概率論與數(shù)理統(tǒng)計第11講-文庫吧資料
2024-10-22 12:15本頁面
【正文】 科學(xué)系 ,2021 36 167。,(2121uxxxLuxxxLnunqq ??U?? 169。,(2121qqQqnnxxxLxxxL ???? 其中 x1, x2,…, xn是 X 的一個樣本值 , 即 ))(。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 ,2021 34 最大似然估計具有性質(zhì) : 設(shè) q 的函數(shù) u = u ( q ), q ? Q 具有單值反函數(shù) q = q ( u ), u ? U , 又設(shè)q?是 X的概率分布中參數(shù) q 的最大似然估計 , 則)?(? quu ?是 u ( q ) 的最大似然估計 . 這是因為 , q?是 q 的最大似然估計 , 于是有 )。(其它bxaabbaxf,)(1),( )()1( bxxaabbaL nn ????由于 a?x1,x2,...,xn?b等價于 a?x(1),x(n)?b. 似然函數(shù) 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 ,2021 31 12211221222210,( ) 0.? ( 1 / ) ,? ( 1 / ) ( ) .,1?, ( ) .niiniiniiniiniixnnxn x xn x xX A X Xn??????????????????????? ? ? ???????? ? ? ??????解得和因此得 的最大似然估計量為169。( 222 ?????? ??? ???p?? xxf???????? ??? niixL1222 )(21e x p21),( ???p??似然函數(shù)為 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 ,2021 28 最大似然估計法也適用于分布中含多個未知參數(shù) q1,q2,...,qk的情況 . 這時 , 似然函數(shù) L是這些未知參數(shù)的函數(shù) . 分別令 0 , 1 , 2 , ,l n 0 , 1 , 2 , , . ( )iiL i kL i kqq????????或令解上述由 k個方程組成的方程組 , 即可得到各未知參數(shù) qi (i=1,2,...,k)的最大似然估計值 . ()稱為 對數(shù)似然方程組 . iq?169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 ,2021 26 ,01)(lndd),1l n (ln)1l n ()1(ln)(ln)1()(11111111??????????????????????????????????????????????????????????????pxnpxpLppxnpxpxpxpLpppLniiniiniiniiniiniinixxii令而169。q)關(guān)于 q可微 , 這時q常可從方程 )(0)(d d ?qq L)(0)(lndd?qqL解得 . 又因 L(q)與 ln L(q)在同一 q處取到極值 , 因此 , q的最大似然估計 q也可以從方程 求得 , 而從后一方程求解往往比較方便 , ()稱為 對數(shù)似然方程 . 169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 ,2021 24 在很多情形下 , p(x。,(m ax)?。()。(1??niixf qq設(shè) x1,x2,...,xn是相應(yīng)的一個樣本值 , 則隨機點(X1,X2,...,Xn)落在點 (x1,x2,...,xn)的鄰域 (邊長分別為 dx1,dx2,...,dxn的 n維立方體 )內(nèi)的概率近似地為 169。q),q?Q的形式已知 , q為待估函數(shù) , Q是 q可能取值范圍 . 設(shè)X1,X2,...,Xn是來自 X的樣本 , 則其聯(lián)合概率密度為 ??niixf1)。,(2121qqQqnnxxxLxxxL ???? 這樣得到的q?與樣本值 x1, x2,…, xn有關(guān) , 常記為),(?21 nxxx ?q, 稱為 q 的 最大似然估計值 . ),(?21 nXXX ?q稱為 q 的 最大似然估計量 . 169。 q ) 達到最大的參數(shù)q?, 作為參數(shù) q 的估計值 , 即取q?使 )().。,()(121 Qqqqq ??? ??niin xpxxxLL ?169。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 ,2021 20 這一概率隨 q的取值而變化 , 它是 q的函數(shù) , L(q)稱為樣本的似然函數(shù) (注意 , 這里的 x1,x2,...,xn是已知的樣本值 , 它們都是常數(shù) ). 直觀想法是 : 現(xiàn)在已經(jīng)取到樣本值 x1,x2,...,xn了 , 這表明取到這一樣本值的概率 L(q)比較大 . 當然不會考慮那些不能使樣本 x1,x2,...,xn出現(xiàn)的q?Q作為 q的估計 . 如果已知當 q=q0?Q時使L(q)取很大值而 Q中的其它值使 L(q)取很小值 , 自然認為取 q0為 q的估計值較為合理 . .,)。()。q), q?Q的形式為已知 , q為待估參數(shù) , Q是 q的可能取值范圍 . 設(shè) X1,X2,...,Xn是來自 X的樣本 , 則 X1,X2,...,Xn的聯(lián)合分布律為 .)。wenjie, 福建 師范大學(xué) 福清分校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 ,2021 18 例 3 設(shè)總體 X的均值 ?及方差 ?2都存在 , 且有?20, 但 ?,?2均為未知 . 又設(shè) X1,X2,...,Xn是來自X的樣本 . 試求 ?,?2
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