【正文】 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ????????nnznxnxZzX )()]([)(一、 Z變換定義 *實際上，將 x(n)展為 z1的冪級數(shù)。在時域離散信號和系統(tǒng)Z變換則是其推廣，用以對序列進行復(fù)頻域分析。 ~ ()axt~ ()axt0002200( ) [ ( ) ]c o s 21[]2[ ( 2 ) ( 2 ) ]aajtj f t j f t jtX j F T x tf te d te e e d tff???? ? ? ? ???????? ?????????? ? ? ? ? ???解： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 以 fs=200 Hz對 xa(t)進行采樣得到采樣信號 ， ~()axt~0( ) co s ( 2 ) ( )anx t f n T t n T???? ? ???? 的傅里葉變換得到： ~ ()axta aasksskX j F T x tX j jkTk f k fT00( ) [ ( ) ]1()[ ( 2 ) ( 2 ) ]?? ? ? ????? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 將采樣信號 轉(zhuǎn)換成序列 x(n)， 用下式表示： ()aXj? ?x(n)的 FT， 實際上只要將 Ω=ω/T=ωfs代入 ()aXj? ?x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT) 00( ) [ ( 2 2 ) ( 2 2 )]js s s skX e f k f f f k f fT? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 將 fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式 ， 求括弧中公式為零時的 ω值 ， ω=2πk177。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 按照數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系，在一些文獻中經(jīng)常使用歸一化頻率f′= f/Fs或 Ω ′= Ω /Ω s, ω ′= ω /2π, 因為 f′ 、 Ω ′ 和 ω ′ 都是無量綱量，刻度是一樣的，將 f、 Ω 、 ω 、 f′ 、 Ω ′ 、ω ′ 的定標值對應(yīng)關(guān)系用圖表示。 aa? ( ) ( ) ( )nx t x nT t nT??? ? ????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系 x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT) 采樣得到的時域離散信號和模擬信號的關(guān)系 : a? ()xt理想采樣信號 和模擬信號的關(guān)系 : 對上式進行傅里葉變換 , 得到 : jaaja? ?( j ) ( ) e d( ) ( ) e dttnX x t tx nT t nT t?????????????? ? ?????????????ja ( ) ( ) e dtnx n T t n T t??? ????? ? ???? ?ja ( ) enTnx n T ???? ? ?? ?j a ( ) e ( ) dnTnx n T t n T t? ?? ????? ? ???? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 令 ω=ΩT，且 x(n)=xa(nT) 得到： ja?( e ) ( j )TXX? ??jas1( e ) ( j j )TkX X kT? ???? ? ????ss2 π2 π FT? ??ja12 π( e ) ( j )kkXXTT? ??? ? ??? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 a12 π( ) [ j( ) ]?? ? ?? ?kkX j XTT??1) 時域離散信號的頻譜也是模擬信號的頻譜周期性延拓，周期為 ，因此由模擬信號進行采樣得到時域離散信號時，同樣要滿足前面推導出的采樣定理，采樣頻率必須大于等于模擬信號最高頻率的 2倍以上，否則也會差生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在 Ω s/2附近最嚴重，在數(shù)字域則是在 π 附近最嚴重。 ω 0處的單位沖激函數(shù)，強度為 π ，且以 2π 為周期進行延拓 . j 0( e ) F T [ c os ]Xn? ??001 2 π [ ( 2 π ) ( 2 π )]2 r rr? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??00π [ ( 2 π ) ( 2 π ) ]rrr? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 cosω0n的 FT 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0 ω0－ ω0X (ej ω)ωπ2ππ?π2? 時域離散信號的傅里葉變換和該模擬信號的傅里葉變換之間有一定的關(guān)系。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者 FT表示都可以。 表 基本序列的傅里葉變換 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1( ) ( )2x n u n??1( 1 ) ( 1 )2x n u n? ? ? ?( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )x n x n u n u n n? ? ? ? ? ? ?jj1( e )1eX???? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 表中 u(n)序列的傅里葉變換推導如下： 令 則： 得到： 丟失直流信號 jj( e ) ( e ) π ( 2 π )kX U k?? ???? ? ?? ? ??jj1( e ) π ( 2 π )1e kUk?? ????? ? ?? ? ?? ?3j πj 8π s in ( π / 2 ) π( e ) e4 s in ( π / 8 ) 4kkkXkk? ??? ?? ? ??????????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 】 求例 FT。按照逆變換定義 0je n?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 所以： 在－ π~＋ π區(qū)間，只包括一個單位沖激函數(shù) δ(ω－ ω0)， 00πjj jjπ1e ( e ) e d I F T [ ( e ) ]2 πn nXX?? ?? ?????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ??????? ??? dr22π2 1d)e(π2 1 ππ r 0ππj ? ???????njnj eeX ）（＝則： IFT存在 序列的 FT的 k次諧波： ()xn 2 πj( ( ) / ) e knNX k N2 π ( ) 2 π 2 πrXk krNN ???? ? ??????????1j0( ) 2 π(e ) F T [ ( ) ] 2 π 2 πNkrXkX x n k rNN? ????? ? ? ???? ? ? ???????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 復(fù)指數(shù)序列的 FT的 k次諧波： ()xn因此 的 FT為： 式中， k=0, 1, 2, …, N － 1。但由于 n取整數(shù)，下式成立： 0j( ) e nxn ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 0ja ( ) e tXt ?? 在模擬系統(tǒng)中， ，其傅里葉變換是在 Ω=Ω0處的單位沖激函數(shù)，強度是 2π，即 00j j ( 2 π)een r n?? ??0jj0( e ) F T [ e ] 2 π ( 2 π )nrXr ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? 但這種假定如果成立，則要求逆變換必須存在，且唯 。 )(~ kX )(zX? ?Zj Im? ?ZRe1 2 3 4 5 6 7 (N1) N?2k=0 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 2 π π73 j j8 400( ) ( ) e ekn knnnX k x n ? ???????πj44πj41e1ekk??????ππjj22ππjj88πj ( e e )j π2π πj j ( e e )4 81 e e1e ekkkkkk k?????? ?????3j π8πsi n2eπsi n8kkk??其幅度特性 如圖所示。一個周 期序列可以用其 DFS系數(shù) 表示它的頻譜分布規(guī)律。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 ? 周期序列的離散傅里葉級數(shù) ??????rrNnxnx )()(~ ＝的序列，則：為周期為設(shè) Nnx )(~??? ?????????? ?? nrrn znxznxnx )(~)(~)(~ ＝周期序列可用周期為 N的復(fù)指數(shù)序列表示為離散傅立葉級數(shù)： 基頻序列： nNjeane?211 )( ?k次諧波序列： nNjkk eanek2)( ??kn2N ) n(k2 NjNj ee ?? ?＋????102)(~NknkNjk eanx? k次諧波系數(shù) 周期性 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ?兩邊同乘以， ? ??????? 1010)m(2 ][NkNnknNjk ea?????10k2)(~N kNjnk eanx?nm2Nje ??? ??????????1010)m(2nm210n)(~NnNkknNjkNjNeaenx??－正 交 定理 ??? ??ot h e rm0r,rm為整數(shù)NNm2Nm210nm211NjNjNkNjeee ?????????????? 10n2)(~)(~N nkNjenxkX?并對 n一個周期求和 ????? 10n2)(~1N nkNjk enxNa?kNakX ?)(~令第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ??????? ??? 10102)(~)(~)](~[)(~NnnkNNnnkNj WnxenxnxD F SkX ???????????10102)(~1)(~1)](~[)(~NknkNNknkNjWkXNekXNkXI D FSnx?NjN eW???2)(~)(~102kXenxNknkNj???? ?? ???????? 10)m(2)mk(~ NkNknNjeNX ?周期的 逆變換 kn2kn NjN eW???正變換 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 表明周期序列可分解成 N次諧波，第 k個諧波頻率為ωk=(2π/N)k, k=0, 1, 2, …., N－ 1, 幅度為 。 πj j j ( )π1( e ) ( e ) ( ) e d2 πnnY H x n? ? ? ? ????? ? ? ????