【正文】 （二） 填空題 ___ ___ ___c oslim 00 ??? x t dtxx (1) xtdt coscos /20 ???????????1)11(lim_)1(lim。正確。不正確。 ? 不存在。 ? ??????? ??????????? ?? )1ln( lnlimlnlim1lim1 111 bxdxxdxx bbbbb ∴ B。 D 正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 xttxtt xx c o sdc o s,c o sdc o s 00 ????????????????? ??? ∴ A、 C 不正確。 根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的選取無關(guān)。 而 ?? ?? baab dxxfdxxf )()( B 不正確。 A. ??0 d)(a xxf B． 0 C． ??0 d)(2 a xxf D． ?a xxf0 d)( (5) 若 )(xf 與 )(xg 是 ],[ ba 上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線bxax ?? , 所圍圖形的面積 ( ). A. ? ?ba dxxgxf )()( B. ? ?ba dxxgxf ))()(( C. ? ?ba dxxfxg ))()(( D. ? ?ba dxxgxf ))()(( 答案： （ 1） A；（ 2） D； （ 3） D； （ 4） C； （ 5） A。 A. 0)(22 ?? dxxf B. C. dxxdxx ?? ? 1010 2 D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） ?? ? baab dxxfdxxf )()( 23 A. xtdtx coscos0 ????????? B. C. 0cos0 ?????????x tdt D. xtdtx coscos0 ????????? (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 A. dd dx f x x F x( ( ) ) ( )? ?； B. ? ? ?? F x x f x c( ) ( )d ； C. ? ?? F x x F x( ) ( )d ； D. dd dx f x x f x( ( ) ) ( )? ? 解：正確的等式關(guān)系是 )()d)((dd xfxxfx ?? cxFxxF ???? )(d)( 故選項 D 正確． 22 ??? 10 210 2 33 dttdxx ⒊設(shè) Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，則 ??? xxxf d)1( 2 （ ）。 解：用湊微分法 )d()(1)d()(1d)( ??? ?????? baxbaxfaaxbaxfaxbaxf cbaxFabaxFa ????? ? )(1)(d1 二、單項選擇題 ⒈設(shè) cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?)(xf （ ）。將點 )5,2( 代入得 1?c ，所求曲線方程為 12 ??xy ⒉已知函數(shù) f x() 的一個原函數(shù)是 2arctanx ，則 ?? )(xf 。 3．證明題：當(dāng) 1?x 時，證明不等式 ee xx ? 證 設(shè)函數(shù) xxf ln)( ? ，因為 )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)可導(dǎo)，所以 )(xf 在 ],1[x 上滿足拉格朗日中值定理條件，有公式可得 )1)(()1()( ???? xcffxf 其中 xc??1 ，即 )1(11lnln ??? xcx 21 又由于 1?c ，有 11?c 故有 1ln ??xx 兩邊同時取以 e 為底的指數(shù)，有 1ln ee ?? xx 即 eexx? 所以當(dāng) 1?x 時，有不等式 ee xx ? 成立 . 第 5 章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（ 2） 典型例題解析 一、填空題 ⒈曲線在任意一點處的切線斜率為 2x ，且曲線過點 (, )25 ，則曲線方程為 。0,6 ?????? yxyx ，所以 108,6 ?? yx 為最小值 .此時 3?h 。 由此得出，函數(shù) )1ln( xxy ??? 在 )0,1(? 內(nèi)單調(diào)遞減，在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加。 解：函數(shù) )1ln( xxy ??? 的定義區(qū)間為 ),1( ??? ，由于 xxxy ?????? 11 11 令 0??y ，解得 0?x ，這樣可以將定義區(qū)間分成 )0,1(? 和 ),0( ?? 兩個區(qū)間來討論。 A）取得極大值 B）取得極小值 C）一定有拐點 ))(,( 00 xfx D）可能有極值，也可能有拐點 解：選擇 D 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的極值點；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的拐點，所以選擇 D。 依駐點定義，函數(shù)的駐點是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點。 3. 滿足方程 0)( ?? xf 的點是函數(shù) )(xfy? 的（ ）。 20 解：選擇 D。 2. 若函數(shù) )(xfy? 滿足條件（ ），則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點 )( ba ???? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 成立。 解： )ee(21)( xxxf ???? ，令 0)( ?? xf ，解得駐點 0?x ，又 0?x 時， 0)( ?? xf ；0?x 時， 0)( ?? xf ，所以 0?x 是函數(shù) )ee(21)( xxxf ??? 的極小值點。 解：由參數(shù)求導(dǎo)法 ttxyxytt 122 1dd ??????? 5．設(shè) xxy arctan)1( 2?? ，求 y? 。 y y x? ( ) 由方程 xyxyy? ?e ln確定，求 ddyx 。 三、計算應(yīng)用題 ⒈設(shè) xxy sin22tan ?? ，求 2d ??xy 解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 2ln2c os2c os 2 s i n2 xxxy ???? 由此得 xxy x d2d)2ln22c o sc o s2(d 2s i n22 ????? ?? ?? ⒉設(shè) )(e)e( xfxfy ? ，其中 )(xf 為可微函數(shù)，求 y? 。 5． y x?sin 2 ，則 ??y （ ）。 A. (, )01 ； B. (, )10 ； C. ( , )0 1? ； D. ( , )?10 解： xy e1??? ，令 0??y 得 0?x 。 3．設(shè)函數(shù) )2)(1()1()( ???? xxxxxf ，則 ?? )0(f （ ）． ； ； ； D. 2? 解：因為 18 )1()1()2()1()2)(1)(1()2)(1()( ?????????????? xxxxxxxxxxxxxf ，其中的三項當(dāng) 0?x 時為 0，所以 2)20)(10)(10()0( ??????f 故選項 C 正確。 A. x1 ； B. x1? ； C. 21x ； D. 21x? 解：先要求出 )(xf ，再求 )(xf? 。 A. x2 ； B. 2； ； D 不存在 解：因為 )2(2 )2()(lim 2 fx fxfx ????? ，且 2)( xxf ? ， 所以 42)2( 2 ??? ?xxf ，即 C 正確。 ⒊設(shè) f x x x( ) ? ? ?2 4 5，則 f f x[ ( )]? ? 。 ⒉曲線 xy1?在點（ 1， 1）處切線的斜率是 。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解 一、填空題 ⒈設(shè)函數(shù) )(xf 在 0?x 鄰近有定義，且 1)0(,0)0( ??? ff ，則?? xxfx )(lim0 。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。 ⒍了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對數(shù)得 )2ln (31)1ln (21ln ???? xxy 兩端求導(dǎo)得 )2(3 1)1(2 1 ????? xxyy 整理后便可得 )2(6 821 23 ???????? xx xxxy 若函數(shù)由參數(shù)方程 ??? ?? )( )(ty tx ?? 的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式 )( )(dd ttxy ????? 能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即 21212322 212)1( ????????? xxxx xxxxy 再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計算其導(dǎo)數(shù)，于是有 2321212123 ?? ???? xxxy 這樣計算不但簡單而且不易出錯。 ⒊熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法 （ 1）導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 （ 2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 （ 3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法 （ 4）對數(shù)求導(dǎo)方法 （ 5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法 正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計算，如 一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時，求導(dǎo)時采用取對數(shù)求導(dǎo)法， 例如函數(shù) xxy 2)1( ??，求 y? 。反之則不然，函數(shù) )(xfy? 在 0x 點連續(xù)，在 0x 點不一定可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的定義式還 可寫成極限 00 )()(lim0 xxxfxfxx ??? 1s inlim)(lim 00 ?? ?? ?? x xxf xx 16 函數(shù) )(xf 在點 0xx? 處的導(dǎo)數(shù) )( 0xf? 的幾何意義是曲線 )(xfy? 上點))(,( 00 xfx 處切線的斜率。在學(xué)習(xí)的時候要側(cè)重以下幾點： ⒈理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 （ 2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是 )()(lim)(lim 000 xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 于是有 afb ??? )0(1 ，即 1??ba 時函數(shù)在 0?x 處連續(xù)。 )11(3s in11lim)11(3s in )11)(11(lim3s in 11lim000 ??????? ?????????? xxxxx xxxxxxx = 61213111 1lim3s in3lim31)11(3s inlim000 ?????????????? xxxxx xxxx ????????????0s in001s in)(xx xxaxbxxxf 問（ 1） ba, 為何值時， )(xf 在 0?x 處有極限存在？ （ 2） ba, 為何值時， )(xf 在 0?x 處連續(xù)？ 解：（ 1）要 )(xf 在 0?x 處有極限存在，即要 )(lim)(lim 00 xfxf xx ?? ?? ? 成立。 三、計算應(yīng)用題 ⒈計算下列極限： ⑴ 124 23lim 222 ????? xxxxx ⑵ xx xx ??? ?? )13(lim 15510)2(12 )32()1(lim)3( ? ???? x xxx （ 4） xxx 3sin 11lim0 ??? 解：⑴ 61)6)(2( )2)(1(124 232 2 ????? ????? ?? xxxx