【正文】 （ 4）冪函數(shù) 形如 f(x)=xα 的函數(shù)為冪函數(shù)，其中 α 為任意常數(shù)。 例 判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界 （ 1）符號(hào)函數(shù) y＝ sgnx （ 2） y＝ x2 ： 設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域 為 D，區(qū)間 I∈D ， 如果對(duì)于區(qū)間 I上任意兩點(diǎn) 及 當(dāng) 時(shí)， 恒有 則稱函數(shù) f（ x）在區(qū)間 I上是單調(diào)增加的； 設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?D，區(qū)間 I∈D, 如果對(duì)于區(qū)間 I上任意兩點(diǎn) 及 ，當(dāng) 時(shí)，恒有則稱函數(shù) f（ x）在區(qū)間 I上是單調(diào)減少的。規(guī)定空集為任何集合的子集。 （ 2）利用兩個(gè)重要極限求極限； （ 3）利用無 窮 小量的性 質(zhì) 求極限； （ 4）利用擊數(shù)的 連續(xù) 性求極限； 若 f（ x）在 x0處連續(xù) ， 則 。 定理 （最大 值 和最小 值 定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ， 則 在 這 個(gè)區(qū) 間 上一定存在最大 值 和最小 值 。 擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0連續(xù) 也可作如下定 義 ： 定 義 2設(shè) 擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0的某個(gè) 鄰 域內(nèi)有定 義 ，如果當(dāng) x→ x0時(shí) ，擊數(shù) y=f（ x）的極限 值 存在，且等于 x0處 的擊數(shù) 值 f（ x0），即 定 義 3設(shè) 擊數(shù) y=f（ x），如果 ， 則 稱擊數(shù) f（ x）在點(diǎn) x0處 左 連續(xù) ；如果 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 ， 則 稱擊數(shù) f（ x）在點(diǎn) x0處 右 連續(xù) 。當(dāng) 等價(jià)無 窮 小量代 換 定理： 如果當(dāng) 時(shí) ， 均 為 無 窮 小量，又有 且 存在， 則 。 注意：（ 1）無 窮 小量是 變 量，它不是表示量的大小，而是表示 變 量的 變 化 趨勢(shì) 無限 趨 于 為 零。我 們 稱當(dāng) x→ 0 時(shí) ， f（ x）的右極限是 1，即有 顯 然，擊數(shù)的左極限 右極限 與擊數(shù)的極限 之 間 有以下關(guān)系： 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 定理 x→ x0時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限等于 A 的必要充分條件是 反之，如果左、右極限都等于 A， 則 必有 。會(huì) 進(jìn) 行無 窮小量 階 的比 較 （高 階 、低 階 、同 階 和等價(jià)）。掌握二元擊數(shù)的二階 偏 導(dǎo) 數(shù)的求法，掌握二元擊數(shù)的全微分的求法。 值 的概念，掌握求擊數(shù)的 駐 點(diǎn)、極 值 點(diǎn)、極 值 、最大 值 與最小 值 的方法，會(huì)解 簡(jiǎn)單 的 應(yīng)用 題 。 第二 節(jié) 擊數(shù)的 連續(xù) 性 [復(fù) 習(xí) 考 試 要求 ] 處連續(xù) 與 間 斷的概念，理解擊數(shù)在一點(diǎn) 處連續(xù) 與極限存在之 間 的關(guān)系，掌握判斷擊數(shù)（含分段擊數(shù)）在一點(diǎn) 處連續(xù) 性的方法。 間 斷點(diǎn)。 線 的凹凸性，會(huì)求曲 線 的拐點(diǎn)。 隱 擊數(shù)的一 階 偏 導(dǎo) 數(shù)的求法。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無 窮 小量代 換 求極限。 x→ 1 時(shí) f(x)→ ? x≠ 1 x→ 1f(x)→ 2 對(duì) 于擊數(shù) ，當(dāng) x→ 1時(shí) ， f（ x）的左極限是 2，右極限也是 2。 （ 2）要把無 窮 小量與很小的數(shù) 嚴(yán) 格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無 論 它多么小也不是無 窮 小量。 均 為 無 窮 小 又有 這 個(gè)性 質(zhì) 常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到 簡(jiǎn) 化運(yùn)算的作用。由上述定 義 2可知如果擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0處連續(xù) ， 則 f（ x）在點(diǎn) x0處 左 連續(xù) 也右 連續(xù) 。 定理 （介 值 定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ，且其最大 值 和最小 值 分 別為 M 和 m，則對(duì) 于介于 m和 M 之 間 的仸何 實(shí) 數(shù) C，在 [a， b]上至少存在一個(gè)ξ，使得 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 推 論 （零點(diǎn)定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ，且 f（ a）與 f（ b）異號(hào)， 則 在 [a， b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得 f（ξ） =0 （四）初等擊數(shù)的 連續(xù) 性 由擊數(shù)在一點(diǎn) 處連續(xù) 的定理知， 連續(xù) 擊數(shù) 經(jīng)過 有限次四 則 運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的擊數(shù)在其定 義 的區(qū) 間內(nèi)是 連續(xù) 擊數(shù)。 （ 5）利用等價(jià)無 窮 小代 換 定理 求極限； （ 6）會(huì)求分段擊數(shù)在分段點(diǎn) 處 的極限； （ 7）利用洛必達(dá)法 則 求未定式的極限。 例 2 1)并：由 中所有元素組成的集合稱為 A和 B的并集，記為 A B 例 3 例 4 2）交：由既屬于 A 又屬于 B 的元素組成的集合稱為 A和 B的交集，記為 A B 例 5 例 6 3）差：由 A中不屬于 B 的元素組成的集合稱為 A與 B的差集，記為 AB 例 7 二、絕對(duì)值 ： ： （ 1） ， 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 當(dāng)且僅當(dāng) a＝ 0 時(shí)， （ 2） （ 3） （ 4） ： （ 1） 表示數(shù)軸上的點(diǎn) x與原點(diǎn)之間的距離為 a。 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 例 求 y＝ x2的單調(diào)性 例 1求 y＝ sinx 的單調(diào)性 ： 設(shè) D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于 ，有 稱 f（ x）為偶函數(shù)； 設(shè) D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于 ，有 f（ x） =f（ x）稱 f（ x）為奇函數(shù)。 要求：掌握常用的冪函數(shù)： y=x； y=x2； y=x3； 的圖形，性質(zhì)。 （ 1）已知 tanx=3 求其他的三角函數(shù)值 如需精美完整排版，請(qǐng) ： （ 2）已知 secx=5，求其他的三角函數(shù)值。 例 將下面函數(shù)化為分段函數(shù) 二、函數(shù)的表示法 函數(shù)的特性 一、函數(shù)的有界性 若 有 成立，則稱函數(shù) f（ x）在 X上有界，否則稱無界。記作（ A＝ B） 例 1 則 A＝ C. 不含任何元素的集合稱為空 集（記作 ）。 ： （ 1）利用極限的四 則 運(yùn)算法 則 求極限； 對(duì) 于“ ”型不定式，可考 慮 用因式分解或有理化消去零因子法。 定理 （有界性定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ， 則 f（ x）必在 [a， b]上有界。 [主要知 識(shí) 內(nèi)容 ] （一）擊數(shù) 連續(xù) 的概念 x0處連續(xù) 定 義 1設(shè) 擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0的某個(gè) 鄰 域內(nèi)有定 義 ，如果當(dāng)自 變 量的改 變 量△ x（初 值為 x0） 趨 近于0 時(shí) ，相 應(yīng) 的擊數(shù)的改 變 量△ y也 趨 近于 0，即 則 稱擊數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0處連續(xù) 。 （ 1）如果 則 稱 是比 較 高 階 的無 窮 小量， 記 作 ； （ 2）如果 則 稱 與 為 同 階 的無 窮 小量； （ 3）如果 則 稱 與 為 等價(jià)無 窮 小量， 記為 ； （ 4）如果 則 稱 是比 較 低價(jià)的無 窮 小量。 定理 擊數(shù) 以 A為 極限的必要充分條件是： 可表示 為 A與一個(gè)無 窮 小量之和。我 們 稱當(dāng) x→ 0時(shí) ， f（ x）的左極限是 1，即有 當(dāng) x從 0的右 邊 無限地 趨 于 0 時(shí) ， f（ x）無限地 趨 于一個(gè)常數(shù) 1。 窮 小量、無 窮 大量的概念，掌握無 窮 小量的性 質(zhì) 、無 窮 小量與無 窮 大量的關(guān)系。 階 偏 導(dǎo) 數(shù)和全微 分的概念，掌握二元擊數(shù)的一 階 偏 導(dǎo) 數(shù)的求法。會(huì)利用擊數(shù)的 單調(diào) 性 證 明 簡(jiǎn)單的不等式。 練 掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。 閉 區(qū) 間 上 連續(xù) 擊數(shù)的性 質(zhì) 會(huì)用它 們證 明一些 簡(jiǎn)單 命 題 。 線 的水平 漸 近 線 與 鉛 直 漸 近 線 欲 獲 取完整版 請(qǐng) ——： 索取 第三章一元擊數(shù) 積 分學(xué) 第一 節(jié) 不定 積 分 [復(fù) 習(xí) 考 試 要求 ] 積 分的概念及其關(guān)系，掌握不定 積 分的性 質(zhì) 。 值 和條件極 值 。 練 掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。 x→∞ 時(shí) ，擊數(shù) f（ x）的極限