【導讀】的圖形關于對稱．。x時，變量是無窮小量．。)(稱為時的無窮小量0xx?。討論)(xf的連續(xù)性。解：分別對分段點1,1xx???A.若)(xf在點0x連續(xù)，

　　

【正文】 f ；0?x 時， 0)( ?? xf ，所以 0?x 是函數(shù) )ee(21)( xxxf ??? 的極小值點。 二、單選題 12 ??xy 在區(qū)間 ]2,2[? 上是（ ） A） 單調增加 B）單調減少 C）先單調增加再單調減少 D）先單調減少再單調增加 解：選擇 D xy 2?? ，當 0?x 時， 0)( ?? xf ；當 0?x 時， 0)( ?? xf ；所以在區(qū)間 ]2,2[? 上函數(shù) 12 ??xy 先單調減少再單調增加。 2. 若函數(shù) )(xfy? 滿足條件（ ），則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點 )( ba ???? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 成立。 A）在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)； B）在 ),( ba 內(nèi)可導； C）在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導； D）在 ],[ ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導。 20 解：選擇 D。 由拉格朗日定理條件，函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導，所以選擇 D 正確。 3. 滿足方程 0)( ?? xf 的點是函數(shù) )(xfy? 的（ ）。 A）極值點 B）拐點 C）駐點 D）間斷點 解：選擇 C。 依駐點定義，函數(shù)的駐點是使函數(shù)一階導數(shù)為零的點。 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)， ),(0 bax ? ，且 0)()( 00 ????? xfxf ，則函數(shù)在 0xx?處（ ）。 A）取得極大值 B）取得極小值 C）一定有拐點 ))(,( 00 xfx D）可能有極值，也可能有拐點 解：選擇 D 函數(shù)的一階導數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的極值點；函數(shù)的二階導數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的拐點，所以選擇 D。 三、解答題 求函數(shù) )1ln( xxy ??? 的單調區(qū)間。 解：函數(shù) )1ln( xxy ??? 的定義區(qū)間為 ),1( ??? ，由于 xxxy ?????? 11 11 令 0??y ，解得 0?x ，這樣可以將定義區(qū)間分成 )0,1(? 和 ),0( ?? 兩個區(qū)間來討論。當 01 ??? x 時， 0??y ；當 ????x0 是， 0??y 。 由此得出，函數(shù) )1ln( xxy ??? 在 )0,1(? 內(nèi)單調遞減，在 ),0( ?? 內(nèi)單調增加。 欲做一個底為正方形，容積為 108 立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最??？ 解：設底邊邊長為 x ，高為 h ，所用材料為 y 且 22 108,108 xhhx ?? xhxy 42 ?? 2222 4321084 xxxxx ???? 232 43224322 xxxxy ?????? 令 0??y 得 60)216(2 3 ???? xx ， 且因為 0,6。0,6 ?????? yxyx ，所以 108,6 ?? yx 為最小值 .此時 3?h 。 于是以 6 米為底邊長， 3 米為高做長方體容器用料最省。 3．證明題：當 1?x 時，證明不等式 ee xx ? 證 設函數(shù) xxf ln)( ? ，因為 )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)可導，所以 )(xf 在 ],1[x 上滿足拉格朗日中值定理條件，有公式可得 )1)(()1()( ???? xcffxf 其中 xc??1 ，即 )1(11lnln ??? xcx 21 又由于 1?c ，有 11?c 故有 1ln ??xx 兩邊同時取以 e 為底的指數(shù)，有 1ln ee ?? xx 即 eexx? 所以當 1?x 時，有不等式 ee xx ? 成立 . 第 5 章學習輔導（ 2） 典型例題解析 一、填空題 ⒈曲線在任意一點處的切線斜率為 2x ，且曲線過點 (, )25 ，則曲線方程為 。 解： cxxx ??? 2d2 ，即曲線方程為 cxy ?? 2 。將點 )5,2( 代入得 1?c ，所求曲線方程為 12 ??xy ⒉已知函數(shù) f x() 的一個原函數(shù)是 2arctanx ，則 ?? )(xf 。 解： 42 1 2)( a r c ta n)( xxxxf ???? 24424444 )1( 62)1( 8)1(2)1 2()( x xx xxxxxf ???? ??????? ⒊已知 Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，那么 f ax b x( )? ?? d 。 解：用湊微分法 )d()(1)d()(1d)( ??? ?????? baxbaxfaaxbaxfaxbaxf cbaxFabaxFa ????? ? )(1)(d1 二、單項選擇題 ⒈設 cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?)(xf （ ）。 A. 1ln ?x ； B. xln ； C. x ； D. xxln 解：因 1lnln)ln()( ?????? xxxxxxxf 故選項 A 正確． ⒉設 Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，則等式（ ）成立。 A. dd dx f x x F x( ( ) ) ( )? ?； B. ? ? ?? F x x f x c( ) ( )d ； C. ? ?? F x x F x( ) ( )d ； D. dd dx f x x f x( ( ) ) ( )? ? 解：正確的等式關系是 )()d)((dd xfxxfx ?? cxFxxF ???? )(d)( 故選項 D 正確． 22 ??? 10 210 2 33 dttdxx ⒊設 Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，則 ??? xxxf d)1( 2 （ ）。 A. cxF ?? )1( 2 ； B. cxF ??? )1( 2 ； C. cxF ??? )1(21 2 ； D. cxF ?)( 解：由復合函數(shù)求導法則得 )1)(1(21])1(21[ 222 ???????? xxfxF )1()1)(1(21 222 xxfxxf ??????? 故選項 C 正確． 三、計算題 ⒈計算下列積分： ⑴x x x12?? d ⑵ 122?? xx xd 解：⑴利用第一換元法 ??? ??????? )d( 112 1)d(12 1d1 22222 xxxxxxx cxx ?????? ? 22 1)1d( ⑵利用第二換元法，設 tx sin? ， ttx dcosd ? ? ??? ??????? tttt ttt ttxx x 1 ) ds in 1(ds ins in1ds in c o sc o sd1 22 222 2 cxxxctt ????????? a r c s in1c o t 2 ⒉計算下列積分： ⑴ ? xxdarcsin ⑵ ? xxxdln2 解：⑴利用分部積分法 ??? ????? xxxxxxxxxxx d1a r c s in)( a r c s inda r c s inda r c s in 2 )d ( 1121a r c s in 22? ???? xxxx cxxx ???? 21a rc s in ⑵利用分部積分法 )lnd(1ln)1d(lndln 2 ??? ????? xxx xxxxx x cxx xxxx x ??????? ? 1lnd1ln 2 高等數(shù)學（ 1）第六章學習輔導 綜合練習題 （一）單項選擇題 （ 1）．下列式子中，正確的是（ ）。 A. 0)(22 ?? dxxf B. C. dxxdxx ?? ? 1010 2 D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） ?? ? baab dxxfdxxf )()( 23 A. xtdtx coscos0 ????????? B. C. 0cos0 ?????????x tdt D. xtdtx coscos0 ????????? (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 A ???0 de xx .B. xxd11??? C. ???0 cos dxx D. xx d1 21??? (4) 若 )(xf 是 ],[ aa? 上的連續(xù)偶函數(shù)，則 )()( ???aa dxxf 。 A. ??0 d)(a xxf B． 0 C． ??0 d)(2 a xxf D． ?a xxf0 d)( (5) 若 )(xf 與 )(xg 是 ],[ ba 上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線bxax ?? , 所圍圖形的面積 ( ). A. ? ?ba dxxgxf )()( B. ? ?ba dxxgxf ))()(( C. ? ?ba dxxfxg ))()(( D. ? ?ba dxxgxf ))()(( 答案： （ 1） A；（ 2） D； （ 3） D； （ 4） C； （ 5） A。 解：（ 1）根據(jù)定積分定義及性質可知 A 正確。 而 ?? ?? baab dxxfdxxf )()( B 不正確。 在（ 0， 1）區(qū)間內(nèi) ???? ?? dxxdxxxx 1010 22 C 不正確。 根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關，而與積分變量的選取無關。 故 D 不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 xttxtt xx c o sdc o s,c o sdc o s 00 ????????????????? ??? ∴ A、 C 不正確。 由定積分定義知 B 不正確。 D 正確。 (3) ? ?????? ???????? ?? )ee(limdelimde 000 bbb xbx xx ∴ A 不正確。 ? ??????? ??????????? ?? )1ln( lnlimlnlim1lim1 111 bxdxxdxx bbbbb ∴ B。不正確。 ? 不存在。)0s in( s inlimc o slimc o s 00 ??? ???????? ?? bdxxdxxbbb ∴ C。不正確。 D D 正確 （ 4）由課本 344 頁 （ 6— 4— 2）和 345 頁（ 6— 4— 3）知 C。正確。 （ 5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) ∴ A 正確。 （二） 填空題 ___ ___ ___c oslim 00 ??? x t dtxx (1) xtdt coscos /20 ???????????1)11(lim_)1(lim