【正文】 1 1 1 1 2 2: 0 , 1 0 , 1. 1 , . 1 , . 0.2 3 31( ) : 1 , , 1. { } .11 1 1 1, 1 1 . 1 1 .1111n n n nnnn n nnnnna a a a a a a aa a abI I b b b a b a bbba b a b a ba b a baab解 法 二 故 當(dāng) 時(shí)解 法 一 取 數(shù) 列 中 的 任 一 個(gè) 數(shù) 不 妨 設(shè)++= \ + = \ = = + \ = = + \ = = == = \ = + == \ = + = + = \ = + = + =\ = + = + 1121. += = \ =故 a 取數(shù)列 {bn}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列 {an} 24 例 12新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 已知正項(xiàng)數(shù)列 ??na ，其前 n 項(xiàng)和 nS 滿足 21 0 5 6,n n nS a a? ? ?且 1 2 15,a a a 成等比數(shù)列，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) .na 解新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 ∵ 10Sn=an2+5an+6, ① ∴ 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥ 2),② 由①－②得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1),即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 , ∴ an－ an－ 1=5 (n≥ 2). 當(dāng) a1=3 時(shí) ,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數(shù)列∴ a1≠ 3。 （Ⅱ）由 ( ) 111nnnn S nf x x xnn++== +，得 ( )/ nnnb f p np==。 成立。 23 解：由 ( )2 1nnS n a n n= ( )2n179。（ 1）、（ 2）兩問運(yùn)用幾何知識(shí)算出 nk . 例 9． 已知拋物線 2 4xy? ，過原點(diǎn)作斜率 1 的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn) 1P ，又過點(diǎn)1P 作斜率為 12 的直線交拋物線于點(diǎn) 2P ，再過 2P 作斜率為 14 的直線交拋物線于點(diǎn) 3P ， ，如此繼續(xù)，一般地，過點(diǎn) nP 作斜率為 12n的直線交拋物線于點(diǎn) 1nP? ，設(shè)點(diǎn) ( , )n n nP x y ． （Ⅰ）令 2 1 2 1n n nb x x????，求證：數(shù)列 {}nb 是等比數(shù)列．并求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和為 nS 解： （ 1）因?yàn)?( , )n n nP x y 、 1 1 1( , )n n nP x y? ? ? 在拋物線上，故 2 4,nnxy? ① 2114nnxy??? ②，又因?yàn)橹本€ 1nnPP? 的斜率為 12n，即 1112nnyyxx??? ?? ，①②代入可得2211 211 1 14 22nn nnnnnnxx xxxx? ? ?? ? ? ? ? ??2 1 2 1 2 1 2 2 2 1( ) ( )n n n n n n nb x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2 2 2 3 2 21 1 12 2 2n n n? ? ?? ? ? ?， 故1 1 {}4n nnb bb? ?? 是以 14 為公比的等比數(shù)列； 4 1 3 1(1 ) 13444nnnnSS? ? ? ? ? ?， 【 問題 5】 數(shù)列創(chuàng)新題 例 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，已知 ( )21 1 , 1 , 1 , 2 ,2 nna S n a n n n= = = 鬃 ? （Ⅰ）寫出 nS 與 1nS 的遞推關(guān)系式 ( )2n179。 32| 039。 因此，使得 1112 6 1n????????﹤ ? ?20m nN? 成立的 m 必須滿足 12 ≤ 20m ，即 m≥ 10,故滿足要求的最小整數(shù) m 為 10。 （ II）由（ I）得 ? ?13 1 1 1 1( 6 5 ) 6 ( 1 ) 5 2 6 5 6 1nnnb a a n n n n???? ? ? ???? ? ? ? ???， 故111 1 1 1 1 11 . . .2 7 7 1 3 6 5 6 1nn b nnT=輊驏 驏 驏鼢 ?瓏 ?犏 = + + + 鼢 ?瓏 ?鼢 ?瓏犏桫 桫 桫 +臌229。 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， a ? ? 221 ( 3 2 ) 3 1 2 ( 1 ) 6 5n n n n n n n na s s ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???。 本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力。 解：（ Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù) f(x)＝ ax2+bx (a≠ 0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－ 2,得 a=3 , b=－ 2, 所以 f(x)＝ 3x2－ 2x. 又因?yàn)辄c(diǎn) ( , )( )nn S n N?? 均在函數(shù) ()y f x? 的圖像上，所以 nS ＝ 3n2－ 2n. 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝（ 3n2－ 2n）－ ? ?)1(2)13 2 ??? nn（ ＝ 6n－ 5. 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， a1＝ S1＝ 312－ 2＝ 61－ 5， 所以， an＝ 6n－ 5 （ nN?? ） 20 （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13?? nnn aab＝ ? ?5)1(6)56( 3 ??? nn＝ )16 156 1(21 ??? nn， 故 Tn＝ ??ni ib1＝21 ?????? ???????? )16 156 1(...)13171()711( nn＝2（ 1－161?n） . 因此，要使21（ 1－161?n） 20m（ nN?? ）成立的 m,必須且僅須滿足21≤20m，即m≥ 10，所以滿足要求的最小正整數(shù) m 為 10. 例 6．設(shè)xxf ??1 2)(1，定義2)0( 1)0()],([)( 11 ????? nnnnn ffaxffxf，其中 n∈ N*. （ 1）求數(shù)列｛ an｝的通項(xiàng)公式；（ 2）若 ,232 23212 nn naaaaT ????? ?， 解：（ 1） )0(1f ＝ 2， 4122 121 ????a，)0(1 2)]0([)0( 11 nnn ffff ????， ∴ nnnnnnnnnn affffffffa212)0(1)0(21)0(24)0(12)0(1 21)0(1 22)0(1)0(111 ????????????????????? ∴211 ???nnaa， ∴ 數(shù)列 ｛ an｝上首項(xiàng)為 41 ，公比為 21? 的等比數(shù)列， 1)21(41 ??? nna （ 2） ,232 23212 nn naaaaT ????? ? ,2)21(3)21(2)21()21(21 23212 nn naaaaT ?????????? ? 兩式相減得： ,)21(41211])21(1[4123 1222??????? nnn nT )2 131(9122 nn nT ??? 例 7．設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nn S n N?? 均在函數(shù) y＝ 3x－ 2 的圖像上。（Ⅰ）、求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）、設(shè)11nnnb aa+=， nT 是數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，求使得 20n mT對所有 nN*206。( ) 6 2f x x=，數(shù)列 {}na的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nn S n N *206。 2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時(shí)應(yīng)用． 【 問題 3】 函數(shù)與數(shù)列的綜合題 數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)集，且是自變量從小到大變化時(shí)函數(shù)值的序列。 2 1n? ． 19 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， Sn =4a 1n? +2=2 1n? (3n4)+2；當(dāng) n=1 時(shí)， S1 =a1 =1 也適合上式． 綜上可知，所求的求和公式為 Sn =2 1n? (3n4)+2． 說明： 1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)和。 已知數(shù)列 ??na 中， nS 是其前 n 項(xiàng)和，并且 114 2 ( 1 , 2 , ) , 1nnS a n a? ? ? ? ?，⑴設(shè)數(shù)列 ),2,1(21 ????? ? naab nnn ， 求 證 ： 數(shù) 列 ??nb 是 等 比 數(shù) 列 ； ⑵ 設(shè) 數(shù) 列),2,1(,2 ???? nac nnn ，求證：數(shù)列 ??nc 是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和。 解 ：（ Ⅰ ） 由 1 21nnaS? ??可得 ? ?12 1 2nna S n?? ? ?，兩式相減得? ?112 , 3 2n n n n na a a a a n??? ? ? ? 又 212 1 3aS? ? ? ∴ 213aa? 故 ??na 是首項(xiàng)為 1，公比為 3 得等比數(shù)列 ∴13nna ?? （Ⅱ）設(shè) ??nb 的公比為 d 由 3 15T? 得，可得 1 2 3 15b b b? ? ? ，可得 2 5b? 故可設(shè) 135 , 5b d b d? ? ? ? 又 1 2 31, 3, 9a a a? ? ? 由題意可得 ? ?? ? ? ? 25 1 5 9 5 3dd? ? ? ? ? ? 解得 122, 10dd?? ∵ 等差數(shù)列 ??nb 的各項(xiàng)為正， ∴ 0d? ∴ 2d? ∴ 17 ? ? 213 2 22n nnT n n n?? ? ? ? ? 例 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且對任意正整數(shù) n ， 4096nnaS?? 。 3 ．注意 ns 與 na 之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。 16 注意事項(xiàng) 1．證明數(shù)列 ??na 是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 11 ?? ??? nnnn aaaa 或11?? ?nnnn aaaa 而得。 在解含絕對值的數(shù)列最值問題時(shí) ,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 (3)中項(xiàng)公式法 ： 驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。 q:公比 【例】、已知數(shù)列 }{na 滿足 11?a ， )2(3 11 ??? ?? naa nnn ，則通項(xiàng)公式 ?na 312n? an=3^(n1)+a(n1) ana(n1)=3^(n1) 同樣 a(n1)a(n2)=3^(n2) ?? a(n2(a(n3)=3^(n3) ???????? ?? a3a2=3^2 ?? a2a1=3^1 以上的 n 個(gè)等式的兩邊相加得到 Ana1=3+3^2+……+3^(n 1)=3(13^n1)/(13)=(3^n1)/2 1． 判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法： (1)定義法 ： 對于 n≥2 的任意自然數(shù) ,驗(yàn)證 11( / )n n n na a a a??? 為同一常數(shù)。 例 :設(shè)數(shù)列 ??na ： )2(,123,4 11 ????? ? nnaaa nn ，求 na . 解：設(shè) BAnbaB ，Anab nnnn ?????? 則，將 1, ?nn aa 代入遞推式，得 ? ? 12)1(3 1 ???????? ? nBnAbBAnb nn )133()23(3 1 ????? ? ABnAb n ?????? ??? ??? 133 23 ABB AA ??? ??11BA 1???? nab nn取 ?（１）則 13 ?? nn bb ,又 61?b ，故 nnnb 3236 1 ???? ? 代入（１）得 132 ???? na nn 說明：（ 1）若 )(nf 為 n 的二次式，則可設(shè) CBnAnab nn ???? 2 。 (或 ()nnS f a? ) 解法： 這種類型一般利用 ??? ????????? ??????????????????? )2()1(11 nSS nSannn 與 )()( 11 ?? ???? nnnnn afafSSa 消去 nS )2( ?n 或與 )( 1??? nnn SSfS )2( ?n 消去 na 進(jìn)行求解。 解：由 nnn aaa 3132 12 ?? ?? 可轉(zhuǎn)化為 )( 112 nnnn saatsaa ??? ??? 即 nnn staatsa ??? ?? 12 )( ?????????