【正文】 nn , 1)1(23 21 ???? ?? naa nn （ 3?n ）兩式相減得2)(3 211 ???? ??? nnnn aaaa 轉(zhuǎn)化為 nnn qbpbb ?? ?? 12 求之 . 【知識(shí)點(diǎn)】： N 項(xiàng)和 公式 S=(A1+An)N/2 即： [(首項(xiàng) +末項(xiàng) )*項(xiàng)數(shù) ] / 2 等差數(shù)列公式求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+n(n1)d/2 即： 項(xiàng)數(shù) *首項(xiàng) +項(xiàng)數(shù) *（項(xiàng) 15 數(shù) 1） *公差 /2 n 項(xiàng)和 設(shè) a1,a2,a3...an 構(gòu)成等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 Sn=a1+a2+a3...an Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n2)+a1*q^(n1)(這個(gè)公式雖然是最基本公式 ,但一部分題目中求前 n 項(xiàng)和是很難用下面那 個(gè)公式推導(dǎo)的 ,這時(shí)可能要直接從基本公式推導(dǎo)過(guò)去 ,所以希望這個(gè)公式也要理解 ) Sn=a1(1q^n)/(1q)=(a1an*q)/(1q)。 (2)通項(xiàng)公式法： ① 若 = +（ n1） d= +（ nk） d ，則 ??na 為等差數(shù)列； ② 若 ，則 ??na 為等比數(shù)列。 2. 在等差數(shù)列 ??na 中 ,有關(guān) nS 的最值問(wèn)題 —— 常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解 ： (1)當(dāng) 1a 0,d0 時(shí)，滿(mǎn)足100mmaa???? ??的項(xiàng)數(shù) m 使得 mS 取最大值 . (2)當(dāng) 1a 0,d0 時(shí)，滿(mǎn)足100mmaa???? ??的項(xiàng)數(shù) m 使得 取最小值。 ： 公式法 、 裂項(xiàng)相消法 、 錯(cuò)位相減法 、 倒序相加法 等。 2．在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題 時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。如： na = 110 0nnSSS???? ??? 21??nn， na = ?? ???nk kk aaa 2 11 )(． 4．解綜合題的成敗在于 審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略． 【 問(wèn)題 1】 等差、等比數(shù)列的項(xiàng)與和特征問(wèn)題 例 ??na 的前 n 項(xiàng)和記為 ? ?11, 1 , 2 1 1n n nS a a S n?? ? ? ?（ Ⅰ）求 ??a 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）等差數(shù)列 ??nb 的各項(xiàng)為正，其前 n 項(xiàng)和為 nT ，且 3 15T? ，又 1 1 2 2 3 3,a b a b a b? ? ?成等比數(shù)列，求 nT 本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。（ 1）求數(shù)列 {}na的通項(xiàng)公式？（ 2）設(shè)數(shù)列 2{log }na 的前 n 項(xiàng)和為 nT ,對(duì)數(shù)列 ??nT ，從第幾項(xiàng)起 509nT ?? ？ .解 (1) ∵ an+ Sn=4096, ∴ a1+ S1=4096, a1 =2048. 當(dāng) n≥ 2 時(shí) , an= Sn－ Sn－ 1=(4096－ an)－ (4096－ an－ 1)= an－ 1－ an ∴1?nnaa = 21 an=2048(21)n－ 1. (2) ∵ log2an=log2[2048(21)n－ 1]=12－ n, ∴ Tn=21(－ n2+23n). 由 Tn－ 509,解得 n 2460123? ,而 n 是正整數(shù) ,于是 ,n≥ 46. ∴ 從第 46 項(xiàng)起Tn－ 509. 【 問(wèn)題 2】 等差、等比數(shù)列的判定問(wèn)題． 例 { na } 共有 2k 項(xiàng)（整數(shù) k ≥ 2），首項(xiàng) 1a ＝ 2．設(shè)該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且 1?na ＝ nSa )1( ? ＋ 2（ n ＝ 1， 2， ┅ ， 2k － 1），其中常數(shù) a ＞ 1． （ 1）求證：數(shù)列 { na } 是等比數(shù)列；（ 2）若 a ＝ 2 122?k ，數(shù)列 { nb } 滿(mǎn)足 nb ＝)(log1 212 naaan ??? （ n ＝ 1， 2， ┅ ， 2k ），求數(shù)列 { nb } 的通項(xiàng)公式； （ 3）若（ 2）中的數(shù)列 { nb } 滿(mǎn)足不等式 | 1b － 23 |＋ | 2b － 23 |＋ ┅ ＋ | 12?kb － 23 |＋ | kb2 － 23 |≤ 4， 求 k 的值． (1) [證明 ] 當(dāng) n=1 時(shí) ,a2=2a,則12aa =a； 2≤n≤2k－ 1 時(shí) , an+1=(a－ 1) Sn+2, an=(a－ 1) Sn－ 1+2, an+1－ an=(a－ 1) an, ∴nnaa1? =a, ∴ 數(shù)列 {an}是等比數(shù)列 . (2) 解 ： 由 (1) 得 an=2a 1?n , ∴ a1a2…a n=2n a )1(21 ???? n? =2n a 2)1(?nn =2 12 )1( ??? knnn , bn= 112 1]12 )1([1 ??????? knknnnn (n=1,2,…,2k). 18 （ 3）設(shè) bn≤23,解得 n≤k+21,又 n 是正整數(shù) ,于是當(dāng) n≤k時(shí) , bn23； 當(dāng) n≥k+1 時(shí) , bn23. 原式 =(23－ b1)+(23－ b2)+…+(23－ bk)+(bk+1－23)+…+(b 2k－23) =(bk+1+…+b 2k)－ (b1+…+b k) = ]12 )10(21[]12 )12(21[ kk kkkk kkk ?? ????? ?? = 12 2?kk . 當(dāng) 12 2?kk ≤4,得 k2－ 8k+4≤0, 4－ 2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2, ∴ 當(dāng) k=2,3,4,5,6,7 時(shí) ,原不等式成立 . 例 4。 分析 ：由于 {bn }和 { }中的項(xiàng)都和 {an }中的項(xiàng)有關(guān)， {an }中又有 S 1n? =4a n +2，可由S 2n? S 1n? 作切入點(diǎn)探索解題的途徑． 解 ： (1)由 S 1n? =4a 2n? ， S 2n? =4a 1n? +2，兩式相減，得 S 2n? S 1n? =4(a 1n? an )，即a 2n? =4a 1n? 4an ． (根據(jù) bn 的構(gòu)造，如何把該式表示成 b 1n? 與 bn 的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練 ) a 2n? 2a 1n? =2(a 1n? 2an )，又 bn =a 1n? 2an ，所以 b 1n? =2bn ① 已知 S2 =4a1 +2， a1 =1， a1 +a2 =4a1 +2，解得 a2 =5， b1 =a2 2a1 =3 ② 由 ① 和 ② 得，數(shù)列 {bn }是首項(xiàng)為 3，公比為 2 的等比數(shù)列，故 bn =3解決本題的關(guān)鍵在于由條件 241 ??? nn aS 得出遞推公式。注意深刻理解函數(shù)性質(zhì)對(duì)數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點(diǎn) . 例 5 已 知二次函數(shù) ()y f x= 的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為 39。 均在函數(shù) ()y f x= 的圖像上。都成立的最小正整數(shù) m； 點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題的能力和推理能力。 （Ⅰ）求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)13?? nnn aab， nT 是數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，求使得20n mT? 對(duì)所有 nN?? 都成立的最小正整數(shù) m。 21 解：（ I）依題意得， 3 2,n nnS ??即 232n nnS ??。 當(dāng) n=1 時(shí)， 113as?? 21 2 116 15 所以 5( )6nn nNa ? ? ?。= 1112 6 1n????????。 【 問(wèn)題 4】 數(shù)列與解析幾何 數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，求解時(shí)要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解 . 例 8．在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列 ?? ),(,),(),( 222111 nnn yxPyxPyxP ，對(duì)一切正整數(shù) n ，點(diǎn) nP 位于函數(shù) 4133 ?? xy 的圖象上，且 nP 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以 25? 為首項(xiàng)， 1? 為公差的等差數(shù)列 ??nx . ⑴求點(diǎn) nP 的坐標(biāo)；子⑵設(shè)拋物線(xiàn)列 ?? , 321 ncccc 中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于 x 軸，第 n 條拋物線(xiàn) nc 的頂點(diǎn)為 nP ，且過(guò)點(diǎn) )1,0( 2 ?nDn ，記與拋物線(xiàn) nc 相切于 nD 的直線(xiàn)的斜率為 nk ，求：nn kkkkkk 13221111???? ?. 解： （ 1） 23)1()1(25 ????????? nnxn 13 5 3 53 3 , ( , 3 )4 4 2 4n n ny x n P n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） nc? 的對(duì)稱(chēng)軸垂直于 x 軸，且頂點(diǎn)為 nP .?設(shè) nc 的方程為： 22 ,4 512)2 32( 2 ????? nnxay 把 )1,0( 2 ?nDn 代入上式，得 1?a ， nc? 的方程為： 1)32( 22 ????? nxnxy 。 ??? ? nyk xn ， )32 112 1(21)32)(12( 111 ???????? ? nnnnkk nn nn kkkkkk 13221111????? ?)]32 112 1()9171()7151[(21 ????????? nn? =64 1101)32 151(21 ????? nn 點(diǎn)評(píng)： 本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大。 ，并求 nS 關(guān)于 n 的表達(dá)式； （Ⅱ）設(shè) ( ) ( )( )1/,nnn n nSf x x b f p p Rn += = ?，求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和 nT 。 得： ( )2 1( ) 1n n nS n S S n n= ，即( )22 1( 1 ) 1nnn S n S n n = ，所以 11 11nnnnSS+ = ，對(duì) 2n179。 由11 11nnnnSS+ =，121 112nnnnSS=，?，2132121SS=相加得：11 21nn S S nn+ = ，又1112Sa==，所以 21n nS n= +，當(dāng) 1n= 時(shí)，也成立。 而 2 3 12 3 ( 1 ) nnnT p p p n p n p= + + + + +， 2 3 4 12 3 ( 1 ) nnnp T p p p n p n p += + + + + +， 2 3 1 1 1( 1 )( 1 ) 1 nn n n nn ppP T p p p p p n p n pp + + = + + + + + = 例 {an}滿(mǎn)足 a1=a, an+1=1+ na1 我們知道當(dāng) a 取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng) a=1 時(shí)，得到無(wú)窮數(shù)列： .0,1,21:,21。 當(dāng) a1=2 時(shí) , a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴ a1=2, ∴ an=5n－ 3 例 ??na 滿(mǎn)足 *1 2 2 11 , 3 , 3 2 ( ) .n n na a a a a n N??? ? ? ? ? （ I）證明：數(shù)列 ? ?1nnaa? ? 是等比數(shù)列； （ II）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （ II）若數(shù)列 ??nb 滿(mǎn)足 12 111 *4 4 ... 4 ( 1 ) ( ) ,nnbbbb na n N??? ? ? ?證明 ??nb 是等差數(shù) （ 1）證明：213 2 ,n n na a a????*212 1 1 1 212( ) , 1 , 3 , 2( ) .nnn n n nnnaaa a a a a a n Naa??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1nnaa???是以 21aa? 2? 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列。 例 ｛ na ｝中，111 22 nna n a a???、 點(diǎn) （ 、 ）在直線(xiàn) y=x 上，其中 n=1,2,3? . (Ⅰ )令 ? ?是等比數(shù)列；求證數(shù)列 nnnn baab ,31 ??? ? (Ⅱ )求數(shù)列 ? ?的通項(xiàng)；na (Ⅲ )設(shè) 分別為數(shù)列、 nn TS ??、na ??nb 的前 n 項(xiàng)和 ,是否存在實(shí)數(shù) ? ，使得數(shù)列 nnSTn????????為等差數(shù)列？若存在，試求出 ? .若不存在 ,則說(shuō)明理由。 （ I）證明 }{na 是等差數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和的公式； （ II）在 XOY 平面上，設(shè)點(diǎn)列 Mn（ xn， yn）滿(mǎn)足 nnnn ynSnxa 2?? ， ，且