【正文】 xkx kx? ?. 122 ... a na? ? ?證畢 . 用微分中值定理 定理 1（羅爾定理）設(shè)函數(shù) )(xf 滿足條件： ??1 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； ??2 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)； ??3 )()( bfaf ? ； 則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一個點 ξ，使得 (39。)( xxfxF ? ，討論 )(xF 在 ),0( ?? 內(nèi)的單調(diào)性并求極值 . ??2 求證 當(dāng) 1?x 時，恒有 1ln2ln 2 ??? xaxx . 解 ??1 根據(jù)求導(dǎo)法則得 .0,2In21)( ????? xxax xxf 故 ,0,2In2)()( ?????? xaxxxxfxF 于是 .0,221)( ?????? xxxxxF 列表如下 x )2,0( 2 ),2( ?? )(39。0y? . 所以 c=2 是函數(shù) y 的極小值點，也是最小值點 . 2 當(dāng) 2m? 即 93 2c?? ,當(dāng) (0,2)r? 時， 39。0y? 。0y? 。 8 ( 2 ) ( ) , 0 22cy c r r rr r c??? ?? ? ? ? ? ? ??. 由于 3c? ，所以 20c?? ，當(dāng) 3 20 02r c??? 時， 3 202r c? ?,令 3 202rmc???，則 0m? , 所以 2228 ( 2 )39。 ?????? ? aaeexg xx ， 故 ()gx在 (0 )?， ∞ 上為增函數(shù)， 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 12 所以， 0?x 時， )0()( gxg ? ，即 axxf ?)( ． 2 若 2a? ，方程 ( ) 0gx? ? 的正根為 21 4ln 2aax ???， 此時，若 1(0 )xx? ， ，則 ( ) 0gx? ? ，故 ()gx在該區(qū)間為減函數(shù)． 所以， 1(0 )xx? ， 時， ( ) (0) 0g x g??，即 ()f x ax? ，與題設(shè) axxf ?)( 相矛盾． 綜上，滿足條件的 a 的取值范圍是 ? ?2?∞ ， ． 生活優(yōu)化問題舉例 例 20 用長為 cm90 ，寬為 cm48 的長方形鐵皮做一個無蓋容器，先在四角分別截取一個小正方形，后把四邊翻轉(zhuǎn) 90 度角，在焊接而成，問該容器的為多時 ，容器的容積最大？最大容積是多少？ 解析 利用導(dǎo)數(shù)求最值時，建立函數(shù)關(guān)系式 .把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，注意自變量的取值范圍 . 解 設(shè)容器高為 xcm 容器的容積為 cxv )( 3m ， 則 ? ? ? ?? ?xxxxv 248290 ??? ? ?2404 3 2 02 7 64 ????? xxxx 求 ??xv 導(dǎo)數(shù)，得 432055212)(39。 ，求 a 的取值范圍． 解 )1( ()fx的導(dǎo)數(shù) ( ) e exxfx ?? ??,由于 22 ??? ?? xxxx eeee ， 故 2)(39。?C ，因此)()( xgxf ? ．原題得證． 導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來 證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式． 例 19（ 07 年全國一卷理科） 設(shè)函數(shù) ( ) e exxfx ???． )1( 證明 ()fx的導(dǎo)數(shù) 2)(39。)(39。 3223 ???? xxxxxx 2c o sc o s3s in32c o ss in3c o s3 ??? xx 4s in2c os3?? xx 2s in2c os6 2?? . xxxg 2s in2co s6)(39。)(39。 ?nf ，當(dāng) 5?n 時， 0)(39。 xf ? 0 ? 0 ? )(xf 極小值 極大值 ? ? ? ? ? ? ? ?內(nèi)增函數(shù)內(nèi)減函數(shù)，在和在 mmmmxf ??????? 1,1,11, .函數(shù) ? ? mxf ?1在 處取得極大值 ? ?mf ?1 ，且 ? ? 31321 23 ???? mmmf . ? ? mxf ?1在 取 得 極 小 值 ? ?mf ?1 , ? ? 31321 23 ????? mmmf . (3)由題設(shè) ? ? ? ?? ?2122 31131 xxxxxmxxxxf ?????????? ?????, 所以方程 0131 22 ????? mxx 由兩個相異的實根 21,xx ，故 321 ??xx ， 且 ? ? 01341 2 ????? m ，解得 ? ? 21,21 ??? mm 舍 , 因為 12332,221221 ?????? xxxxxx 故所以. 若 ? ? ? ?? ? 011311,12121 ??????? xxfxx 則，而 ? ? 01 ?xf ，不合題意 . ? ? 0,0,1 212121 ??????? xxxxxxxxx 有則對任意的若 , ? ? ? ?? ? ? ? 0031 121 ?????? xfxxxxxxf 又則 ，所以函數(shù) ? ? ? ?21 , xxxxf ?在 的最小值為 0，于是對任意的 ? ? ? ? ? ?1, 21 fxfxxx ?? ，恒成立的充要條件是 ? ? 0311 2 ??? mf , 解得3333 ??? m . 綜上， m 的取值范圍是 ???????? 33,21 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 10 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用 例 16 求數(shù)列 12 ...,3,2,1 ?nnxxx 的和 (其中 1,0 ?? xx )． 分析 這道題可以用錯位相減法求和，但若用導(dǎo)數(shù)方法運算會使問題更加簡明． 解 注意到 nn xnx 是1? 的導(dǎo)數(shù)，即 ? ? 1??? nn nxx ，可先求數(shù)列 ??nx 的前 n 和．當(dāng) 1,0?x 時 . xxxxxxxxx nnn ????????? ?11 )1( 12 ? ， 然后等式兩邊同時對 求導(dǎo)，有 12321 ????? nnxxx ? 21)1( )1]()1(1[ x xxxxn nn ? ?????? ? 21 )1( 1)1( x xnnx nn ? ???? ? . 例 17 已知首項 1a 與公差 d 都是正整數(shù)的等差數(shù)列 }{na 滿足對任意 Nn? ，都有4??nan ，（ 1）求數(shù)列 }{na 的前 n 項的和 NS ；（ 2）求數(shù)列nnS Sn 52)10( ?? 的最小項． 分析 這道題第 2 問可以把數(shù)列看成函數(shù)，求導(dǎo)得極小值即是所求的項． 解 因 ?? ????? NdnaaNda n )1(, 11 ，而 )1)(()1( 121 ddanddnaa n ??????? 4??n 對 Nn? 恒成立， 所以 12?d , 4)1)(( 1 ??? dda ,則 31?a , 1?d ,故 )5(213 2 )1( ???? ? nnnS nnn . （ 2）設(shè)nnS Snnf n n352 )10()10()( ???? ?, )5()10(2)10()10(3)(39。( ) 0xx????；當(dāng)1( , )xx? ?? 時， 1( ) 39。( ) 6 4x x x? ??? . 當(dāng) (0, )x? ?? 時， 39。 ???? af ，因此 ． 導(dǎo)數(shù)在方程解的 問題上的應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，可研究方程根的個數(shù)問題 . 例 14（ 2020 年湖南理科） 已知函數(shù) f ( x ) = 3x ， g ( x )= x + x ,求函數(shù)h (x )=f (x )g (x )的零點個數(shù)，并說明理由； 解析 由 3()h x x x x? ? ?知 [0, )? ?? ，而 (0) 0h ? ，且 (1) 1 0, (2) 6 2 0hh? ? ? ? ? ?，則 0x? 為 ()hx的一個零點，且 ()hx在 12（ ， ） 內(nèi)有零點，因此 ()hx至少有兩個零點 . 解 因為 12 2139。 ?xg ，所以 1?x 不是 )(xg 的極值點 . )(xg 的極值點是 2? . 【規(guī)律方法】 在高考中，關(guān)于函數(shù)極值問題比較常見的題型是已知函數(shù)的極值確定字母的取值范圍或值． 例 13（ 2020 四川卷理） 已知 3?x 是函數(shù) xxxaxf 10)1ln ()( 2 ???? 的一個極值點，求 ． 解 因為 1021)(39。 ?xg ；當(dāng) 12 ??? x 時， 0)(39。 a b? ? ? ?，解得 = = 3ab?0， . )2( 由 )1( 得， xxxf 3)( 3 ?? )2()1(232)()(39。 x x a x b? ? ?, 因為 1和 1? 是函數(shù)32()f x x ax bx? ? ?的兩個極值點，所以 (1) 3 2 =0f39。 xf 0? 的根的左右兩邊的符號，確定極值． 例 10 求函數(shù) xxxf ln)( ? ， ],0( ex? 的極值，最值． 解 因為 1ln)(39。 xf 0? 時， )(xf 在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù) 2 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) . 利用導(dǎo)數(shù)求極值可分為三步 . (1)求導(dǎo)數(shù) )(xf ； (2)求方程 )(xf 0? 的根； (3)檢 驗 )(39。 xf 0? ）解出相應(yīng)的 x 的取值范圍，當(dāng) )(39。 xfy? . (3)由 )(39。 xf 0? ，那么函數(shù) )(xfy? 在這個區(qū)間上單調(diào)遞增；如果 )(39。 xf = ? ?39。([ xfxfg 例 9 求 ?)(xf 1ln( 2 ?? xx )的導(dǎo)函數(shù) 。([ xfg )39。)()(39。 xgxfxgxf ? . 3 ]39。()([ xgxf =g(x) )(39。)(39。 導(dǎo)數(shù)運算法則 1 )]39。 8 若 ?)(xf xln , 則 ?)(39。 7 若 ?)(xf log a x , 則 ?)(39。 6 若 ?)(xf e x ,則 ?)(39。 5 若 ?)(xf a x,則 ?)(39。 4 若 ?)(xf xcos , 則 ?)(39。 3 若 ?)(xf xsin , 則 ?)(39。 xf 0 ； 2 若 ?)(xf x ? ( ?? Q? ),則 ?)(39。 x +xe x +2 所以 39。 0 ) = 39。 論文作者簽名： 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日 微積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 宋安康 (天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 甘肅 天水 741000) 摘 要 微積分是高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的學(xué)科之一，應(yīng)用微積分能快速解決生活中的實際問題 ， 本文主要研究運用微積分解決高中數(shù)學(xué)中 有關(guān) 極限 、 導(dǎo)數(shù) 、 微分 、 不等式 等問題中的 應(yīng)用，系統(tǒng)地分析總結(jié) 出 微積分在高考數(shù)學(xué)中的簡便解題方法 . 關(guān)鍵 詞 極限； 微積分；應(yīng)用 ；高中數(shù)學(xué) . Applications of the Calculus in Mathmatics in High School Song Ankang (School of Mathmatics and Statistics, Tianshui Normal University, Gansu, Chin