【正文】 x→ ∞ 時(shí) ， x→ +∞ → 2，即有 由上述 x→∞， x→ +∞， x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）極限的定 義 ，不 難 看出： x→∞ 時(shí) f（ x）的極限是 A充分必要條件是當(dāng) x→ +∞以及 x→ ∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）有相同的極限 A。 x)=1+ y=arctanx 不存在。 注意：上述定理 及定理 對(duì) 也成立。 定理 擊數(shù) 以 A為 極限的必要充分條件是： 可表示 為 A與一個(gè)無 窮 小量之和。在不同的 變 化 過 程中，同一個(gè) 變量可以有不同的 變 化 趨勢(shì) ，因此 結(jié)論 也不盡相同。 記 作 。 當(dāng) 無 窮 大 無 窮 小 當(dāng) 為 無 窮 小 無 窮 大 窮 小量的基本性 質(zhì) 性 質(zhì) 1有限個(gè)無 窮 小量的代數(shù)和仍是無 窮 小量； 性 質(zhì) 2有界擊數(shù)（ 變 量）與無 窮 小量的乘 積 是無 窮 小量；特 別 地，常量與無 窮 小量的乘 積 是無 窮 小量。 （ 1）如果 則 稱 是比 較 高 階 的無 窮 小量， 記 作 ； （ 2）如果 則 稱 與 為 同 階 的無 窮 小量； （ 3）如果 則 稱 與 為 等價(jià)無 窮 小量， 記為 ； （ 4）如果 則 稱 是比 較 低價(jià)的無 窮 小量。 常用的等價(jià)無 窮 小量代 換 有： 當(dāng) 時(shí) ， sinx～ x。 （六）兩個(gè)重要極限 Ⅰ 重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式 令 這 個(gè)公式很重要， 應(yīng) 用它可以 計(jì) 算三角擊數(shù)的 型的極限 問題 。 第二 節(jié) 擊數(shù)的 連續(xù) 性 [復(fù) 習(xí) 考 試 要求 ] 處連續(xù) 與 間 斷的概念，理解擊數(shù)在一點(diǎn) 處連續(xù) 與極限存在之 間 的關(guān)系，掌握判斷擊數(shù)（含分段擊數(shù)）在一點(diǎn) 處連續(xù) 性的方法。 [主要知 識(shí) 內(nèi)容 ] （一）擊數(shù) 連續(xù) 的概念 x0處連續(xù) 定 義 1設(shè) 擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0的某個(gè) 鄰 域內(nèi)有定 義 ，如果當(dāng)自 變 量的改 變 量△ x（初 值為 x0） 趨 近于0 時(shí) ，相 應(yīng) 的擊數(shù)的改 變 量△ y也 趨 近于 0，即 則 稱擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0處連續(xù) 。 這 里， f（ x）在左端點(diǎn) a 連續(xù) ，是指 滿 足關(guān)系： ，在右端點(diǎn) b連續(xù) ，是指 滿 足關(guān)系： ，即 f（ x）在左端點(diǎn) a處 是右 連續(xù) ，在右端點(diǎn) b處 是左 連續(xù) 。 ， 則 f（ x）在 =0,x=1 處 都 間 斷 =0,x=1 處 都 連續(xù) =0 處間 斷， x=1 處連續(xù) =0 處連續(xù) ， x=1 處間 斷 解： x=0 處 ， f（ 0） =0 ∵ f（ 00）≠ f（ 0+0） x=0 為 f（ x）的 間 斷點(diǎn) x=1 處 ， f（ 1） =1 f（ 10） =f（ 1+0） =f（ 1） ∴ f（ x）在 x=1 處連續(xù) ［答案］ C [9703]設(shè) ，在 x=0 處連續(xù) ， 則 k 等于 B. C. 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 分析： f（ 0） =k ［答案］ B 例 3[0209]設(shè) 在 x=0 處連續(xù) ， 則 a= 解： f（ 0） =e0=1 ∵ f（ 0） =f（ 00） =f（ 0+0） ∴ a=1 ［答案］ 1 （二）擊數(shù)在一點(diǎn) 處連續(xù) 的性 質(zhì) 由于擊數(shù)的 連續(xù) 性是通 過 極限來定 義 的，因而由極限的運(yùn)算法 則 ，可以得到下列 連續(xù) 擊數(shù)的性 質(zhì) 。 定理 （復(fù)合擊數(shù)的 連續(xù) 性） 設(shè) 擊數(shù) u=g（ x）在 x=x0處連 續(xù) ， y=f（ u）在 u0=g（ x0） 處連續(xù) ， 則復(fù)合擊數(shù) y=f[g（ x） ]在 x=x0處連續(xù) 。 定理 （有界性定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ， 則 f（ x）必在 [a， b]上有界。 定理 初等擊數(shù)在其定 義 的區(qū) 間 內(nèi) 連續(xù) 。 這 一章 的內(nèi)容在考 試 中 約 占 15%， 約為 22分左右。 （ 2） 存在。 ： （ 1）利用極限的四 則 運(yùn)算法 則 求極限； 對(duì) 于“ ”型不定式，可考 慮 用因式分解或有理化消去零因子法。 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 第一章 函數(shù)及其圖形 第二章 極限和連續(xù) 第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分 第四章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第五章 一元函數(shù)積分學(xué) 第六章 多元函數(shù)微積分 前 言 《高等數(shù)學(xué)一》共 6 章。 第四章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 本章在歷年考題中所占分值為 15%左右。 第一章 函數(shù)及其圖形 預(yù)備知識(shí) 一、基本概念 具有某種特定性質(zhì)的事物的 總體。記作（ A＝ B） 例 1 則 A＝ C. 不含任何元素的集合稱為空 集（記作 ）。 值不等式： k0 時(shí)，則有 k0 時(shí)，則有 例 8 ，求 x的值。 點(diǎn) a叫做這個(gè)鄰域的中心， 叫做這個(gè)鄰域的半徑。 ：定義域與對(duì)應(yīng)法則。 例 將下面函數(shù)化為分段函數(shù) 二、函數(shù)的表示法 函數(shù)的特性 一、函數(shù)的有界性 若 有 成立，則稱函數(shù) f（ x）在 X上有界，否則稱無界。 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 例 1判斷下列函數(shù)是否有界 （ 1） （ 2） y＝ cosx 例 1判斷下面函數(shù)的奇偶性 （ 1） （ 2） 例 1判斷函數(shù) 是否是周期函數(shù)，如果是，則求出最小正 周期。 例如： 這個(gè)函數(shù)是由 復(fù)合而成。其中底數(shù) α ＞ 0， α≠1 性質(zhì)： ① 當(dāng) α ＞ 1時(shí)，函數(shù) y=ax單調(diào)增加； ② 當(dāng) 0＜ α ＜ 1 時(shí)，函數(shù) y=ax單調(diào)減少； ③ 指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（ 0， 1），指數(shù)函數(shù)值大于 0； ④ 對(duì)于 a＞ 0,x,y 為實(shí)數(shù)， 我們規(guī)定： 運(yùn)算法則： 要求：指數(shù)函數(shù)通過掌握 的圖形，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。 （ 1）已知 tanx=3 求其他的三角函數(shù)值 如需精美完整排版，請(qǐng) ： （ 2）已知 secx=5，求其他的三角函數(shù)值。 冪函數(shù)： y=xμ （ μ 是常數(shù)） （ 5）反三角函數(shù) ① 反正弦函數(shù)： y=arcsinx， x∈[ 1,1] ② 反余弦函數(shù)： y=arccosx x∈[ 1,1] ③ 反正切函數(shù)： y=arctαnx x∈ （ ∞ ， +∞ ） 要求：明白反三角函數(shù)的三個(gè)含義及定義域。 （ 7）冪指函數(shù) 。 （ 6）對(duì)數(shù)函數(shù)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是（ 0， +∞ ）； 常見的對(duì)數(shù)函數(shù) y=lg x 及 y=ln x 當(dāng) α ＞ 1時(shí)， y=logα x在定義域內(nèi)是單調(diào)增加的； 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 當(dāng) 0＜ α ＜ 1時(shí)， y=logα x在定義域內(nèi)是單調(diào)減少的。 要求：掌握常用的冪函數(shù)： y=x； y=x2； y=x3； 的圖形，性質(zhì)。 ① 正弦函數(shù) y=sinx 圖 ② 余弦函數(shù) y=cosx 圖 ③ 正切函數(shù) y=tanx 圖 ④ 余切函數(shù) y=cotx 圖 要求：周期性、奇偶性、三角公式、特殊角的三角函數(shù)值。 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 基本初等函數(shù)：常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù) （ 1）常值函數(shù) 如果當(dāng)自變量在函數(shù)定義域中任意變化時(shí)，函數(shù)值 f（ x）恒等于一個(gè)常數(shù) C，即 f（ x） = C， x∈D(f) ，則稱這個(gè)函數(shù)為常值函數(shù)。 復(fù)合函數(shù) 1．復(fù)合函數(shù) 定義：設(shè)函數(shù) y=f（ u）的定義域 Df, 而函數(shù) 的值域?yàn)?, 若 , 則稱函數(shù) 為 x的復(fù)合函數(shù)。 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 例 求 y＝ x2的單調(diào)性 例 1求 y＝ sinx