【正文】 XY? , 則),( YXCov = . 解 12),c o v ( ??? DYDXYX XY? . X 的期望值 ? 和方差 2? 都存在 ,總體方差 2? 的無偏估計量是 21 )(?? ?ni i XXnk ,則?k . 解 1??nnk . ),(~ 2??NX ,? 未知 ,檢驗 2020 ?? ?? ： ,應(yīng)選用的統(tǒng)計量是 . 解 )1(~)( 22012???? nXXni i ?? ( 0? 為真時 ) 二 .單項選擇題（每小題 2 分 ,共 16 分） 本中文書和 4 本外文書任意往書架上擺放 ,則 4 本外文書放在一起的概率為（ ） 13 (A) !10!6!4 (B) 107 (C) !10!7!4 (D) 104 解 本題應(yīng)選 C. 件 BA, 相互獨立 ,則下列正確的是（ ） (A) ?)|( ABP )|( BAP (B) ?)|( ABP )(AP (C) )|( BAP )(BP? (D) ?)|( BAP )(1 AP? 解 由獨立性的 定義知 , ?? )()|( APBAP )(1 AP? ,故本題應(yīng)選 D. X 服從參數(shù)為 n ,p 的二項分布 ,且 ?EX , ?DX ,則 n ,p 的值為 （ ） (A) n =8 ,p = (B) n =4 ,p = (C) n =5 ,p = (D) n =6 ,p = 解 由 ?np , )1( ?? pnp ,解得 n =8 ,p = ,本題應(yīng)選 A. X 服從正態(tài)分布 )1,2(N ,其概率密度函數(shù)為 )(xf ,分布函數(shù)為 )(xF ,則有（ ） (A) ?? )0(XP ?? )0(XP (B) ?? )2(XP ?? )2(XP (C) )(xf = )( xf ? , ),( ?????x (D) ?? )( xF ?1 )(xF , ),( ?????x 解 2?EX ,故其密度函數(shù)關(guān)于 2?x 對稱 ,故本題應(yīng)選 B. X 與 Y 滿足 : )( YXD ? )( YXD ?? ,則下列式子正確的是（ ） (A) X 與 Y 相互獨立 (B) X 與 Y 不相關(guān) (C) 0?DY (D) 0??DYDX 解 由 )( YXD ? )( YXD ?? ,可得 0),cov( ?YX ,從而可知 X 與 Y 不相關(guān) ,故本題應(yīng)選 B. nXXX , 21 ? 是來自總體 ),(~ 2??NX 的樣本 ,X 為樣本均值 ,令 ?Y212)(??? ?ni i XX ,則~Y （ ） (A) )1(2 ?n? (B) )(2 n? (C) ),( 2??N (D) ),( 2nN ?? 解 本題應(yīng)選 A. nXXX , 21 ? 是取自總體 ),0( 2?N 的樣本 ,可以作為 2? 的無偏估計量的統(tǒng)計量是（ ） (A) ??ni iXn 121 (B) ???ni iXn 1211 (C) ??ni iXn 11 (D) ???ni iXn 111 解 由無偏估計的定義及期望的性質(zhì) 知 , 2221212 )(1)1( ??????? ???? DXEXDXEXEXnXnEni ini i,故 A 選擇正確 ,同理驗算其他選項 ,B,C,D均不正確 .故本題應(yīng)選 A. nXXX , 21 ? 來自正態(tài)總體 ),( 2??? ,若進(jìn)行假設(shè)檢驗 ,當(dāng)（ ）時 ,一般采用統(tǒng)計量nSXt / 0??? (A) ? 未知 ,檢驗 2? = 20? (B) ? 已知 ,檢驗 2? = 20? 14 (C) 2? 未知 ,檢驗 ? = 0? (D) 2? 已知 ,檢驗 ? = 0? 解 本題應(yīng)選 C. 三 .（本題 8 分） 有兩臺車床生產(chǎn)同一型號螺桿 ,甲 車床的產(chǎn)量是 乙 車床的 倍 ,甲 車床的廢品率為 %2 ,乙 車床的廢品率為 %1 ,現(xiàn)隨機抽取一根螺桿檢查 ,發(fā)現(xiàn)是廢品 ,問該廢品是由 甲 車床 生產(chǎn)的概率是多少？ 解 設(shè) 21,AA 分別表示螺桿由甲 ,乙車床生產(chǎn)的事件 .B 表示螺桿是廢品的事件 .由貝葉斯公式可得 )|()()|()( )|()()|( 2211 111 ABPAPABPAP ABPAPBAP ?? ?????? . 四 .（本題 8 分） 假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為 ,機器發(fā)生故障時全天停止工作 .若一周 五 個工作日里無故障 ,可獲利潤 10 萬元 ,發(fā)生一次故障獲利潤 5 萬元 ,發(fā)生兩次故障獲利潤 0 萬元 ,發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損 2 萬元 ,問一周內(nèi)期望利潤是多少？ 解 設(shè) X 表示一周中所獲的利潤 ,其分布律為 : X 0 5 10 P 54 ???? ?? 從而由期望的定義計算可得 ?EX . 五 .（本題 12 分） X ,Y 的聯(lián)合分布為 : X Y 1 2 3 1 0 61 121 2 61 61 61 3 121 61 0 (1) 求 X ,Y 的邊際分布； (2) 判斷 X ,Y 是否獨立 . 解 (1) X 的邊際分布為： Y 的邊際分布為： X 1 2 3 Y 1 2 3 P 41 21 41 P 41 21 41 (2) X 與 Y 不相互獨立 . ),( YX 的聯(lián)合密度函數(shù)為 : ),( yxf =??? ??? 其他， ，0 0e yxy 求概率 )1( ??YXP . 解 ???? ?? ? ? yxYXP xx y ded)1(1210211 e2e1 ?? ?? . 六 .（本題 8 分） 15 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù)為 : ?)(xF???????? ?，000e 22xxBA x 求 : (1) 系數(shù) A 及 B ； (2) 隨機變量 X 的概率密度； (3) )9ln4ln( ?? XP . 解 (1) 由分布函數(shù)的性質(zhì)知 1)e(l i m)( 22 ?????? ???? ABAF xx , )0(0)e(l i m)(l i m 200 2 FBABAxF xxx ?????? ??? ?? ,從而 1??B 。 (2) )2,2()1,1()( ?????????? YXPYXPYXP 。 56152 ?S . X 服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布 ,現(xiàn)從 X 中隨機抽取 10 個樣本 ,根據(jù)測得的結(jié)果計算知27101 ???i ix ,那么 ? 的矩估計值為 ________. 解 27101? ?? X?. 9 ) ,(~ 2??NX ,且 2? 未知 ,用樣本檢驗假設(shè) 00 ???：H 時 ,采用的統(tǒng)計量是 ________. 解 )1(~0 ??? ntnSXT ? ( 0H 為真時 ). 三 .（本題 8 分） 設(shè)有三只外形完全相同的盒子 ,Ⅰ號盒中裝有 14個黑球 ,6 個白球；Ⅱ號盒中裝有 5個黑球 ,25個白球；Ⅲ號盒中裝有 8個黑球 ,42個白球 .現(xiàn)在從三個盒子中任取一盒 ,再從中任取一球 ,求 : （ 1）取到的球是黑球的概率； （ 2）若取到的是黑球 ,它是取自Ⅰ號盒中的概率 . 解 設(shè) 321 , AAA 分別表示從第Ⅰ ,Ⅱ ,Ⅲ號盒中取球 ,B 表示取到黑球 . (1) 由全概公式可得 ???????? ?? 5083130531202231)|()()( 3 1 ii i ABPAPBP 。當(dāng) 0?y 時 , )()()()( 2 yXyPyXPyYPyF Y ???????? )()( yFyF XX ??? , 所以 ,兩邊關(guān)于 y 求導(dǎo)可得 , .e412 1e412 1e41)( yyyY yyyyyyf ??? ????????? 故 Y 的密度函數(shù)為 ????? ?? ?? ? .0,e41 ,0,0)( yy yyf yY 七 .(本題 6 分 ) 某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū) 1000人商品 ,某種產(chǎn)品在一段時間內(nèi)每人需用一件的概率為 間 ,各人購買與否彼此無關(guān) ,問商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品 ,才能以 % 的概率保證不會脫銷？（假定該商品在某一段時間內(nèi)每人最多買一件） . 解 設(shè)???? 人購買該種商品第人不購買該種商品第 iiX i ,1 ,0 ( 1000,2,1 ??i ),X 表示購買該種商品的人數(shù) ,則),1000(~ BX .又設(shè)商品預(yù)備 n 件該種商品 ,依題意 ,由中心極限定理可得 )240600240 600()()( ????????? nXPDX EXnDX EXXPnXP )240600( ???? n . 查正態(tài)分布表得 240600 ??n