成人高考專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料-文庫(kù)吧資料
2024-09-08 10:33本頁(yè)面
【正文】 過(guò) 有限次四 則 運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的擊數(shù)在其定 義 的區(qū) 間內(nèi)是 連續(xù) 擊數(shù)。 定理 （有界性定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ， 則 f（ x）必在 [a， b]上有界。即 定理 （反擊數(shù)的 連續(xù) 性） 設(shè) 擊數(shù) y=f（ x）在某區(qū) 間 上 連續(xù) ，且 嚴(yán) 格 單調(diào) 增加（或 嚴(yán) 格 單調(diào) 減少），則 它的反擊數(shù) x=f1（ y）也在 對(duì)應(yīng) 區(qū) 間 上 連續(xù) ，且 嚴(yán) 格 單調(diào) 增加（或 嚴(yán) 格 單調(diào) 減少）。 定理 （復(fù)合擊數(shù)的 連續(xù) 性） 設(shè) 擊數(shù) u=g（ x）在 x=x0處連 續(xù) ， y=f（ u）在 u0=g（ x0） 處連續(xù) ， 則復(fù)合擊數(shù) y=f[g（ x） ]在 x=x0處連續(xù) 。 g（ x）在 x0處連續(xù) （ 2） f（ x） ， 則 f（ x）在 =0,x=1 處 都 間 斷 =0,x=1 處 都 連續(xù) =0 處間 斷， x=1 處連續(xù) =0 處連續(xù) ， x=1 處間 斷 解： x=0 處 ， f（ 0） =0 ∵ f（ 00）≠ f（ 0+0） x=0 為 f（ x）的 間 斷點(diǎn) x=1 處 ， f（ 1） =1 f（ 10） =f（ 1+0） =f（ 1） ∴ f（ x）在 x=1 處連續(xù) ［答案］ C [9703]設(shè) ，在 x=0 處連續(xù) ， 則 k 等于 B. C. 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 分析： f（ 0） =k ［答案］ B 例 3[0209]設(shè) 在 x=0 處連續(xù) ， 則 a= 解： f（ 0） =e0=1 ∵ f（ 0） =f（ 00） =f（ 0+0） ∴ a=1 ［答案］ 1 （二）擊數(shù)在一點(diǎn) 處連續(xù) 的性 質(zhì) 由于擊數(shù)的 連續(xù) 性是通 過(guò) 極限來(lái)定 義 的，因而由極限的運(yùn)算法 則 ，可以得到下列 連續(xù) 擊數(shù)的性 質(zhì) 。 間 斷點(diǎn) 定 義 如果擊數(shù) f（ x）在點(diǎn) x0處 不 連續(xù)則 稱(chēng)點(diǎn) x0為 f（ x）一個(gè) 間 斷點(diǎn)。 這 里， f（ x）在左端點(diǎn) a 連續(xù) ，是指 滿(mǎn) 足關(guān)系： ，在右端點(diǎn) b連續(xù) ，是指 滿(mǎn) 足關(guān)系： ，即 f（ x）在左端點(diǎn) a處 是右 連續(xù) ，在右端點(diǎn) b處 是左 連續(xù) 。由上述定 義 2可知如果擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0處連續(xù) ， 則 f（ x）在點(diǎn) x0處 左 連續(xù) 也右 連續(xù) 。 [主要知 識(shí) 內(nèi)容 ] （一）擊數(shù) 連續(xù) 的概念 x0處連續(xù) 定 義 1設(shè) 擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0的某個(gè) 鄰 域內(nèi)有定 義 ，如果當(dāng)自 變 量的改 變 量△ x（初 值為 x0） 趨 近于0 時(shí) ，相 應(yīng) 的擊數(shù)的改 變 量△ y也 趨 近于 0，即 則 稱(chēng)擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0處連續(xù) 。 閉 區(qū) 間 上 連續(xù) 擊數(shù)的性 質(zhì) 會(huì)用 它 們證 明一些 簡(jiǎn)單 命 題 。 第二 節(jié) 擊數(shù)的 連續(xù) 性 [復(fù) 習(xí) 考 試 要求 ] 處連續(xù) 與 間 斷的概念，理解擊數(shù)在一點(diǎn) 處連續(xù) 與極限存在之 間 的關(guān)系，掌握判斷擊數(shù)（含分段擊數(shù)）在一點(diǎn) 處連續(xù) 性的方法。 （七）求極限的方法： 則 運(yùn)算法 則 求極限； ； 無(wú) 窮 小量的性 質(zhì) 求極限； 連續(xù) 性求極限； 則 求未定式的極限； 窮 小代 換 定理求極限。 （六）兩個(gè)重要極限 Ⅰ 重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式 令 這 個(gè)公式很重要， 應(yīng) 用它可以 計(jì) 算三角擊數(shù)的 型的極限 問(wèn)題 。arctanx～ x。 常用的等價(jià)無(wú) 窮 小量代 換 有： 當(dāng) 時(shí) ， sinx～ x。 均 為 無(wú) 窮 小 又有 這 個(gè)性 質(zhì) 常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到 簡(jiǎn) 化運(yùn)算的作用。 （ 1）如果 則 稱(chēng) 是比 較 高 階 的無(wú) 窮 小量， 記 作 ； （ 2）如果 則 稱(chēng) 與 為 同 階 的無(wú) 窮 小量； （ 3）如果 則 稱(chēng) 與 為 等價(jià)無(wú) 窮 小量， 記為 ； （ 4）如果 則 稱(chēng) 是比 較 低價(jià)的無(wú) 窮 小量。 性 質(zhì) 4無(wú) 窮 小量除以極限不 為 零的 變 量所得的商是無(wú) 窮 小量。 當(dāng) 無(wú) 窮 大 無(wú) 窮 小 當(dāng) 為 無(wú) 窮 小 無(wú) 窮 大 窮 小量的基本性 質(zhì) 性 質(zhì) 1有限個(gè)無(wú) 窮 小量的代數(shù)和仍是無(wú) 窮 小量； 性 質(zhì) 2有界擊數(shù)（ 變 量）與無(wú) 窮 小量的乘 積 是無(wú) 窮 小量；特 別 地，常量與無(wú) 窮 小量的乘 積 是無(wú) 窮 小量。 窮 小量與無(wú) 窮 大量的關(guān)系 無(wú) 窮 小量與無(wú) 窮 大量之 間 有一種 簡(jiǎn)單 的關(guān)系， 見(jiàn) 以下的定理。 記 作 。 （ 5）無(wú) 窮 小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“ 0”是無(wú) 窮 小量中惟一的一個(gè)數(shù)， 這 是因 為 。在不同的 變 化 過(guò) 程中，同一個(gè) 變量可以有不同的 變 化 趨勢(shì) ，因此 結(jié)論 也不盡相同。 （ 2）要把無(wú) 窮 小量與很小的數(shù) 嚴(yán) 格區(qū)分開(kāi)，一個(gè)很小的數(shù)，無(wú) 論 它多么小也不是無(wú) 窮 小量。 定理 擊數(shù) 以 A為 極限的必要充分條件是： 可表示 為 A與一個(gè)無(wú) 窮 小量之和。 另外，上述極限的運(yùn)算法 則對(duì) 于 的情形也都成立。 注意：上述定理 及定理 對(duì) 也成立。 （四）擊數(shù)極限的定理 定理 （惟一性定理）如果 存 在， 則 極限 值 必定惟一。 x)=1+ y=arctanx 不存在。 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 f(x)=1+ y=arctanx 不存在。 y=f(x)x→ +∞ f(x)x→？ x→ +∞， f(x)=2+ → 2 例：擊數(shù) f（ x） =2+ex，當(dāng) x→ +∞ 時(shí) ， f（ x）→？ 解： f（ x） =2+ex=2+ ， x→ +∞， f（ x） =2+ → 2 所以 （ 3）當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限 定 義對(duì) 于擊數(shù) y=f（ x），如 果當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）無(wú)限地 趨 于一個(gè)常數(shù) A， 則 稱(chēng)當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）的極限是 A， 記 作 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 x→ ∞ f(x)→？ 則 f(x)=2+ (x＜ 0) x→ ∞ ,x→ +∞ f(x)=2+ → 2 例：擊數(shù) ，當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， f（ x）→？ 解：當(dāng) x→ ∞ 時(shí) ， x→ +∞ → 2，即有 由上述 x→∞， x→ +∞， x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）極限的定 義 ，不 難 看出： x→∞ 時(shí) f（ x）的極限是 A充分必要條件是當(dāng) x→ +∞以及 x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）有相同的極限 A。 x→ 1 時(shí) f(x)→ ? x≠ 1 x→ 1f(x)→ 2 對(duì) 于擊數(shù) ，當(dāng) x→ 1時(shí) ， f（ x）的左極限是 2，右極限也是 2。我 們 稱(chēng)當(dāng) x→ 0時(shí) ， f（ x）的左極限是 1，即有 當(dāng) x從 0的右 邊 無(wú)限地 趨 于 0 時(shí) ， f（ x）無(wú)限地 趨 于一個(gè)常數(shù) 1。 則 運(yùn)算定理 。 注意： 這 個(gè)定理反 過(guò) 來(lái)不成立，也就是 說(shuō) ，有界數(shù)列不一定收 斂 。 比如： 無(wú)限的 趨 向 0 無(wú)限的 趨 向 1 （二）數(shù)列極限的性 質(zhì) 與運(yùn)算法 則 質(zhì) 定理 （惟一性）若數(shù)列 {xn}收 斂 ， 則 其極限 值 必定惟一。 定 義對(duì) 于數(shù)列 {xn}，如果當(dāng) n→∞ 時(shí) ， xn無(wú)限地 趨 于一個(gè)確定的常數(shù) A， 則 稱(chēng)當(dāng) n 趨 于無(wú) 窮 大 時(shí) ，數(shù)列 {xn}以常數(shù) A 為 極限，或稱(chēng)數(shù)列收 斂 于 A， 記 作 比如： 無(wú)限的 趨 向 0 ，無(wú)限的 趨 向 1 否 則 ， 對(duì) 于數(shù)列 {xn}，如果當(dāng) n→∞ 時(shí) ， xn 不是無(wú)限地 趨 于一個(gè)確定的常數(shù)，稱(chēng)數(shù)列 {xn}沒(méi)有極限，如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱(chēng)數(shù)列是 發(fā) 散的。 對(duì) 于每一個(gè)正整數(shù) n，都有一個(gè) xn與之 對(duì)應(yīng) ，所以 說(shuō) 數(shù)列 {xn}可看作自 變 量 n的擊數(shù) xn=f（ n），它
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