【正文】 。 n0時， z=0是一個 n階極點。 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) [例 ] 已知 X(z)=(1az1)1， |z|a， 求其逆 Z變換 x(n)。 直接計算圍線積分比較麻煩， 實際中常用三種方法 求逆 z變換 : 1. 用留數(shù)定理求逆 Z變換 2. 冪級數(shù)法 (長除法 ) 3. 部分分式展開法 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) x(n)= 1. 用留數(shù)定理求逆 Z變換 令： 被積函數(shù) X(z)zn1在極點 z=z1k的留數(shù) 設(shè) F(z)在圍線 c內(nèi)的極點為 z1k， 在圍線 c外的極點為 z2k，根據(jù) 留數(shù)定理 : 1( ) ( ) nF z X z z ??x(n)= 使用 ()式 的條件 是 F(z)的分母階次 (z的正次冪 )比分子階次 必須高二階以上 。如果 |a|1, 兩部分的公共收斂域為|a||z||a|－ 1, 其 Z變換如下式 : 如果 |a|≥1，則無公共收斂域，因此 X(z)不存在。 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) [例 ] x(n)=a|n|, a為實數(shù)，求 x(n)的 Z變換及其收 解 第一部分收斂域為 |az|1，得 |z||a|－ 1。 其 Z變換為： 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 4. 雙邊序列 一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之和 ， 其 Z變換為： X(z)的收斂域是 X1(z)和 X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域 。 ? 如果 n20， 則收斂域為 0|z| Rx+ 。 如果是因果序列 ， 收斂域定為 Rx |z|≤∞。 ? 第二項為因果序列 ， 其收斂域為 Rx|z|≤∞， Rx是第二項最小的收斂半徑 。 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2. 右序列 右序列是在 n≥n1時 ， 序列值不全為零 ， 而在 nn1 時 ，序列值全為零的序列 。 解 ： 1101( ) ( )1NNnnNnnzX z R n z zz??????? ? ? ??? ? ????這是一個因果的有限長序列 ， 因此收斂域為 0z≤∞。 若： n10， 出現(xiàn) zn 項 ， 則收斂域不包括 z=∞點； 若： n20， 出現(xiàn) zn項 ， 則收斂域不包括 z=0點； 如果是因果序列 ， 收斂域包括 z=∞點 。 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 序列特性對收斂域的影響 序列的特性決定其 Z變換收斂域 ， 了解序列特性與收斂域的一些關(guān)系 ， 有助于 Z變換的使用 。 該序列的 FT不存在 ， 但如果引進奇異函數(shù) δ(ω)， 其傅里葉變換可以表示出來 (見表 )。 解： 0( ) ( ) nnnnX z u n z z????? ? ? ?????11()1Xz z ?? ?|z|1 X(z)存在的條件是 |z1|1， 因此收斂域為 |z|1， 由 X(z)表達式表明 ， 極點是 z=1， 單位圓上的 Z變換不存在 ， 或者說收斂域不包含單位圓 。 如果已知序列的 Z變換 ， 可用上式方便的求出序列的 FT， 條件 是收斂域中包含單位圓 。 ()式表明 單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換 。 要點： x(n) ?? [ X(z)， 收斂域 ] 即對一個確定的 x(n)， 其 Z變換 X(z)的表達式和收斂域是一個整體 ， 二者共同 、 唯一確定 x(n)。 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 常用的 Z變換是一個有理函數(shù) ， 用兩個多項式之比表示： ()()()PzXzQz?零點 分子多項式 P(z)的根 ， 極點 分母多項式 Q(z)的根 。 X(z)=ZT[x(n)]收斂域 定義為使上式存在的 |z|的取值域 ， 一般收斂域用環(huán)狀域表示： 圖 Z變換的收斂域 Rx+ 和 Rx 稱為收斂半徑 Rx 可以小到零， Rx+可以大到無窮大。 如不另外說明， 均用雙邊 Z變換 對信號進行分析和變換。 00( ) [ ] 2 ( 2 )jnjrX e F T e r?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? () 0 ω0－ ω0X (ej ω)ωπ2ππ?π2?第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關(guān)系 模擬信號 xa(t)的一對傅里葉變換式定義如下： ( ) ( )1( ) ( )2jtaajtaaX j x t e dtx t X j e dt????????????????() () t與 Ω?(∞,+∞) 對連續(xù)信號和 采樣信號 ，它們的關(guān)系用下式 () 描述： ~( ) ( ) ( )a anx t x n T t n T??? ? ????和 xa(t)的傅里葉變換之間的關(guān)系為： ~ ()axt第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 時域離散信號 x(n) 的一對傅里葉變換式為： ( ) ( )1( ) ( )2j j nnj j nX e x n ex n X e e d??????????? ???????() () ? 序列 x(n)的 FTX(e jω)與模擬信號 xa(t)的 FTXa(jΩ)之間的關(guān)系為： () 結(jié)論 ： 序列的 FT和模擬信號的 FT之間的關(guān)系 ， 與采樣信號和模擬信號的 FT之間關(guān)系 是一樣的 ， 都是 Xa(jΩ)以周期 Ωs=2π/T進行周期延拓 ， 頻率軸上取值的對應(yīng)關(guān)系為 ω=ΩT。 解 ： 將 用歐拉公式展開： ~0( ) c o sx n n??~()xn由 ()式 ， 得其 FT： ?? cosω0n的 FT，是在 ω=177。 由于 不滿足絕對可和條件， 因此對周期序列求 FT時，要先計算 ，再計算 X(e jω) 。 2 π π73j j8 400( ) ( ) e ekn knnnX k x n ? ???????πj44πj41e1ekk??????ππjj22ππjj88πj ( e e )j π 2π πjj ( e e )481 e e1e ekkkkkk k?????? ?????3j π8πsi n2eπsi n8kkk??()Xk第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖 例 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 周期序列的傅里葉變換表示式 設(shè)周期序列 以 N為周期 ，其 FT為： ~()xn() 上式中的 ?(?)為 單位沖激函數(shù) [ ?(n )表示單位脈沖序列 ]。 () () 21~ ~ ~021~ ~ ~0( ) [ ( ) ] ( )1( ) [ ( ) ] ( )Nj k nNnNj k nNnX k D FS x n x n ex k I D FS x k x k eN??????????????第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) [例 ] 設(shè) x(n)=R4(n)， 將 x(n)以 N=8為周期進行周期延拓 ， 得到如圖 (a)所示的周期序列 ，周期為 8， 求 DFS［ ］ 。 第 k次諧波 頻率為 ωk=(2π/N)k, k=0, 1, 2 … N1， 幅度為 。 ~()xn() 兩式構(gòu)成一對 DFS。 ∞k∞ () 令： ak也是周期序列，周期為 N。 這里頻域總能量是指 |X(e jω)|2在一個周期中的積分再乘以1/(2π)。h(n)， 則： () 定理說明， 在時域兩序列相乘，對應(yīng)頻域為卷積關(guān)系。 因此 求系統(tǒng)的輸出 信號， (1)可以在時域用卷積公式 ()； (2)可以在頻域按照 ()式，求出輸出的 FT，再作逆 FT求出輸出信號。H(e jω) () 定理說明， 兩序列卷積的 FT，服從相乘的關(guān)系。 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) [例 ] x(n)=anu(n)， 0a1， 求其偶函數(shù) xe(n) 和奇函數(shù) xo(n)。 Xo(ejω) 具有共軛反對稱性質(zhì) ， 其實部是奇函數(shù) ， 虛部是偶函數(shù) 。 定義： 滿足下式的序列稱 共軛反對稱序列： xo(n) = x*o(n) () 第 1章