【正文】 xxxx xx? 15 ? 124 23lim 222 ????? xxxxx = 8161lim2 ???? xxx ⑵431331e1ee])31[(lim])11[(lim)31()11(lim)31(lim)13(lim ??????????????????????????? xnxnxxnxnxnxxxxxxxx ⑶ 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為 15510 32)2( xxx ?? 分母的最高次項(xiàng)為 1512x ，由此得 381232)2(12 )32()1(lim 15510 ??? ???? x xxx （ 4）當(dāng) 0?x 時(shí)，分子、分母的極限均為 0，所以不能用極限的除法法則。 ⒉下列函數(shù)在指定 的變化過程中，（ ）是無窮小量。 解： 32)( ??? xxf ，故 201842)32(3)32()]([ 22 ????????? xxxxxff ⒎函數(shù) )1ln( 2xy ?? 的單調(diào)增加區(qū)間是 。 因?yàn)? 1)0(1)1(lim01s inlim 00 ???? ?? ?? fxxx xx 所以函數(shù) )(xf 在 0?x 處是間斷的， 又 )(xf 在 )0,(?? 和 ),0( ?? 都是連續(xù)的，故函數(shù) )(xf 的間斷點(diǎn)是 0?x 。 ⒉函數(shù) ?????????0101sin)(xxxxxxf的間斷點(diǎn) 是 x? 。 典型例題解析 一、填空題 ⒈極限 limsinsinxx xx? ?02 1 。 間斷點(diǎn)的分類： 已知點(diǎn) 0xx? 是的間斷點(diǎn)， 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限都存在，則 0xx? 稱為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn)； 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限有一個(gè)不存在，則 0xx? 稱為 )(xf 的第二類間斷點(diǎn)。 ⒊熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。 ⒉理解無窮小量的 概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比較。 解：因?yàn)?2)1(2121 22222 ???????? xxxxxx 所以 2)1()1( 2 ???? xxxxf 13 則 2)( 2 ?? xxf ，故選項(xiàng) B 正確。 )(11)1( )1(11)()( xfaaxaa aaxaaxxf xxxx xxxx ????????????? ???? 所以 B 正確。 ⒋函數(shù) )1,0(11)( ????? aaaaxxf xx（ ） ； B. 是偶函數(shù)； ； 。 3．設(shè)函數(shù) f x() 的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù) )()( xfxf ?? 是（ ）． ； ； ； 解： A, B, D 三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。 ＝ x； B. x 軸； 軸； 解：設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對任意 x 有 )())()(()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ??????????????? 即 )(xF 是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。 A. xxgxxf ?? )(,)( 2 ； B. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?2 2； C. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?3 3； D. f x xx g x x( ) , ( )? ?? ? ?2 11 1 解： A 中兩函 數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同 , xxx ??2 ， B, D 三個(gè)選項(xiàng)中的每對函數(shù)的定義域都不同，所以 A B, D 都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng) C 中的函數(shù)定義域相等，且對應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng) C 正確。 解： )(xf 的定義域?yàn)?),( ???? ，且有 )(222)( )( xfaaaaaaxf xxxxxx ???????? ????? 即 )(xf 是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于 y 軸對稱。 解：要使 392??? xxy有意義，必須滿足 092 ??x 且 03??x ，即 ??? ??33xx成立， 12 解不等式方程組，得出 ??? ? ??? 3 33x xx 或，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?),3(]3,( ?????? 。 解：要使 )(lnxf 有意義，必須使 1ln0 ?? x ，由此得 )(lnxf 定義域?yàn)?]e,1[ 。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?]5,3()3,2( ? 。 ⒉函數(shù) xxxf ???? 5)2ln (1)(的定義域是 。 例題選解 一、填空題 ⒈設(shè) )0(1)1( 2 ???? xxxxf ，則 f x( )? 。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類型： ① 常數(shù)函數(shù)： cy? ② 冪函數(shù)： )( 為實(shí)數(shù)??xy ? ③ 指數(shù)函數(shù)： )1,0( ??? aaay x ④ 對數(shù)函數(shù)： )1,0(lo g ??? aaxy a ⑤ 三角函數(shù)： xxxx c o t,ta n,c o s,s in ⑥ 反三角函數(shù)： xxx a r c ta n,a r c c o s,a r c s in ⒋了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡單 的函數(shù)。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖 形特點(diǎn)。 若對任意 x ，有 )()( xfxf ??? ，則 )(xf 稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。 （三）計(jì)算題 ⒈ cxxdxxx x ????? ?? 1s in)1(1c osd1c os2 ⒉ ?? ??? cexdexx xxx 22de ⒊ ?? ??? cxxdxxxx )ln ( ln)( lnln 1dln1 ⒋? ? cxxxx d xxxxxdxxx ????????? ??? 2s i n412c o s212c o s212c o s212c o s21d2s i n ⒌ ?? ??????? e1 1e1 27)ln3(21)ln3d()ln3(dln3 exxxxx x ⒍414341212121de 2102210 210210 2 ????????? ?????? ?? eeedxexexx xxxx ⒎41412121221ln2ln21dln 212211212e1 ??????????????? ??? eeex d xxxx d xxxx eeee ⒏ ?? ????????? e eeexedxxxxxx x 1 121e1 2 12111ln1dln （四）證明題 ⒈證明：若 )(xf 在 ],[ aa? 上可積并為奇函數(shù)，則 0d)( ???aa xxf． 證 : ???????? ????????? a aa aaaa a dttfdttfdttfdxxftx )()()()(令 0)()()( ????? ??? ??? a aa aa a dxxfdxxfdxxf 證畢 ⒉證明：若 )(xf 在 ],[ aa? 上可積并為偶函數(shù)，則 ?? ?? aaa xxfxxf 0 d)(2d)(． 證： ??? ???? aaaa xxfxxfxxf 00 d)(d)(d)( ??? ?????? ? aaa xftftfxxftx 000 )(dt)(dt)(d)(, 是偶函數(shù)則令 ? 證畢?????? ????? ?? aaaaaaa xxfxxfxxfxxfxxfxxf 00000 d)(2d)(d)(d)(d)(d)( 11 高等數(shù)學(xué)（ 1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo) (一 ) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù) )(xfy? 中符號(hào) f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。 ⒌若 ? ?? cxxxf 3c osd)( ，則 ?? )(xf )3cos(9 x? 。 ⒊ ?? xx ded 2 2xe 。 （四）證明題 ⒈ 當(dāng) 0?x 時(shí)，證明不等式 )1ln( xx ?? ． 證： 在區(qū)間 ? ? ? ? 應(yīng)用拉格朗日定理，有上對函數(shù) xxfx ln1,1 ?? ? ? xx ?11ln1ln ??? 其中 11,11 ?????? 故x，于是由上式可得 )1ln( xx ?? ⒉當(dāng) 0?x 時(shí)，證明不等式 1e ??xx ． 證： )1()( ??? xexf x設(shè) 0)0()(,00(01)( ???????? fxfx）xexf x 單調(diào)上升且時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) )1(,0)( ???? xexf x即 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè) 4答案： 第 5 章 不定積分 第 6 章 定積分及其應(yīng)用 （一）單項(xiàng)選擇題 ⒈若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)是 x1 ，則 ?? )(xf （ D）． A. xln B. 21x? C. x1 D. 32x ⒉下列等式成立的是（ D）． A )(d)( xfxxf ??? B. )()(d xfxf ?? C. )(d)(d xfxxf ?? D. )(d)(dd xfxxfx ?? ⒊若 xxf cos)( ? ，則 ??? xxf d)( （ B）． A. cx?sin B. cx?cos C. cx??sin D. cx??cos ⒋ ?? xxfxx d)(dd 32 （ B）． A. )( 3xf B. )( 32 xfx C. )(31 xf D. )(31 3xf ⒌若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則 ? ?xxfx d)(1（ B）． A. cxF ?)( B. cxF ?)(2 C. cxF ?)2( D. cxFx ?)(1 ⒍ 下列無窮限積分收斂的是（ D） ． A. dxx???11 B. dxex???0 10 C. dxx???1 1 D. dxx???1 21 （二）填空題 ⒈函數(shù) )(xf 的不定積分是 dxxf? )( 。 ，容積為 立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？ 解：設(shè)底長為 x，高為 h。 的距離為 L ，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？ 解： 設(shè)園柱體半徑為 R，高為 h，則體積 hhLhRV )( 222 ??? ?? LhhLhLhLhhV： 3 330]3[])2([ 2222 ??????????? ??令。 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè) 3答案： 第 4 章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （一）單項(xiàng)選擇題 ⒈若函數(shù) )(xf 滿足條件（ D），則存在 ),( ba?? ，使得ab afbff ???? )()()(?． A. 在 ),( ba 內(nèi)連續(xù) B. 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) C. 在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo) D. 在 ],[ ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) ⒉函數(shù) 14)( 2 ??? xxxf 的單調(diào)增加區(qū)間是（ D ）． A. )2,(?? B. )1,1(? C. ),2( ?? D. ),2( ??? ⒊函數(shù) 542 ??? xxy 在區(qū)間 )6,6(? 內(nèi)滿足（ A ）． A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D. 單調(diào)上升 ⒋ 函數(shù) )(xf 滿足 0)( ?? xf 的點(diǎn)，一定是 )(xf 的（ C ）． A. 間斷點(diǎn) B. 極值點(diǎn) C. 駐點(diǎn) D. 拐點(diǎn)