【正文】 接以微積分的形式給出的，如速度 dtrdv ??? ， 加速度dtvda ??? ， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2rdmI ? ?? ， 安培定律 BlIdFd??? ?? ， 電磁感應(yīng)定律dtdN ???? 在用積分求解物理問題中 涉及到積分元，積分變量，積分上下限如何確定等問題，有時(shí)積分或積分變量選得好，計(jì)算就變得很方 17 便和簡(jiǎn)單，否則就難于計(jì)算甚至求不出結(jié)果。用公式表示就是： xy????MRS 5 微積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 微積分解決物理問題時(shí)的微元選 物理現(xiàn)象及其規(guī)律的研究都是以最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的，例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)是從勻速、勻變速直線運(yùn)動(dòng)開始，帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)是以點(diǎn)電荷為基礎(chǔ)。 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義可以解釋為：用增加一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的一個(gè)單位從而對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量帶來的影響是多少。 16 在以上的定義中我們都發(fā)現(xiàn)不管是邊際成本、邊際利潤(rùn)，都是導(dǎo)數(shù)的一些很簡(jiǎn)單的應(yīng)用。 QL 稱為當(dāng)產(chǎn)量為 0Q 時(shí)的邊際利潤(rùn)，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到 0Q 時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則利潤(rùn)將相應(yīng)增減 )( 039。39。 把 15?Q 代 入 4Q12P? 得 6P? 總收益 90QPTR ??? 總利潤(rùn) 110???? TCTR? (2) TR ?? 2 ??? TC 582 ?????? TCTR? 總利潤(rùn)最大時(shí)， 082 ???? qdQd? 得 4?Q 把 4?Q 代入 QP ?? 得 ?P 總收益 4 1 .641 0 .4QPTR ????? 總利潤(rùn) 11TCTR ??? 邊際利潤(rùn)函數(shù) 利潤(rùn)函數(shù) C (Q )R (Q )L (Q )L ?? ， 平均利潤(rùn)函數(shù) LQLL )()( ?? 邊際利潤(rùn)函數(shù) )()()( 39。 例 2: 設(shè)壟斷廠商的需求函數(shù)為 Qp ?? ,總成本函數(shù) ?TC 2 ?? , (1)求： Q 為多少時(shí)使總收益最大 ,與此相應(yīng)的價(jià)格 ,總收益及總利潤(rùn)各為多少？ (2)求： Q 為多少時(shí)總利潤(rùn)最大 ,價(jià)格 ,總收益及總利潤(rùn)為多少 ? 解 :(1)已知廠商的產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Qp ?? 則 QPTR ???? 總收益最大，即要求 ??? TR 所以 15?Q ?？偸找?TR是產(chǎn)量 Q與價(jià)格 P的乘積 , 即 QP TR ?? 總利潤(rùn)為總收益 TR 與總成本 TC 的差值 , 即 TCTR?? 。 QR 稱為當(dāng)商品銷售量為 0Q 時(shí)的邊際收益，經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷售量達(dá)到 0Q 時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增減 )( 039。39。 例 1： 某種產(chǎn)品的總成本 C（萬元）與產(chǎn)量 q（萬件）之間的函數(shù)關(guān)系式（即總成本函數(shù) ）為 qqqqCC 0 0)( 2 ????? 求生產(chǎn)水平為 10?q （萬件）時(shí)的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合適？ 解 當(dāng) q=10時(shí)的總成本為 1 3 01 0 30 . 0 11 0 20 . 21041 0 0C ( 1 0 ) ??????? （萬元） 所以平均成本（單位成本）為 131013010C ( 1 0 ) ???? （元 /件） 邊際成本 239。 QC 稱為當(dāng)產(chǎn)量為 0Q 時(shí)的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到 0Q時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則成本將相應(yīng)增減 )( 039。 QCC ? 稱為邊際成本函數(shù)， 0C 代表固定成本， )( 0QCt 代表可變成本。 4． 邊際成本函數(shù) 總成本函數(shù) )()( 0 QCCQCC t??? 平均成本函數(shù) CQC /)()( ? )( 039。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格達(dá)到 0p 時(shí)，如果價(jià)格上 13 漲一個(gè)單位，則供給增加 )(39。 p ? 稱為邊際供給函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際供給， )(39。 供給函數(shù) )(p? 可導(dǎo) (其中 Q為供給量， P 為商品價(jià)格 )，則其邊際函數(shù) )(39。 pf 稱為當(dāng)價(jià)格為 0p 時(shí)的邊際需求，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格達(dá)到 0p 時(shí)，如果價(jià)格上漲一個(gè)單位，則需求量 將相應(yīng)減少 )( 039。這些邊際概念幾乎都用導(dǎo)數(shù)來表示。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最通常的應(yīng)用是邊際和彈性。 xf 為 )(xfy? 在該區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）。 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 我們先介紹下導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)的自變量在變化時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值變化的快慢程度 —— 變化率。這些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)內(nèi)容涉及到很多個(gè)領(lǐng)域，且函數(shù)表達(dá)方式都有所不同，但它們的原理都是一樣的。積分的應(yīng)用是由人們?cè)谏a(chǎn)生活活動(dòng)中，為 了解決復(fù)雜和動(dòng)態(tài)過程的量化累積而引入的。同樣的在極限的概念基礎(chǔ)上面，很多微積分的概念理論得到發(fā)展，很多經(jīng)濟(jì)學(xué)的知識(shí)也得到有效的解決。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是十分廣泛的，因?yàn)樵诮?jīng)濟(jì)學(xué)中很多函數(shù)里面都有導(dǎo)數(shù)的存在才能去進(jìn)行一些定量分析進(jìn)而得出最優(yōu)化的結(jié)果。若光滑曲線由參數(shù)方程 )()( )( ???? ????? ?? tty tx給出，則它繞 x 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 旋 轉(zhuǎn) 體 的 側(cè) 面 積 為? ???? ?? ???? ttttS d)()()(2 22 例子．求由星形線 taytax 33 s in,c o s ?? 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S。 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出 : )()( bxaxfy ??? 弧長(zhǎng)元素：xyyxs d1)(d)(dd 222 ????? ，因此所求弧長(zhǎng) xxfS ba d)(1 2? ??? 曲線弧由參數(shù)方程給出 : )()( )( ???? ????? ?? tty tx, 弧長(zhǎng)元素 (弧微分 ) : tttyxs d)()()(d)(dd 2222 ?? ?????? , 因此所求弧長(zhǎng)ttts d)()( 22? ???? ?? ?? 曲 線 弧 由 極 坐 標(biāo) 方 程 給 出 : )()( ???? ??? rr , 另???? s in)(,c o s)( ryrx ?? ，則得弧長(zhǎng)為 : ??? d)()( 22 rrds ??? ，因此所求弧長(zhǎng) ????? d)()( 22? ??? rrs 例子．求連續(xù)曲線段 tty x dcos2??? ?的弧長(zhǎng) . 解： ,0cos ?x? 22 ?? ???? x ， xys d1 222 ??? ???? xx d)c os(12 202 ?? ?? 10 ? ? 40sin222 22 ?? ?x 求立體的體積 平行截面面積為已知函數(shù)的立體體積 設(shè)所給立體垂直于 x 軸的截面面積為 ??xA , ??xA 在 ],[ ba 上連續(xù) , 則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間 ]d,[ xxx ? 的體積元素為 xxAV d)(d ? 因此所求立體體積為 xxAV ba d)(?? 例 4．一個(gè)平面經(jīng)過半徑為 R 的圓柱體的底面圓的中心 ,并與底面交成 ? 角 ,計(jì)算該平面所截圓柱體所得立體的體積。 解： 232032220 34]31[2d)(21 aaaA ???? ?? ??? ? 求 平面曲線的弧長(zhǎng) 定義 : 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)時(shí)，線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng)，即iini MMs 110lim ??? ?? ?，稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的。 解 : 由??? ??? 422 xy xy 得交點(diǎn) )4,8(,)2,2( ? 為簡(jiǎn)便計(jì)算 , 選取 y 積分變量 , 則有 yyyAA d)4(d 22142 ????? ?? ? ? 4 2361221 4 ???? yyy 18? 設(shè) 0)(,],[)( ?? ?????? C ，求曲線 )(???r 及射線 ???? ?? , 圍成的曲邊扇形的面積 。 3 微積分在幾何中的應(yīng)用 求平面圖形的面積 直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線 )0()( ?? xfy 與直線 )(, babxax ??? 及 x 軸所圍曲邊梯形面積 為 A ,取 x 為積分變量 ,則 xxfA d)(d ? ，則此面積為xxfA ba d)(?? ，面積為 xxfxfA ba d)()( 21? ?? 例 1. 計(jì)算兩條拋物線 22 , xyxy ?? 在第一象限所圍圖形的面積。于是幾何圖形各種量之間可以化為代數(shù)量之間的關(guān)系，使得幾何與代數(shù)在數(shù)量上統(tǒng)一了起來。他認(rèn)為點(diǎn)移動(dòng)成線，所以方程不僅可表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系，表示變量與變量之間的關(guān)系，還可以表示曲線，于是方程與曲線之間建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系。 笛卡爾 1637 年發(fā)表了《科學(xué)中的正確運(yùn)用理性和追求真理的方法 論》（簡(jiǎn)稱《方法論》），從而確立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。 由于 16世紀(jì)以后歐洲封建社會(huì)日趨沒落，取而代之的是資本主義的興起，為科學(xué)技術(shù)的發(fā)展開創(chuàng)了美好前景。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在 1635 年出版的《連續(xù)不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。他在 1615 年《測(cè)量酒桶體積 的新科學(xué)》一書中，就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形。作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來說，早在我國(guó)的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。 從微積分成為一門學(xué)科來說，是在 17世紀(jì)，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元 5 世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。劉徽公元 263 年首 創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于 3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。對(duì)于這方面的工作，古代中國(guó)毫不遜色于西