【正文】 （Ⅱ） ,22,2 11111 ????? ????? nnnnnnnn bbbba ?,2,2,2 234123012 ?????? bbbbbb ,2 21 ?? ?? nnn bb 等式左、右兩邊分別相加得： ,2221 213222 112101 ??????????? ??? nnnn bb ? nT nnn 2)2222()22()22()22()22( 12101210 ???????????????? ?? ?? = .122221 21 ?????? nn nn 例 8 求 2 2 2 2 1 21 2 3 4 ( 1 ) nSn ?? ? ? ? ? ? ?（ nN?? ） 解：⑴ 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 2 2 2 2 2 2 ( 1 )( 1 2 ) ( 3 4 ) [ ( 1 ) ] ( 1 2 ) 2nnS n n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； ⑵ 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) 1( 1 2 ) ( 3 4 ) [ ( 2 ) ( 1 ) ] [ 1 2 ( 1 ) ] ( )22nnS n n n n n n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?綜 上所述， 1 1( 1) ( 1)2nS n n?? ? ?． 8 點(diǎn)評(píng)：分組求和即將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列 ,分別求和 . 六、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法 . 例 9 求 ??? 1 1111111111 個(gè)n ?????????? 之和 . 解：由于 )110(9199 9 99111 1 111?????????? kkk ???????? 個(gè)個(gè) （找通項(xiàng)及特征） ∴ ??? 1 1111111111 個(gè)n ?????????? ＝ )110(91)110(91)110(91)110(91 321 ??????????? n （分組求和） ＝ )1111(91)10101010(911321 ?? ??? ??個(gè)nn ??????????????? ＝ 9110 )110(1091 nn ???? ＝ )91010(811 1 nn ??? 例 10 已知數(shù)列 {an}： ??? ?????? 1 1 ))(1(,)3)(1(8n nnn aannna 求的值 . 解：∵ ])4)(2(1)3)(1( 1)[1(8))(1( 1 ????????? ? nnnnnaan nn （找通項(xiàng)及特征） ＝ ])4)(3(1)4)(2( 1[8 ?????? nnnn （設(shè)制分組） ＝ )4131(8)4121(4 ???????? nnnn （裂項(xiàng)） ∴ ????????? ? ?????????? 111 1 )4131(8)4121(4))(1(nnn nn nnnnaan （分組、裂項(xiàng)求和） ＝ 418)4131(4 ???? 9 ＝ 313 類(lèi)型 1 )(1 nfaa nn ??? 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 )(1 nfaa nn ??? ，利用累加法 (逐差相加法 )求解。 3 例 2（ 07 高考天津理 21）在數(shù)列 ??na 中， 1112 ( 2 ) 2 ( )nnnna a a n? ? ????? ? ? ? ? ? N， ，其中 0?? ． （Ⅰ）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ； （Ⅰ）解：由 11 ( 2 ) 2 ( )nnnna a n? ? ???? ? ? ? ? ? N， 0?? ， 可得111 22 1nnnnaa? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以2 nnna?????????????????為等差數(shù)列，其公差為 1，首項(xiàng)為 0，故 2 1nnna n????? ? ?????，所以數(shù)列 ??na的通項(xiàng)公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． （Ⅱ）解：設(shè) 2 3 4 12 3 ( 2 ) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?， ① 3 4 5 12 3 ( 2 ) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ② 當(dāng) 1?? 時(shí)，①式減去②式， 得212 3 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 nn n nnT n n??? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2 1 1 2 1 222( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( 1 )n n n nn n n nT ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?． 這時(shí)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和2 1 2 12( 1 ) 22(1 )nn nn nnS ? ? ???? ?? ? ?? ? ??． 當(dāng) 1?? 時(shí)， ( 1)2n nnT ?? ．這時(shí)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 1( 1) 222 nn nnS ??? ? ?． 例 3（ 07 高考全國(guó)Ⅱ文 21）設(shè) {}na 是等差數(shù)列， {}nb 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且111ab??， 3521ab?? ， 5313ab?? （Ⅰ）求 {}na ， {}nb 的通項(xiàng)公式； 4 （Ⅱ）求數(shù)列nnab??????的前 n 項(xiàng)和 nS ． 解：（Ⅰ）設(shè) ??na 的公差為 d ， ??nb 的公比為 q ，則依題意有 0q? 且421 2 211 4 13dqdq? ? ? ??? ? ? ???， 解得 2d? ， 2q? ． 所以 1 ( 1) 2 1na n d n? ? ? ? ?， 112nnnbq????． （Ⅱ） 1212n nna nb ???． 1 2 2 13 5 2 3 2 11 2 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，① 325 2 3 2 12 2 3 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，② ②－①得 2 2 12 2 2 2 122 2 2 2 2n nn nS ?? ?? ? ? ? ? ? ?， 2 2 11 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2nn n?? ???? ? ? ? ? ? ? ????? 1111212221 212nnn??? ?? ? ? ?? 1236 2nn ???? ． 三、逆序相加法 把數(shù)列正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加（即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣） 例 4（ 07 豫南五市二聯(lián)理 22.）設(shè)函數(shù) 222)( ?? x xxf的圖象上有兩點(diǎn) P1(x1, y1)、 P2(x2, y2)，若 )(21 21 OPOPOP ?? ,且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 21 . （ I）求證： P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值； 5 （ II）若 。求,),()3()2()1( * nn SNnnnfnfnfnfS ??????? （ III）略 （ I）∵ )(21 21 OPOPOP ?? ,且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 21 . ∴ P 是 12PP 的中點(diǎn)，且 121xx?? ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 2 11212 22121122222 24214212 2 2 22222 22222px x x xxxxx xxxxxyyy? ? ?? ? ? ??? ??? ? ????? 由（ I）知， 121xx?? ? ? ? ? ? ?12 1 , 1 2 2f f fxx? ? ? ?且 ? ?? ?1 2 1 11 2 1 2nnnnf f f fn n n nnnf f f fn n n nSS?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?又，（ 1 ） + （ 2 ） 得 ：? ? ? ?? ?1 1 2 2 12 1 12 1 1 1 1 3 2 23 2 22nnn n nf f f f f f f fn n n n n nfnnSS? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 四、裂項(xiàng)求和法 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 . 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的 . 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如： （ 1） 111)1( 1 ????? nnnna n （ 2） )12112 1(211)12)(12( )2( 2 ???????? nnnn na n （ 3） ])2)(1(1)1( 1[21)2)(1( 1 ???????? nnnnnnna n等。 例 :已知數(shù)列 ??na 滿(mǎn)足 211?a ， nnaa nn ???? 21 1，求 na 。解法：只需構(gòu)造數(shù)列 ??nb ，消去 ??nf 帶來(lái)的差異． 類(lèi)型 4 nnn qpaa ???1 （其中 p ， q 均 為 常 數(shù) ， )0)1)(1(( ??? qppq ）。由 0253 12 ??? ?? nnn aaa ，得 )(32 112 nnnn aaaa ??? ??? ，且 abaa ??? 12 。 解：由 nnn aaa 3132 12 ?? ?? 可轉(zhuǎn)化為 )( 112 nnnn saatsaa ??? ??? 即 nnn staatsa ??? ?? 12 )( ????????????3132stts?????????311ts或 ????????131ts 這里不妨選用 ????????311ts（當(dāng)然也可選用 ????????131ts，大家可以試一試），則 )(31 112 nnnn aaaa ???? ??? ? ?nn aa ?? ?1 是以首項(xiàng)為 112 ??aa ，公比為 31? 的等比數(shù)列 ,所以 11 )31( ?? ??? nnn aa ,應(yīng)用類(lèi)型 1 的方法，分別 令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，代入上式得)1( ?n 個(gè)等式累加之，即 13 2101 )31()31()31( ??????????????? nn aa 311)31(1 1?????n又 11?a? ，所以 1)31(4347 ???? nna 。 (3)中項(xiàng)公式法 ： 驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。 解 ：（ Ⅰ ） 由 1 21nnaS? ??可得 ? ?12 1 2nna S n?? ? ?，兩式相減得? ?112 , 3 2n n n n na a a a a n??? ? ? ? 又 212 1 3aS? ? ? ∴ 213aa? 故 ??na 是首項(xiàng)為 1，公比為 3 得等比數(shù)列 ∴13nna ?? （Ⅱ）設(shè) ??nb 的公比為 d 由 3 15T? 得，可得 1 2 3 15b b b? ? ? ，可得 2 5b? 故可設(shè) 135 , 5b d b d? ? ? ? 又 1 2 31, 3, 9a a a? ? ? 由題意可得 ? ?? ? ? ? 25 1 5 9 5 3dd? ? ? ? ? ? 解得 122, 10dd?? ∵ 等差數(shù)列 ??nb 的各項(xiàng)為正， ∴ 0d? ∴ 2d? ∴ 17 ? ? 213 2 22n nnT n n n?? ? ? ? ? 例 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且對(duì)任意正整數(shù) n ， 4096nnaS?? 。( ) 6 2f x x=，數(shù)列 {}na的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nn S n N *206。 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， a ? ? 221 ( 3 2 ) 3 1 2 ( 1 ) 6 5n n n n n n n na s s