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第21屆希望杯初二第2試試題及答案-文庫吧資料

2025-01-15 07:26本頁面
  

【正文】 么最多可以放入多少個邊長為 2 的正方形?長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是多少? ⑵如果長方形的長是 ( 4)nn≥ ,寬是 2n? ,那么最多可以放入多少個邊長為 2 的正方形?長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是多少? ⑶對于任意滿足條件的長方形,使長方形被覆蓋的面積小于整個長方形面積的 55%求長方形邊長的所有可能值.(已知 ? ) 【解析】 ⑴最多可以放入 2 個正方形,長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是 22 2 2 %4 3 3? ??? . ⑵當 n 是偶數(shù)時, 2n? 也是偶數(shù),最多可以放入 1 ( 2)4nn?個正方形,長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是 100%. 當 n 是奇數(shù)時, 2n? 也是奇數(shù),最多可以放入 1 ( 1)( 3)4 nn??個正方形,長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是 ? ?? ?? ?13 100%2nnnn?? ?? . ⑶設長方形的寬不長分 別是 xy, . 若 xy, 都是偶數(shù),則長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的 100%,丌符合題意. 若 xy, 中一個是偶數(shù) 2a ,一個是奇數(shù) 21b? ( ab, 是正整數(shù)),則 4 4 2 0 .5 52 ( 2 1 ) 2 1a b a b bxy a b b? ? ???. 解得 ? . 沒有滿足此結(jié)果的正整數(shù) b ,這種情況也丌符合題意. 因此, xy, 都是奇數(shù). 令 2121xayb???? ??? , a a b≤ b, ,是正整數(shù), 則有 ? ?? ?4 0 .5 52 1 2aba b a ???. 因為? ? ? ? ? ? ? ?24 4 4 2112 1 2 2 12 1 2 2 1 2ab a a aa b a aaaba??? ? ? ??? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 所以 22 21aa????????. 得 2 0 .7 4 1 .421a aa ??? , 由于 a 是正整數(shù), 所以 1a? 代入①式,得 4 3(2 1)bb ??, 解得 ? , 由于 b 是正整數(shù), 所以 1b? 或 2 故有 33xy??, 或 5. 即長方形長為 5,寬為 3,或長不寬都是 3. 第二十一屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽 參考答案及評分標準 初二 第 2 試 一、選擇題(每小題 4 分.) 題號 1 21 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C C A D A D B 二、填空題(每小題 4 分,第 1 19 題,每空 2 分.) 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 4 ? ?ba?, ≥ 1 ? ?? ?? ?1 1 1x x a x a? ? ? ? ? 15 4; 6 40? 2; 3 42? ? 1. 12 9 3 9 92 5 2 1 0 8 1 0? ? ? ? ?,∴得數(shù)是 10 位數(shù). 2. ∵ 123xy??,∴ 3 32yx?? 將其代入代數(shù)式,得 ? ?? ?39 3 18 729 18 21 42239 18 15 30 5 29 3 182xx xx y xx y x xxx? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?
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