【正文】 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???。（ 1）、（ 2）兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出 nk . 例 9． 已知拋物線 2 4xy? ，過(guò)原點(diǎn)作斜率 1 的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn) 1P ，又過(guò)點(diǎn)1P 作斜率為 12 的直線交拋物線于點(diǎn) 2P ，再過(guò) 2P 作斜率為 14 的直線交拋物線于點(diǎn) 3P ， ，如此繼續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn) nP 作斜率為 12n的直線交拋物線于點(diǎn) 1nP? ，設(shè)點(diǎn) ( , )n n nP x y ． （Ⅰ）令 2 1 2 1n n nb x x????，求證：數(shù)列 {}nb 是等比數(shù)列．并求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和為 nS 解： （ 1）因?yàn)?( , )n n nP x y 、 1 1 1( , )n n nP x y? ? ? 在拋物線上，故 2 4,nnxy? ① 2114nnxy??? ②，又因?yàn)橹本€ 1nnPP? 的斜率為 12n，即 1112nnyyxx??? ?? ，①②代入可得2211 211 1 14 22nn nnnnnnxx xxxx? ? ?? ? ? ? ? ??2 1 2 1 2 1 2 2 2 1( ) ( )n n n n n n nb x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2 2 2 3 2 21 1 12 2 2n n n? ? ?? ? ? ?， 故1 1 {}4n nnb bb? ?? 是以 14 為公比的等比數(shù)列； 4 1 3 1(1 ) 13444nnnnSS? ? ? ? ? ?， 【 問(wèn)題 5】 數(shù)列創(chuàng)新題 例 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，已知 ( )21 1 , 1 , 1 , 2 ,2 nna S n a n n n= = = 鬃 ? （Ⅰ）寫出 nS 與 1nS 的遞推關(guān)系式 ( )2n179。,35,23,2,1 ???? 得到有窮數(shù)列時(shí)當(dāng) a? （Ⅰ）求當(dāng) a 為何值時(shí) a4=0；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列 {bn}滿足 b1=－ 1, bn+1= ()1nb nNb ???，求證a 取數(shù)列 {bn}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列 {an}； （ I）解法一： ,11,11 nn aaaa ??? ?? 2 3 4 41 2 31 1 1 1 2 1 1 3 2 21 1 , 1 1 . 0 .1 2 1 3a a aa a a a aa a a a a a a 故 當(dāng) 時(shí)+ + +\ = + = + = = + = = + = = =++ 4 3 3 2 2 4321112 1 3 21 2 111 1 1 1 2 2: 0 , 1 0 , 1. 1 , . 1 , . 0.2 3 31( ) : 1 , , 1. { } .11 1 1 1, 1 1 . 1 1 .1111n n n nnnn n nnnnna a a a a a a aa a abI I b b b a b a bbba b a b a ba b a baab解 法 二 故 當(dāng) 時(shí)解 法 一 取 數(shù) 列 中 的 任 一 個(gè) 數(shù) 不 妨 設(shè)++= \ + = \ = = + \ = = + \ = = == = \ = + == \ = + = + = \ = + = + =\ = + = + 1121. += = \ =故 a 取數(shù)列 {bn}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列 {an} 24 例 12新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 已知正項(xiàng)數(shù)列 ??na ，其前 n 項(xiàng)和 nS 滿足 21 0 5 6,n n nS a a? ? ?且 1 2 15,a a a 成等比數(shù)列，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) .na 解新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 ∵ 10Sn=an2+5an+6, ① ∴ 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥ 2),② 由①－②得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1),即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 , ∴ an－ an－ 1=5 (n≥ 2). 當(dāng) a1=3 時(shí) ,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數(shù)列∴ a1≠ 3。 （ II）解：由（ I）得*1 2 ( ),nnna a n N? ? ? ? 1 1 2 2 1 1( ) ( ) . . . ( )n n n n na a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 *2 2 . . . 2 1 2 1 ( ) .n n n nN??? ? ? ? ? ? ? ? （ III）證明： 12 1114 4 ... 4 ( 1 ) ,nnbbbb na??? ??12( ... )4 2 ,nnb b b nb? ? ??? 122 [ ( ... ) ] ,nnb b b n n b? ? ? ? ? ? ① 1 2 1 12 [ ( . . . ) ( 1 ) ] ( 1 ) .n n nb b b b n n b??? ? ? ? ? ? ? ? ② ② － ① ，得 112 ( 1 ) ( 1 ) ,n n nb n b n b??? ? ? ? 即 1( 1) 2 0 .nnn b n b?? ? ? ? ③ 21( 1) 2 0 .nnn b n b??? ? ? ? ④ ④ － ③ ，得 212 0 ,n n nn b n b n b??? ? ? 即 212 0,n n nb b b??? ? ? 25 *2 1 1 ( ) ,n n n nb b b b n N? ? ?? ? ? ? ? ??nb? 是等差數(shù)列。 23 解：由 ( )2 1nnS n a n n= ( )2n179。 （ II）由（ I）得 ? ?13 1 1 1 1( 6 5 ) 6 ( 1 ) 5 2 6 5 6 1nnnb a a n n n n???? ? ? ???? ? ? ? ???， 故111 1 1 1 1 11 . . .2 7 7 1 3 6 5 6 1nn b nnT=輊驏 驏 驏鼢 ?瓏 ?犏 = + + + 鼢 ?瓏 ?鼢 ?瓏犏桫 桫 桫 +臌229。（Ⅰ）、求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）、設(shè)11nnnb aa+=， nT 是數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，求使得 20n mT對(duì)所有 nN*206。 已知數(shù)列 ??na 中， nS 是其前 n 項(xiàng)和，并且 114 2 ( 1 , 2 , ) , 1nnS a n a? ? ? ? ?，⑴設(shè)數(shù)列 ),2,1(21 ????? ? naab nnn ， 求 證 ： 數(shù) 列 ??nb 是 等 比 數(shù) 列 ； ⑵ 設(shè) 數(shù) 列),2,1(,2 ???? nac nnn ，求證：數(shù)列 ??nc 是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和。 在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí) ,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 (或 ()nnS f a? ) 解法： 這種類型一般利用 ??? ????????? ??????????????????? )2()1(11 nSS nSannn 與 )()( 11 ?? ???? nnnnn afafSSa 消去 nS )2( ?n 或與 )( 1??? nnn SSfS )2( ?n 消去 na 進(jìn)行求解。 把 nn ,3,2,1 ???? 代入，得 abaa ??? 12 ， )32()(23 ???? abaa ， 234 )32()( ???? abaa ， ??? 21 )32)(( ?? ??? nnn abaa 。 解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以 1?nq ，得： qqaqpqa nnnn 111 ?????引入輔助數(shù)列??nb （其中 nnn qab ? ），得： qbqpb nn 11 ??? 再待定系數(shù)法解決。 例 :已知數(shù)列 ??na 滿足 321?a ， nn anna 11 ??? ，求 na 。( ) 6 2f x x??，數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nn S n N ?? 均在函數(shù) ()y f x? 的圖像上。數(shù)列求和的基本思路是，抓通項(xiàng)，找規(guī)律，套方法。 五、分組求和法 所謂分組法求和就是：對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。 類型 3 qpaa nn ???1 （其中 p， q 均為常數(shù)， )0)1(( ??ppq ）。 解法一 (待定系數(shù)法 )：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 )( 112 nnnn saatsaa ??? ??? 其中 s， t 滿足??? ???? qst pts 解法二 (特征根法 )：對(duì)于由遞推公式 nnn qapaa ?? ?? 12 ， ?? ?? 21 ,aa 給出的數(shù)列 ??na ，方程 02 ??? qpxx ，叫做 數(shù)列 ??na 的特征方程。 解法二（特征根法）：數(shù)列 ??na ： ),0(0253 12 Nnnaaa nnn ????? ?? ， baaa ?? 21 ,的特征方程是： 0253 2 ??? xx 。(2)本題也可由 123 1 ??? ? naa nn , 1)1(23 21 ???? ?? naa nn （ 3?n ）兩式相減得2)(3 211 ???? ??? nnnn aaaa 轉(zhuǎn)化為 nnn qbpbb ?? ?? 12 求之 . 【知識(shí)點(diǎn)】： N 項(xiàng)和 公式 S=(A1+An)N/2 即： [(首項(xiàng) +末項(xiàng) )*項(xiàng)數(shù) ] / 2 等差數(shù)列公式求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+n(n1)d/2 即： 項(xiàng)數(shù) *首項(xiàng) +項(xiàng)數(shù) *（項(xiàng) 15 數(shù) 1） *公差 /2 n 項(xiàng)和 設(shè) a1,a2,a3...an 構(gòu)成等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 Sn=a1+a2+a3...an Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n2)+a1*q^(n1)(這個(gè)公式雖然是最基本公式 ,但一部分題目中求前 n 項(xiàng)和是很難用下面那 個(gè)公式推導(dǎo)的 ,這時(shí)可能要直接從基本公式推導(dǎo)過(guò)去 ,所以希望這個(gè)公式也要理解 ) Sn=a1(1q^n)/(1q)=(a1an*q)/(1q)。 2．在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題 時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。解決本題的關(guān)鍵在于由條件 241 ??? nn aS 得出遞推公式。 （Ⅰ）求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)13?? nnn aab， nT 是數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，求使得20n mT? 對(duì)所有 nN?? 都成立的最小正整數(shù) m。 【 問(wèn)題 4】 數(shù)列與解析幾何 數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，求解時(shí)要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解 . 例 8．在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列 ?? ),(,),(),( 222111 nnn yxPyxPyxP ，對(duì)一切正整數(shù) n ，點(diǎn) nP 位于函數(shù) 4133 ?? xy 的圖象上，且 nP 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以 25? 為首項(xiàng)， 1? 為公差的等差數(shù)列 ??nx . ⑴求點(diǎn) nP 的坐標(biāo)；子⑵設(shè)拋物線列 ?? , 321 ncccc 中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于 x 軸，第 n 條拋物線 nc 的頂點(diǎn)為 nP ，且過(guò)點(diǎn) )1,0( 2 ?nDn ，記與拋物線 nc 相切于 nD 的直線的斜率為 nk ，求：nn kkkkkk 13221111???? ?. 解： （ 1） 23)1()1(25 ????????? nnxn 13 5 3 53 3 , ( , 3 )4 4 2 4n n ny x n P n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） nc? 的對(duì)稱軸垂直于 x 軸，且頂點(diǎn)為 nP .?設(shè) nc 的方程為： 22 ,4 512)2 32( 2 ????? nnxay 把 )1,0( 2 ?nDn 代入上式，得 1?a ， nc? 的方程為： 1)32( 22 ????? nxnxy 。 由11 11nnnnSS+ =，121 112nnnnSS=，?，2132121SS=相加得：11 21nn S S nn+ = ，又1112Sa==，所以 21n nS n= +，當(dāng) 1n= 時(shí)，也成立。 （ I）證明 }{na 是等差數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和的公式； （ II）在 XOY 平面上，設(shè)點(diǎn)列 Mn（ xn， yn）滿足 nnnn ynSnxa 2?? ， ，且