放養(yǎng)魚(yú) 100 條， 3 個(gè)月后池塘內(nèi)有魚(yú) 250 條，求 t 月后池塘內(nèi)魚(yú)數(shù) y(t) 的公式 . 問(wèn) 6 個(gè)月后池塘中有魚(yú)多少？ 解： 03d ( 100 0 ) , 100 , 250d tty ky y y yt ??? ? ? ?由 已 知解此微分方程２．分析產(chǎn)量、收入、成本及利潤(rùn)
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