【正文】 變量。常用的有以下幾種方法： (1)并項(xiàng)法 利用公式 1??AA ，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。所以，對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)CABA CBCABADCBCBECACABAEBAY?? ?????????ACBACBACBA CABACABAY ????? ????? ))((CABACABACABACABAY????????????))(())((ACBACABACABAY ???????? 19 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 行化簡(jiǎn)時(shí)，往往先將其化為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式，然后再根據(jù)需要將其轉(zhuǎn)化為其他形式的最簡(jiǎn)表達(dá)式。也可在反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上直接取反得到。例如： (5)最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式 最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式，就是式中非號(hào)下面相加的乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量也最少的與或非表達(dá)式。例如，函數(shù) CABAY ?? ，其反函數(shù)為： 利用反演規(guī)則可直接寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式為： ))(( CABAY ??? (4)最簡(jiǎn)或非 或非表達(dá)式 最簡(jiǎn)或非 或非表達(dá)式，就是式中的非號(hào)最少、并且每個(gè)非號(hào)下面相加的變量也最少的或非 或非表達(dá)式。要求出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式，可以先求出反函 數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式，然后在反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上取反，再用摩根定律去掉非號(hào)得到。 最簡(jiǎn)與非 與非表達(dá)式可在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反，再用摩根定律去掉下面的非號(hào)得到。例如： 顯然，在函數(shù) Y的各個(gè)與或表達(dá)式中，表達(dá)式 CABAY ?? 是最簡(jiǎn)的，因?yàn)樵摫磉_(dá)式中的乘積項(xiàng)最少、并且每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量也最少。 1. 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式 一個(gè)邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式，可按照式中變量之間的運(yùn)算關(guān)系的不同，分為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式、最簡(jiǎn)與非 與非表達(dá)式、最簡(jiǎn)或與表達(dá)式、最簡(jiǎn)或非 或非表達(dá)式和最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式 5種形式。用化簡(jiǎn)后的邏輯表達(dá)式來(lái)構(gòu)成邏輯電路，所需的門電路的數(shù)目最少，而且每個(gè)門電路的輸入端數(shù)目也最少。例如，由表 可以寫出函數(shù) CBBAY ?? 的 反函數(shù) Y的最小項(xiàng)表達(dá)式為： ?????? )7,6,4,0(7640 mmmmmY 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 根據(jù)邏輯表達(dá)式，可以畫出相應(yīng)的邏輯圖。如果 列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為 1 的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。 反復(fù)使用公式 1??AA 和 ACABCBA ??? )( ，可以求出函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。 2. 邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 任一個(gè)邏輯函數(shù)均可以表示成一組最小項(xiàng)的和，這種表達(dá)式稱為函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，也稱為函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，或稱為函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式。 (2)任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為 0。按照這個(gè)原則， 3變量的 8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為： 為了分析最小項(xiàng)的性質(zhì)，現(xiàn)將 3 個(gè)變量 的全部最小項(xiàng)的真值表列于表 中。 為了敘述和書(shū)寫方便，通常用符號(hào) m i 來(lái)表示最小項(xiàng)。 根據(jù)最小項(xiàng)的定義可知：一個(gè)變量 A可組成兩個(gè)最小項(xiàng)： A、 A；兩個(gè)變量 A、 B可組成 4 個(gè)最小項(xiàng)： AB、 BA 、 BA 、 BA ； 3 個(gè)變量 A、 B、 C可組成 8 個(gè)最小項(xiàng)： 。函數(shù)的與或表達(dá)式就是將函數(shù)表示為若干個(gè)乘積項(xiàng)之和的形式，即若干個(gè)與項(xiàng)相或的形式。與非表達(dá)式 或非39。 盡管一邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。 邏輯函數(shù)的表達(dá)式 一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非、與非表達(dá)式、或非、或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式多種表示形式。 把上述反函數(shù)的例子與對(duì)偶函數(shù)的例子對(duì)照一下，可以看出，反函數(shù)和對(duì)偶函數(shù)之間在形式上只差變量的“非”。 利用對(duì)偶規(guī)則，可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。在求一個(gè)函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)時(shí)，同樣要注意運(yùn)算的先后順序。例如： 由這些例子可以看出，如果 Y 的對(duì)偶函數(shù)為 Y＇，則 Y＇的對(duì)偶函數(shù)就是 Y。”換成“ +”，“ +”換成“需要注意的是，在運(yùn)用反演規(guī)則求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行，先算括號(hào)，接著與運(yùn)算，然后或 運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯(cuò)。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則?！睋Q成“ +”，“ +”換成“ （ 2）反演規(guī)則。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。 （ 1）代入規(guī)則。例如，可以利用反演律、分配律和互補(bǔ)律來(lái)證明等式 BABABABA ???????是否成立，證明如下： （反演律） （反演律） （分配律） （互補(bǔ)律） 2. 邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則 邏輯代數(shù)有 3個(gè)重要規(guī)則。 因?yàn)樵诙颠壿嬛兄挥?0 和 1 兩個(gè)常量，邏輯變量的取值不是 0 就是 1，而 最基本的邏輯運(yùn)算又只有與、或、非 3 種，所以常量之間的關(guān)系也只有與、或、非 3 種： 與運(yùn)算： 111 001 010 000 ???????? 或運(yùn)算： 111 101 110 000 ???????? 非運(yùn)算： 01 10 ?? (2) 基本公式。也可利用已知的公式來(lái)證明其公式。 B BAY ??2 A BAAB?? B ABY?1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則 1. 根據(jù)邏輯變量的取值只有 0 和 1，以及邏輯變量的與、或、非 3 種運(yùn)算法則，可推導(dǎo)出邏輯運(yùn)算的基本公式和定理。例如，已知下列兩個(gè)函數(shù) 輸入 輸出 F A B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 輸入 輸出 F A B 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 13 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 ABY?1BAY ??2 ABY?1 BAY ??2 列出 Y1 和 Y2的真值表，如表 。 顯然，若兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個(gè)函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個(gè)函數(shù)一定相等。記為： ),( ???? CBAfY 與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是 0 或 1，并且這里的 0 和 1 只表示兩種不同的狀態(tài)，沒(méi)有數(shù)量的含義。例如，邏輯表達(dá)式 BABABAY ???? 說(shuō)明A、 B之間邏輯關(guān)系， Y是 A和 B的異或函數(shù)。邏輯表達(dá)式就是由邏輯變量和與、或、非 3 種運(yùn)算符連接起來(lái)所構(gòu)成的式子。簡(jiǎn)言之，“相同則 1，相異則 0”。實(shí)現(xiàn)同或運(yùn)算的門電路是同或門，同或門的真值表如表 示，其邏輯符號(hào)如圖 。 由邏輯非、異或邏輯可以實(shí)現(xiàn)同或邏輯運(yùn)算，即 ??? BAF A⊙ B。 二輸入異或邏輯的運(yùn)算規(guī)則是：若兩個(gè)輸入變量的邏輯值相同，則它們的異或值為“ 0”； 若兩個(gè)輸入變量的邏輯值不相同，則它們的異或值為“ 1”。式中“ ? ”為異或邏輯運(yùn)算符號(hào)，讀為“異或”。實(shí)現(xiàn)與或非運(yùn)算的門電路是與或非門，四輸入端與或非門的真值表如表 所示，其邏輯符號(hào)如圖 所示。實(shí)現(xiàn)或非運(yùn)算的門電路是或非門，兩輸入端或非門的真值表如表 所示，其邏輯符號(hào)如圖 所示。實(shí)現(xiàn)與非運(yùn)算的門電路是與非門，兩輸入端與非門的真值表如表 所示，其邏輯符號(hào)如圖 所示。 假定用高電平 3v 代表邏輯 1，低電平 OV和 代表邏輯 0，根據(jù)上述分析結(jié)果，可得到電路邏輯真值表如表 。 ＝ 3v 由于 VA＝ 3v ，三極管 VT 發(fā)射結(jié)正偏， VT 導(dǎo)通并處于飽和狀態(tài)（可以設(shè)計(jì)電路使基極電流大于臨界飽和基極電流，在這種情況下，三極管為飽和狀態(tài)）。下面分析圖 。簡(jiǎn)言之，“有一個(gè)為 1，就為 1；都為 0，才為 0”。 因此，圖 ，即 F＝ A＋ B。通過(guò)真值表可看出，只要輸入有一個(gè) 1，輸出就為 1。 ，在 VA＝ 3v ， VB＝ 0v 和 VA＝ 3v ，VB＝ 3v 的情況下，可得出 VF＝ 3v 。 ＝ Ov ， VB＝ 3v 在這種情況下， VD2先導(dǎo)通，由于 二極管的鉗位作用， VF＝ VB＝ 3v 。輸入 A和 B的高、低電平共有四種不同的情況，下面 分別討論。簡(jiǎn)言之，“有一個(gè)為 0，就為 0；都為 1，才為 1”。兩輸入與門的邏輯符號(hào)如圖，本書(shū)以后章節(jié)均采用國(guó)標(biāo)邏輯符號(hào)。 因此，圖 ，即 F＝ A 通過(guò)表 ，只有輸入變量 A 和 B 都為 1（即邏輯真）時(shí)，輸出變量（邏輯函數(shù)） F才為 1（即邏輯真）。 將上述輸入與輸出電平之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表，如表 所示。 ＝ VB＝ 3v 在這種情況下， VD1和 VD2都處于反向偏置， VD1和 VD2都截止。由于二極管的鉗位作用， VF＝ 0v 。此時(shí)， VD2 反偏，處于截止?fàn)顟B(tài)。 ＝ Ov ,VB＝ 3v VA＝ Ov ,VD1先導(dǎo)通。 ＝ VB＝ Ov 在這種情況下，顯然二極管 VD1和 VD2都處于正向 偏置， VD1和 VD2都導(dǎo)通。我們來(lái)分析這個(gè)電路如何實(shí)現(xiàn)邏輯與運(yùn)算。 A和 B為輸入， F為輸出。常用的基本數(shù)字器件有與門電路、或門電路、非門電路；由基本的與、或、非門電路可以組成與非門電路、或非門電路、與或非門電路等復(fù)合邏輯門電路，下面分別介紹由二極管構(gòu)成的門電路數(shù)字器件的工作原理和邏輯符號(hào)。下面舉例說(shuō)明用補(bǔ)碼表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的方法。 例 用原碼表示（＋ 7） 10＝（ 0 1 1 1 ） 2 用原碼表示 （－ 7） 10＝（ 1 1 1 1 ） 2 但是，在計(jì)算機(jī)中，大多數(shù)情況下都采用補(bǔ)碼表示法。 表 十六進(jìn)制 1 位數(shù) 表 二 十進(jìn)制碼 7 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 有符號(hào)的二進(jìn)制數(shù) 為了表示二進(jìn)制數(shù)中的負(fù)數(shù)，有時(shí)可以用符號(hào)位加數(shù)的絕對(duì)值的方法來(lái)表示，其中符號(hào)位為“ 0”表示正數(shù)，符號(hào)位為“ 1”表示負(fù)數(shù)，這種表示方法也稱為原碼表示法。 二 十進(jìn)制碼 二 十進(jìn)制碼是用二進(jìn)制數(shù)的 4 個(gè)數(shù)位（ 4bit）表示十進(jìn)制的 1 個(gè)數(shù)位的方法。表 列出了十六進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的關(guān)系。 例 （ ） 2＝ 0 2 1? ＋ 1 2 2? ＋ 0 2 3? ＋ 1 2 4? ＝ 0＋ ＋ 0＋ ＝ () 10 十六進(jìn)制數(shù) 在二進(jìn)制數(shù)中的“ 2”、十進(jìn)制數(shù)中的“ 10”是表示這些數(shù)值的基本數(shù)，故把這些數(shù)叫做基數(shù)（ radix）。 2 1? 的數(shù)位是小數(shù)第 1 位的數(shù)位的權(quán)， 2 5? 的數(shù)位是小數(shù)第 5 位的數(shù)位的權(quán)，?，依此類推， 2 n? 的數(shù)位是小數(shù)第 n 位的數(shù)位的權(quán)。 一個(gè)二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)值就是數(shù)位是“ 1”的各位權(quán)值之和。這個(gè)值叫做二進(jìn)制數(shù)的權(quán) (i=1,2,… ,n)。由表 可知，二進(jìn)制數(shù)中第一個(gè)數(shù)位的“ 1”表示（ 1） 10，第二個(gè)數(shù)位的“ 1”表示（ 2） 10，第三個(gè)數(shù)位的“ 1”表示（ 4） 10，第四個(gè)數(shù)位的“ 1”表示（ 8） 10，依次類推，形成表 。 表 2 進(jìn)制數(shù)與 10 進(jìn)制數(shù)的比較 2 進(jìn)制數(shù) 10進(jìn)制數(shù) 0000 0 0001 1 拇指彎下表示“ 1”，伸直表示“ 0” 表示 5位二進(jìn)制數(shù)的 1 用燈泡點(diǎn)亮的 狀態(tài)表示 1 食指彎下表示“ 1”，伸直 表示“ 0” 表示 5 位二進(jìn)制數(shù)的 2 用燈泡點(diǎn)亮的 狀態(tài)表示 2 5 《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》教案 第一章 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 10 1011 11 1100 12 1101 13 1110 14 1111 15 比特 在二進(jìn)制中，把相當(dāng)于位的數(shù)叫做比特（ bit:binary digit）。 十進(jìn)制數(shù)用