【正文】 慣量。作用于物體 Ａ 與鼓輪組成的系統(tǒng)上的力有：繩子張力 F′；物體 Ａ 的重力及 ｚ 軸軸承處的約束力對(duì) ｚ 軸的矩都等于零，故圖上亦未畫(huà)出。鼓輪半徑為 r，重物 B的質(zhì)量為 m。測(cè)得重物 B由靜止下落一段距離 h所需的時(shí)間 τ，試求物體 A對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解： 剛體在任一瞬時(shí)的位置可由 與鉛垂線(xiàn)的夾角 表示，設(shè)角 以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎瑒t有 OC ??sinOJ m ga????第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 剛體作微幅擺動(dòng)時(shí)，有 ，令 ，上式成為 sin??? 20OmgaJ ??20 0? ? ???sin 0Om gaJ????即 此方程為復(fù)擺作微幅擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，其通解為 0s i n ( )At? ? ???式中的 為振幅， 為初相角，它們都由運(yùn)動(dòng)初條件決定。設(shè)復(fù)擺的質(zhì)量為 m， C為其質(zhì)心，復(fù)擺對(duì)懸掛軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 JO 。 111推得 即 或 (1114) ?? Eizz MJ ? ?? Eizz MJ ???第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用在剛體上的主動(dòng)力矩 ； 1 2 已知作用在剛體上的主動(dòng)力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。 理論力學(xué)電子教程 第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 第三節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 理論力學(xué)電子教程 ??? ziiz JrmrmL ii ??? ?? 22將上式代入動(dòng)量矩定理，得 ? ? ?? Eziz MJdtd ?這就是 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。 ?rJPPP OBA ?理論力學(xué)電子教程 解 ：因 ? ? , 0)( )e(FOMrvvmrvm ABAA )(0 ???2vvA ?猴 A與猴 B向上的絕對(duì)速度是一樣的 , 均為 。 。求角加速度。 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 解 : 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象， 受力分析如圖示。 0M ECi ?? 0?? ?ExiM人造衛(wèi)星的太陽(yáng)板 例如裝有太陽(yáng)板的人造衛(wèi)星繞 ｚ 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由于對(duì)稱(chēng)，引力通過(guò)質(zhì)心，如不計(jì)阻力，則外力對(duì) ｚ 軸的矩恒等于零，整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì) ｚ 軸的動(dòng)量矩應(yīng)保持不變。上，得到 ????????????EzizEyiyExixMdtdLMdtdLMdtdL(1113) 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 上式表明： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)隨同質(zhì)心平移的任一軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和。、 y39。 式 中的右邊第二項(xiàng) 是所有外力對(duì)于質(zhì)心Ｃ 的矩和 ，用 表示。 CCC m LvrL ???0(1111) ? ??? riiiC m vrL令 ② 將式 代入式 ，得 ① ② 這一關(guān)系可以表述為： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn) O的動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩與質(zhì)心的動(dòng)量對(duì) O點(diǎn)之矩的矢量和。將質(zhì)點(diǎn)系的 運(yùn)動(dòng)分解為隨同質(zhì)心 的平移與 相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) (即相對(duì)于動(dòng)坐 標(biāo)系 的運(yùn)動(dòng) )。 1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2( c os c os )( c os c os )iiQM M R v R vgQR v R vg??????? ? ?????第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 二、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 取質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 (或隨同質(zhì)心平移的坐標(biāo)系的軸 )為矩心 (或矩軸 )，其動(dòng)量矩定理與對(duì)于固定點(diǎn) (或固定軸 )的動(dòng)量矩定理具有相同的形式。 設(shè)在瞬時(shí) t，兩葉片間的流體為 ABCD(圖 b），在瞬時(shí) t＋ Δt，流體運(yùn)動(dòng)至 abcd。假設(shè)水流是恒定的，求水流作用于水輪機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。 設(shè)重物上升的速度為 ，鼓輪的角 速度為 ，則整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于 ｚ 軸 的動(dòng)量矩為 vωvRgPωRgWL z ?? 221但 ，所以 Rvω ?Rvg PWL Z 2 2??第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 外力對(duì) z軸的矩為 PRMM Eiz ???于是由動(dòng)量矩定理，有 PRMdtdvg PWR ???2 )2(由此可得 重物上升的加速度 gRPW PRMdtdva )2( )(2 ? ???第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 水輪機(jī)受水流沖擊而以勻角速繞著通過(guò)中心O的鉛直軸 (垂直于圖平面 )轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。鼓輪可看作均質(zhì)圓柱，繩的重量及輪軸處的摩擦都不計(jì)。令在鼓輪上作用一力矩 M以提升重物。 ② 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 卷?yè)P(yáng)機(jī)鼓輪重 W，半徑為R，可繞經(jīng)過(guò)鼓輪中心 Ｏ 的水平軸 轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖 117所示。不考慮大氣阻力及其它星球的影響，則衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)只受地球引力的作用，該引力為 其中 m為衛(wèi)星的質(zhì)量， R為地球半徑。 圖 116 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 （ 1）衛(wèi)星在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn) B處時(shí)的速度 為多少？ （ 2）為使衛(wèi)星沿新的圓形軌道運(yùn)行，當(dāng)它到 達(dá) B點(diǎn)時(shí)應(yīng)如何調(diào)整其速度？太空阻力 及其它星球的影響不計(jì)，地球半徑 R=6370km。 對(duì)于式 同樣，對(duì)于 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理，其投影形式也成立。即， 如果質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)某一固定點(diǎn) O的矩始終等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持為常量。 21Mt EOit dt?L M EOOiddt ? ?將動(dòng)量矩式 改寫(xiě)為 221 1L L Mt EO O O it dt?? ? ?(1110) 上式表明： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn) Ｏ 的動(dòng)量矩在一段時(shí)間內(nèi)的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在同一時(shí)間內(nèi)對(duì) Ｏ 點(diǎn)的沖量矩之和。稱(chēng)為 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理 。 由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以它們對(duì)于任一點(diǎn)的矩之和必等于零，即 Σ MOiI=0。 第二節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 理論力學(xué)電子教程 即： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的矢量和 。 若以 z軸為例，應(yīng)有 ? ? ? ?M v vOz zm M m?? ???第一節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 理論力學(xué)電子教程 二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩 整個(gè)剛體 對(duì) z 軸的動(dòng)量矩為 即， 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩，等于剛體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度之乘積。質(zhì)點(diǎn) Mi的動(dòng)量對(duì) z軸的動(dòng)量矩 Lzi定義為 mivi在 xy平面上的投影對(duì) O點(diǎn)的矩。 任取一質(zhì)點(diǎn) Mi的質(zhì)量為 mi，速度為 vi，對(duì) O點(diǎn) 的矢徑為 ri，則 Ｍ i點(diǎn)的動(dòng)量為 mivi，對(duì) O點(diǎn)的動(dòng)量矩 LOi定義為 Mn m1v1 mnvn i j k y x z LOi mivi ri Ｏ Mi M1 動(dòng)量矩是矢量，它