【正文】 在決策過程中進(jìn)行的概率計算需要盡量給效用指派一個數(shù)值。 一個決策的基本要素包括決 策者（獨(dú)立的有決策能力的個人或團(tuán)體）、決策的目的、行動方案集（策略集，可供選擇的行動方案或策略的集合，至少包含兩個方案）、可能結(jié)果集（每一行動方案對應(yīng)的可能結(jié)果的集合）、每種可能結(jié)果的概率和效用（期望值，相對于目的而言的可能結(jié)果的利害及其大?。：喲灾?，理性的決策與結(jié)果的好壞并無必然聯(lián)系。最理性的決策未必會導(dǎo) 致 最好的結(jié)果。這類決策問題叫對策，相應(yīng)的理論就是對策論或博弈論。另一類決策問題涉及兩個或兩個以上的決策者，決策的結(jié)果一方面取決于其中一個決策者的選擇，另一方面也取決于其他決策者的選擇。一類是歸納決策問題，即策略選擇的成敗一方面取決于策略選擇本身，另一方面也取決于客觀自然 狀態(tài)的概率（可能結(jié)果的概率）。決策論是一門研究決策者在不同處境下該如何選擇才最為理性的學(xué)問。 一些決策依習(xí)慣而行即可，另一些則需要算計權(quán)衡。然而，在某些事情 上 做錯了決策卻可能會令你抱憾終生。有些決策 的對 錯 無關(guān)宏旨 。 人生在世 幾乎每天 要做決策或決定。中國是美國的 121 倍，是印度的 10 倍。據(jù)香港大學(xué)教授的研究，與過去相比，我國每百萬噸死亡率一直呈下降趨勢，上世紀(jì) 80 年代是 人，現(xiàn)在是 人。 2020 年 12 月 14 日新 141 華社消息報道，在當(dāng)天的全國安全生產(chǎn)電視電話會議上，國家安全生產(chǎn)監(jiān)督管理局局長通報今年以來全國安全生產(chǎn)情況時說， 2020 年，全國國有重點(diǎn)煤礦、國有地方煤礦和鄉(xiāng)鎮(zhèn)煤礦的百萬噸死亡率均創(chuàng)造了歷史最好水平。 在用坐標(biāo)圖表示某種趨勢時，統(tǒng)計圖表經(jīng)常 出現(xiàn)的誤導(dǎo)是在某一軸上以不均勻的間隔標(biāo)記數(shù)值，或在兩個軸上采用間隔不匹配的標(biāo)記點(diǎn)；有時還在標(biāo)記點(diǎn)不密集的情況下輕易將標(biāo)記點(diǎn)連結(jié)起來。 下 圖描述了在 1994 到 1998 年間香港人 每 1000 人口中 擁有 移 動電話 的 增長情況。 好的圖表把重點(diǎn)放在數(shù)據(jù)的某一方面或明顯表現(xiàn)出數(shù)據(jù) 在某段時間上的趨勢 ， 使人立刻觀察到單從數(shù)字上 往往 難以明顯察覺到一個數(shù)據(jù)的特征。 （八） 誤人的圖表 統(tǒng)計報告中經(jīng)常使用圖表。這樣一來，民意測驗資料中所提到的 54％就變成了 48％ － 60％了，而 48％是不可以說超過半數(shù)的。 這 樣大的樣本容量 對應(yīng)的誤差范圍 140 是 177。美國黑人約占美國人口的 15％。這就要看樣本中黑人的數(shù)量。人們也許被誘使做出結(jié)論：“ 過半數(shù)黑人支持這一立場 ” 。假如結(jié)論是一個靠近 50%的數(shù)值，那你得小心諸如“過半數(shù)的人如何如何”的可靠性。 （七） 精確度謬誤 根據(jù)抽樣誤差理論，一個統(tǒng)計推論的結(jié)論一定是一個區(qū)間估計。如果是均值，則根本沒有什么意義。當(dāng)你有一天打算應(yīng)聘某一公司時，看到招聘宣傳材料上關(guān)于該機(jī)構(gòu)員工的平均工資不低的信息時，可不要急于眼熱心跳。令人疑惑的是，兩次談到年齡時，都明言指的是中位數(shù)，而 關(guān)于收入?yún)s不指出是哪種平均數(shù)。美國《時代》雜志（ 1954 年）在描述該雜志的新訂閱者時寫道，“他們的平均年齡（中位數(shù)）為 34 歲，家庭平均年收入為 7270 美元”。當(dāng)人們希望數(shù)據(jù)較大時，就可能使用算術(shù)平均數(shù)。當(dāng)病人的家屬被嚇得夠嗆時，醫(yī)生又不緊不慢地說 ，但您們很幸運(yùn)，因為您們遇到了我，我之前所看過的這種病人已有 9 個死掉了。即使硬幣正面朝下出現(xiàn)了 6 次，再拋擲時硬幣正面朝上的概率仍是 1/2。但是，這種概率只是一個長的過程或趨勢的性質(zhì)。在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，這種頻率總是接近于某個常數(shù)。賭徒的錯誤在于誤解了“大數(shù)定律”或“平均定律” 。一個賭徒在輸?shù)魩状沃?，加大賭注，以期在“應(yīng)該”要發(fā)生的事件到來時大撈一把。其實，那么小的樣本量，用來做推論性的論斷，只有兩個字評價 ——“垃圾”，我相信任何學(xué)過統(tǒng)計，學(xué)過抽樣的人都會和我有同感。 據(jù)稱，此次調(diào)查了本市某高中兩個班級共 89 人，其中男生 53 人，女生 36 人，年齡在 16－ 17 歲。 （四） 樣本太小 來看一看被從事社會學(xué)專業(yè)的評論者認(rèn)為是“ 弱智的一塌糊涂的一則新聞”。所以，人們不無諷刺地說，該樣本選擇了蘭登，而選民心理卻想著羅斯福。 后來的大學(xué)論文和報社評論員發(fā)現(xiàn)， 1936 年有能力購買電話和訂閱雜志的人并不能真正代表選民，樣本偏向了與一般人相比具有高收入、受過良好教育、信息來源廣、靈敏度更高、舉止優(yōu)雅、行為保守、更多固定習(xí)慣等特點(diǎn)的群體。 1936 年， 擁有 1000 萬訂閱者的 《文學(xué)文摘》共發(fā)出 2020 多萬張選票，回收 237 萬張選票，預(yù)測 蘭登與羅斯福的票數(shù)比是 370:161，該刊 根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果宣布：蘭登將擊敗羅斯福！但投票結(jié)果是，羅斯福以 2775 萬票贏得了 46個州，比對手蘭登多 1107 萬張選票，選舉人票是 523 票對 8 票?！段膶W(xué)文摘》的方法創(chuàng)新在于將局部性民意測驗推廣到全 國。一個為人們所津津樂道的、聞名全世界的例子是 1936 年《文學(xué)文摘》（ Literary Digest）因一個統(tǒng)計推理謬誤的慘敗。難道不需要知道有多少心理醫(yī)生接到了調(diào)查表，多少名做出了回答，他們的合格程度怎樣？增長用萬的百分?jǐn)?shù)會不會更有意義？很可能銷售量不 過是從 萬增長到 萬，而其他汽車的銷售量比它不知要大出多少倍。 這些數(shù)字，有的盡力求大，有的著力求小，有的努力求準(zhǔn)，目的都不外讓你印象深刻。 拳擊并不如其他體育項目危險。表面的龐大和微小都是有奧秘在里邊的： 假若有 785 名心理醫(yī)生都對精神 失常的被告表示支持，便有充分的理由讓我們也對其表示支持。 利用百分比眩人耳目，還有另一種常見的方式：選取便利合用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。孰優(yōu)孰劣？假如我們知道所謂兇殺案的增長只不過是從3 件增加到 5 件，你心中的石頭準(zhǔn)會落回到地上了。如果想暗示隱含結(jié)論：我們的業(yè)績更好或犯罪浪潮席卷本市，那是不適當(dāng)?shù)摹? 這兩個例子，都使用了正確的百分比。 （二） 遺漏信息的數(shù)字 我們的計算機(jī)銷售市場份額增加了 50％，而我們的對手只增加了 25％。后者在哪里都有較高的死亡率。這兩個數(shù)據(jù)的對比實際上沒有意義，因為忽略了決定死亡率的很多變量。面對統(tǒng)計資料和論證，我們應(yīng)該經(jīng)常提出 5 個批判性問題： ？ ——驗證資料來源的正當(dāng)性和權(quán)威性； 何知道的？ ——檢驗樣本； 3. 137 遺漏了什么？ ——揭示相關(guān)因素和比較基礎(chǔ)； ？ ——洞察概念的不同解釋對得出結(jié)論的關(guān)鍵影響； ？ ——揭露統(tǒng)計數(shù)據(jù)賴以建立的未經(jīng)證實的假設(shè)。但 不談取樣方 法 ，不 言 樣本容量，不考慮誤差范圍， 不澄清數(shù)字含義 ， 都可能使推理變成謬誤或失去意義。那些對應(yīng)于這些現(xiàn)象的數(shù)據(jù)通常接近正態(tài)分布，它在圖表上的曲線呈鐘形。這就是對應(yīng) 于隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)組。這就表明，三種平均數(shù)有不同的功用。假如公司之外的人認(rèn)為，該公司付的只是維持生活的工資，那么經(jīng)理可以回應(yīng)說，本公司的平均工資是非常高的 65000 元。比如，高級工程師要求提高薪水，經(jīng)理可能回答 說，他的薪水早已超過平均水平（在中位數(shù)和眾數(shù)的意義上），因此不能再高了。這三個數(shù)值都表示該公司的平均年薪酬，但是在不同的意義上。例如，關(guān)于薪水問題的平均數(shù)。 在年齡例子中，均數(shù)、中位數(shù)和 眾數(shù)相互不同，但很接近。例如，上表中出現(xiàn)次數(shù)最多（ 4 次）的年齡是 19 136 歲。譬如，由于一些不尋常的情況，數(shù)據(jù) ｛ 2, 5, 5, 8, 10｝ 改變成 ｛ 2, 5, 5, 8, 100｝ ，這個數(shù)據(jù) 的 均數(shù)會由 6增加到 24，但中位數(shù)就不受這個異常情況所影響而維持在 5 不變。 2 = 。上列年齡表的數(shù)字集合可寫為｛ 18,19,19,19,19,20,21,21,22,22,22｝，一共有 11 個數(shù)，第 6個便是中位數(shù)，即 20。例如 ，列出某個班級一組學(xué)生的年齡， 人數(shù) 年齡 1 18 4 19 1 20 2 21 3 22 所有人的年齡相加除以人數(shù)就得到該組人的平均年齡（均數(shù)），也即算術(shù)平均數(shù)。在評估依賴平均數(shù)的論證時，知道被使用的“平均數(shù)”一詞的精確意義常常是重要的。 （三） 數(shù)據(jù)的意義 統(tǒng)計推理中 最常提及到的統(tǒng)計數(shù)字是平均數(shù)。 所以，我們可以說，所有統(tǒng)計推理得到的結(jié)論，都應(yīng)是以兩個數(shù)為邊際數(shù)的區(qū)間。 如果 某選舉候選人支持率統(tǒng)計調(diào)查 有 3%的誤 135 差幅度，如果該調(diào)查的結(jié)果是選民對候選人甲 的 支持率為 52%，則 具有 95%可靠性 的 置信區(qū)間等于 52 177。這個區(qū)間通常叫置信區(qū)間，其大小與樣本的容量 N的大小有關(guān)。由上述討論可知，統(tǒng)計推理得出的結(jié)論不是一個和樣本頻率相等的數(shù)值，而是一個和樣本頻率相靠近的區(qū)間。 （二） 區(qū)間估計 抽樣誤差本質(zhì)上并非錯誤，因為只有 對總體的每一個分子都進(jìn)行調(diào)查（然而這就不是抽樣統(tǒng)計）才會得到與總體完全相等的數(shù)據(jù)，所以再完善的抽樣統(tǒng)計程序和方法都無法避免有抽樣誤差。缺少這樣的信息，面臨評估這種證據(jù)的人必須使用他的最好判斷。原來，在民意測驗中，黑人不愿意把自己真正的想法告訴那些白人調(diào)查員。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，他最 多能獲得黑人中約 50％的選票。美國 1988 年大選，報紙曾對杰西 第三，另一個產(chǎn)生心理影響的來源是調(diào)查者和回答者之間的個人互動。類似的夸大也可能是一個提問的措詞的后果。像“你多長時間刷一次牙？”“一年內(nèi)你讀多少書？”可以期望得到高估的回答。例如，如果一項研究需要調(diào)查居民的收入，以便決定能否承擔(dān)得起提高的所得稅，那么，人們會低估收入。 當(dāng)總體是人組成的時，心理因素可能有重大作用。調(diào)查表隨雜志的某一期 發(fā)出，回收后得到的樣本也有局限性，得出的統(tǒng)計數(shù)據(jù)很難推廣到比該雜志讀者更大的群體上。打電話的時間影響所獲得的回答的種類。一 個較少偏頗的樣本似乎可能通過從電話簿隨機(jī)選擇電話號碼而獲得。 8 100 177。 5 134 400 177。 4 750 177。 2 1500 177。 人們根據(jù)實踐經(jīng)驗總結(jié)出了在 95％的置信水平上樣本 大小 和誤差范圍及置信區(qū)間的關(guān)系 ，即在有代表性的樣本的大小確定的情況下，考慮到抽樣誤差所得到的關(guān)于總體的結(jié)論可以有 95％ 的概率為真 。抽樣誤差是樣本中某性質(zhì)出現(xiàn)的頻率與總體中該性質(zhì)出現(xiàn)頻率之間的差距。在樣本隨機(jī)選出的情況下，越是大的樣本，越接近于復(fù)制總體。因此，調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性就可能因忽略了這部分群體的意見而受到 影響。 即便這樣，這種方法在實際運(yùn)用中仍然留給調(diào)查人員隨意性。但分層抽樣可能遇到分組比例的信息的正確性問題。例如，按經(jīng)濟(jì)收入的多少，將全國或某一 區(qū)域的居民家庭分為四層：月收入在 5000 元以上的；在 3000 元到 4999元的； 1000 元到 2999 元的以及 1000 元以下的。 在考慮到難度和經(jīng)濟(jì)代價時，分層抽樣作為純隨機(jī)抽樣的替代品。更可能確保挑選隨機(jī)樣本的程序是，拋擲一對骰子，每當(dāng)出現(xiàn) 10 點(diǎn)時就對應(yīng)選取一個零件。因為有這樣一種可能：由于機(jī)械過程的某個故障，每到第 10 個零件就產(chǎn)出優(yōu)等品，其余均為非優(yōu)等品。如果該工程師每次都取第 10 個進(jìn)行測量。但是，當(dāng)總體由離散的單元組成時，必須更多地注意隨機(jī)性要求。例如，當(dāng)醫(yī)生為檢驗血糖而抽取血樣本時，不必要從被檢測者的手指、胳膊和腿分別抽取一點(diǎn)。假若現(xiàn)在香港島、新界、九龍和大嶼山各區(qū)都裝置了雨量器以收集雨水，這樣的抽樣是否就免于偏差呢？若果雨量器所處的地方有些在野外空地、有些在樹蔭下、有些在瀑布或溪澗旁 邊等等，那么在某些地點(diǎn)落下的 133 雨水被雨量器收集 的概率 會比其 他 地點(diǎn)的高（位于某些地點(diǎn)的雨量器甚至連并非來自降雨的水也收集下來）。反 之 ，非隨機(jī)抽樣得到 的樣本 是偏頗的 ，即總體中的某些分子比其他 分子 有較大機(jī)會被抽 中 ，因此所得的 數(shù)據(jù)未必能夠推廣到總體本身。一般要考慮三個因素：； ； 。無代表性的樣本是偏頗的或有偏見的。然而，怎樣的抽樣統(tǒng)計才能 保證 達(dá)到這個目標(biāo)呢？ 基本條件是：樣本有代表性；考慮抽樣誤差；正確理解數(shù)據(jù)的意義。 當(dāng)有限的人力、時間及財力等資源 不允 許 我們對研究對象的每一個分子進(jìn)行 考察時 ，采用抽樣統(tǒng)計方法 便成為必要 。 統(tǒng)計概括的一般形式是 隨機(jī)樣本中有 N（百分?jǐn)?shù)）的 S 是（或不是） P 所以，可能總體 P 中有 (177。 例如， 為 了解 男女出生率，對不同時代、不同地區(qū)、不同民族的嬰兒出生情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，男女出生比均 在 105∶ 100上下波動 。 一、統(tǒng)計概括 當(dāng)我們的概率推理以頻率理論為基礎(chǔ)時，就可以 從 總體中抽取一部分 對象 作為樣本，考察樣本中的每一 對象 ， 得 出樣本 中某一性質(zhì)出現(xiàn) 的概率，然后再根據(jù)樣本的概率推測總體的概率。這時，統(tǒng)計推理成為我們的有力工具。但這并不能阻止我們推理的步伐?！卑パ?，在圣誕節(jié)前夕，當(dāng)沒有給它喂食，而是把它宰殺時就毫不含糊地證明這個結(jié)論是錯誤的。它每天都在它的表中加進(jìn)另一個觀察陳述。它一直等到已收集了有關(guān)上午九點(diǎn)給它喂食這 — 事實的大量觀察。這只火雞發(fā)現(xiàn)，在火雞飼養(yǎng)場的第一天上午九點(diǎn)鐘給它喂食。伯特蘭 但是，即使在滿足這三個條件時，錯誤結(jié)論的危險依然存在。因此，我們的正確策略是，應(yīng)該在最可能有反例存在的地方去努力尋找反例，如果經(jīng)過這種鍥而不舍的努力，仍然沒有發(fā)現(xiàn)反例，那么，我