【正文】 劃問題 第 31講 簡單的線性規(guī)劃問題 知識梳理 第 31講 │ 知識梳理 1 ．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 以不等式的解 ______ 為坐標(biāo)的所有點構(gòu)成的集合，叫做不等式表示的區(qū)域或不等式的圖象． 2 ．坐標(biāo)平面內(nèi)的點與直線 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的關(guān)系 ( 1) 點在直線 l 上 ? 點的坐標(biāo)滿足 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ； ( 2) 直線 l 的同一側(cè)的點 ? 點的坐標(biāo)使式子 Ax ＋ By ＋ C 的值具有 ______ 的符號； ( 3) 點 M 、 N 在直線 l 兩側(cè) ? M 、 N 兩點的坐標(biāo)使式子 Ax＋ By ＋ C 的值的符號 ______ ，即一側(cè)都 _______ _ ，另一側(cè)都________ ． (x， y) 相同 相反 大于 0 小于 0 第 31講 │ 知識梳理 3 ．二元一次不等式所表示區(qū)域的確定方法 在直線 l 的某一側(cè)取一特殊點，檢驗其坐標(biāo)是否滿足二元一次不等式，如果滿足，則這點 _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 區(qū)域就是所求的區(qū)域；否則 l 的 _ _ _ __ _ _ _ 就是所求的區(qū)域． 所在的這一側(cè) 另一側(cè) 第 31講 │ 知識梳理 4. 線性規(guī)劃問題的基本知識 名稱 定義 目標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù)，叫做目標(biāo)函數(shù) 約束條件 目標(biāo)函數(shù)中的變量要滿足的不等式組 線性目標(biāo)函數(shù) 若目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則稱為線性目標(biāo)函數(shù) 線性約束條件 如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式 ( 或等式 ) ，則稱為線性約束條件 第 31講 │ 知識梳理 可行解 滿足約束條件的解 ( x ， y ) 稱為可行解 可行域 所有 ______ 組成的集合稱為可行域 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得 ______ 或 ______ 的點的坐標(biāo) 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 可行解 最大值 最小值 要點探究 ? 探究點 1 二元一次不等式（組）所表示的平面域 第 31講 │ 要點探究 例 1 [ 2022 長沙模擬 ] 為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為 400 噸，最多為 600 噸，月處理成本 y ( 元 ) 與月處理量 x ( 噸 ) 之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為 y ＝12x2－ 200 x ＋ 80000 ，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為 100 元． 第 30講 │ 要點探究 [ 思路 ] (1) 平均成本即yx，把其都用 x 表示出來，用基本不等式求解其確定最小值時的 x 值； (2 ) 獲利模型即收入減去成本，本題即 100 x － y ，獲利即 100 x － y 0 ，根據(jù)這個不等式的解和 x的范圍說明是否獲利，根據(jù)這個函數(shù)的最大值說明國家至少補(bǔ)貼值． (1) 該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？ (2) 該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？ 第 30講 │ 要點探究 [ 解答 ] ( 1 ) 由題意可知 ， 二氧化碳的每噸平均處理成本為 yx＝12x ＋80000x－ 200 ≥ 212x 合肥二檢 ] 不 等 式 1 －1x － 10 的 解 集 是__________ ． (3) 不等式 x2＋ x － 1 ＜ 0 的解集是 __ _______ _ ． 第 30講 │ 要點探究 (1) D (2)( － ∞ ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞) (3)????????－ 1 － 52，－ 1 ＋ 52 [ 解析 ] (1) 方程 x2－ 3 x ＋ 2 ＝ 0 的解是 x1＝ 1 ， x2＝ 2. 又函數(shù) y＝ x2－ 3 x ＋ 2 的圖象開口向上，所以不等式 x2－ 3 x ＋ 2 0 的解集為 { x | 1 x 2} ． (2) 由 1 －1x － 1＝x － 2x － 1，得x － 2x － 10 ，這個不等式等價于 ( x －1)( x － 2)0 ，故其解集是 ( － ∞ ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞) ． (3) 方程 x2＋ x － 1 ＝ 0 的根是 x1＝－ 1 － 52， x2＝－ 1 ＋ 52，故不等式 x2＋ x － 1 ＜ 0 的解集是????????－ 1 － 52，－ 1 ＋ 52. 第 30講 │ 要點探究 [ 20 10 江蘇卷 ] 設(shè)實數(shù) x ， y 滿足 3≤ xy 2 ≤8 , 4 ≤ x2y≤9 ，則x 3y 4的最大值是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 27 [ 解析 ] 設(shè)x3y4 ＝ ( xy2)m(x2y)n＝ xm ＋ 2 ny2 m － n，由此得 m ＋ 2 n ＝ 3, 2 m － n ＝－ 4 ，解得 m ＝－ 1 ， n ＝ 2 ，所以x3y4 ＝ ( xy2)－ 1??????x2y2. 根據(jù)不等式的性質(zhì) ( xy2)－ 1≤13，??????x2y2≤81 ，再根據(jù)不等式的性質(zhì) ( xy2)－ 1??????x2y2≤13 81 ＝ 27.故所求的最大值是 27. ? 探究點 4 與不等式性質(zhì)有關(guān)的函數(shù)值范圍問題 第 29講 │ 要點探究 例 4 設(shè) f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ，且 1≤ f ( － 1)≤2,2≤ f (1) ≤4 ，求 f ( － 2)的取值范圍． 第 29講 │ 要點探究 [ 解答 ] 解法一：設(shè) f ( － 2) ＝ mf ( － 1) ＋ nf ( 1) ( m 、 n 為待定系數(shù) ) ，則 4 a － 2 b ＝ m ( a － b ) ＋ n ( a ＋ b ) ， 即 4 a － 2 b ＝ ( m ＋ n ) a ＋ ( n － m ) b ， 于是得????? m ＋ n ＝ 4 ，n － m ＝－ 2 ，解得????? m ＝ 3 ，n ＝ 1. ∴ f ( － 2) ＝ 3 f ( － 1) ＋ f ( 1) ． 又 ∵ 1≤ f ( － 1) ≤ 2,2≤ f ( 1) ≤ 4 ， ∴ 5≤ 3 f ( － 1) ＋ f ( 1) ≤ 10 ，故 5≤ f ( － 2 ) ≤ 10. 規(guī)律總結(jié) 第 29講 │ 規(guī)律總結(jié) 1 ．建立實際問題中的不等關(guān)系的關(guān)鍵是抓住其中制約目標(biāo)的變量， 只要變量找出來了，就可以根據(jù)要求列不等式． 第 29講 │ 規(guī)律總結(jié) 2 ．比較兩個數(shù)或者式子大小的依據(jù)是兩個實數(shù)之間的順序關(guān)系，即通過差的符號判斷兩個數(shù)或者式子的大??；根據(jù)不等式的性質(zhì)，當(dāng) b 0 時，ab1 ? a b ，ab1 ? a b ，這樣在一些是由乘積式或者指數(shù)式組成的數(shù)式大小比較時也可以使用作商比較法． 3 ．不等式的性質(zhì)是不等式問題的基礎(chǔ)，在使用不等式的性質(zhì)解決問題時要注意不等式性質(zhì)成立的條件． 第 30講 │ 一元二次不等式的解法 第 30講 一元二次不等式 的解法 知識梳理 第 30講 │ 知識梳理 1 ．一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax ＞ b ( a ≠ 0) 的解集為： ① 當(dāng) a ＞ 0 時，解集為 ____________ ． ② 當(dāng) a ＜ 0 時，解集為 ____________ ． 2 ．一元二次不等式的解法 ( 1) 將不等式的右端化為 0 ，左端化為二次項系數(shù)大于零的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0( a ＞ 0) 或 ax2＋ bx ＋ c ＜ 0( a ＞ 0) ． ( 2) 求出相應(yīng)一元二次方程的根． ( 3) 利用二次函數(shù)的圖象與 ____________ 確定一元二次不等式的解集． ??????????x|x＞ ba ??????????x|x＜ ba x 軸的交點情況 第 30講 │ 知識梳理 第 30講 │ 知識梳理 { x |x ＜ x 1 或 x ＞ x 2 } {x |x≠x 1} {x |x∈ R} { x |x 1＜ x ＜ x 2 } ? ? 要點探究 ? 探究點 1 解一元二次不等式 第 30講 │ 要點探究 例 1 (1)[ 20 10第五單元 不等式 知識框架 第五單元 │ 知識框架 考綱要求 第五單元 │ 考綱要求 1 ．不等關(guān)系 了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式 ( 組 )的實際背景． 2 ．一元二次不等式 (1) 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型． (2) 通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系． (3) 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖． 第五單元 │ 考綱要求 3 ．二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 (1) 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組． (2) 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組． (3) 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 4 ．基本不等式：a ＋ b2≥ ab ( a ， b ＞ 0) （ 1 ） 了解 基本 不等式 的 證明 過程 . （ 2 ） 會用基本不等式解決簡單的最大 ( 小 ) 值問題． 命題趨勢 第五單元 │ 命題趨勢 不等式既是高考數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識 ， 也是高中數(shù)學(xué)重要的工具知識之一 ， 高考對不等式的考查既有單獨的面對不等式部分主要知識點的考查 ， 也有綜合函數(shù) 、 數(shù)列 、 導(dǎo)數(shù) 、 解析幾何等進(jìn)行的考查 ， 不等式在 高考中占有極為重要的位置 ． ( 1 ) 以選擇題或者填空題的形式考查不等式的性質(zhì) 、 一元二次不等式的解法 、 基本不等式的應(yīng)用 、 二元一次不等式所表示的平面區(qū)域 、 簡單的線性規(guī)劃問題等 ， 試題的難度中等偏上 ． 這類考查在試卷中一般是 2 個題目 ． 第五單元 │ 命題趨勢 ( 2 ) 在解答題中綜合其他知識進(jìn)行綜合考查 ． 在數(shù)列的解答題中 ， 綜合數(shù)列的通項和求和 ， 考查使用基本不等式求最值 、解不等式 、 不等式的證明等 ； 在函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解答題中考查求函數(shù)的定義域 、 討論函數(shù)的單調(diào)性 、 證明不等式等 ； 在解析幾何的解答題中考查利用不等式判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 、求參數(shù)范圍 、 求最值 等 ． 在這類試題中不等式是解決問題的主要工具 ， 高考非常重視不等式的工具作用 ． 根據(jù)高考的這個特點 ， 預(yù)計 2022 年的高考仍然會是這種考查方式 ， 在試卷中設(shè)置兩道左右的選擇題 、 填空題考查不等式的重要知識點 ， 在解答題中對不等式進(jìn)行綜合考查 ． 使用建議 第五單元 │ 使用建議 1 ． 編寫意圖 根據(jù)不等式在高中數(shù)學(xué)中的地位 ( 知識性、工具性 ) ，高考對不等式的考查特點和考試大綱的要求，在編寫本單元時，注意到如下的問題 ． ( 1 ) 重視不等式本身的知識和方法的講解和練習(xí)力度，在第 29 講、第 30 講、第 32 講中對不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式所涉及的 知識和方法進(jìn)行復(fù)習(xí)，以基本的選題和細(xì)致全面的講解進(jìn)行組織，以期通過這三講的復(fù)習(xí)使學(xué)生掌握好不等式本身的重要知識和方法，為不等式的應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ) ． 第五單元 │ 使用建議 ( 2 ) 強(qiáng)化了簡單的線性規(guī)劃問題，從高考的客觀情況看，這是高考必考的兩個知識點，我們重點解決兩方面問題：一是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域問題，其中重點解決了平面區(qū)域中的參數(shù)問題、根據(jù)平面區(qū)域和問題的幾何意義求解一些最值問題 ( 非線性規(guī)劃問題 ) ；二是性規(guī)劃問題，其中以含有實際背景的線性規(guī)劃問題為重點，從建模到求解給予了細(xì)致的講解，并配備了適當(dāng)?shù)牧?xí)題，以圖通過該講 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力 ． 第