【正文】 談中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的引入 [J]．陜西： 高等數(shù)學(xué)研究 ． 2020． [15] 邱燁，高戰(zhàn) ， 高亞茹． 高等數(shù)學(xué)輔助函數(shù)的構(gòu)造方法及應(yīng)用 [J]．江蘇：中國 礦業(yè)大學(xué)． 2020， 8． 。 xf 的一階線性齊次微分方程，可以用變量分離法或者公式法求得其解， Cxfx ??? )()1( 2 ， 將 )()1()( 2 xfxxF ??? 作為輔助函數(shù)． 證明 令 )()1()( 2 xfxxF ??? 由于函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ??1,0 具有二級導(dǎo)數(shù)，因此函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ??1,0 上連續(xù)，在開區(qū)間 )1,0( 內(nèi)可導(dǎo)，又 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 )1()0( ff ? ， 故至少有一點(diǎn) )1,0(0?x 使 0)(39。2 ??? xfxxf ， 把 )(39。39。 ?x? ，即 31)( ???f ． 原函數(shù)法 在利用微分中值定理求解介值（或零點(diǎn)）問題時，與證明的結(jié)論往往是某個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，因此可通過不定積分反求出原函數(shù)作為輔助函數(shù)．具體步驟為 [8]： （ 1)將欲證結(jié)論中的 ? （或者 0x ）換成 x ； （ 2）通過恒等變形，將結(jié)論化為易積分（或容易消除導(dǎo)數(shù)符號）的形式； （ 3）用觀察法或湊微分法等方法示出原函數(shù)，為簡便起見，可將積分常數(shù)去為零； （ 4）移項(xiàng)，使等式一邊為零，則等式的另一邊即為所需的輔助函數(shù)． 例 7 設(shè) )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)， ba??0 ，證明：在 ? ?ba, 內(nèi)必存在一點(diǎn) ? ，使 )(39。 ?xf ．證明：存在唯一的）（ ba,?? 使曲線 )(xfy? 與直線 xa? 及 )(?fy? 所圍成的面積 1S 是 )(xfy? 與直線 bx? 及 )(?fy? 所圍成的面積 2S 的三倍． 分析 利用定積分知 ? ? ? ? dxfxfSdxxffS ba ???????? ?? )()(,)()(21． 因此，要證 ? ? ? ?dxfxfdxxff ba ??????? ?? )()(3)()( ， 可作輔助函數(shù)： ? ? ? ? ),(,)()(3)()()( baxdxfxfdxxffx ba????? ???? ??? ， 用介值定理證明 ? 的存在性，用導(dǎo)數(shù)證明 ? 的存在性，用導(dǎo)數(shù)證明 ? 的唯一性． 證明 作 ? ? ? ? dxfxfdxxffx ba ???????? ??? )()(3)()()( ， 則 ? ? ? ??? ??????? badxxfbfbfdxafxfaf?? 0)()()(,0)()(3)( ． 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 )(x? 在 ? ?ba, 上連續(xù)，由介值定理知，存在 ? 使 0)( ??? ， 又 )(x? 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，且 )()34()( xfbaxx ?????? ， 由 0)( ??xf 知， 43bax ?? 是 )(x? 的極小值點(diǎn)， 即 )(x? 在 ?????? ?43, baa上單調(diào)減少，而在 ?????? ? bba ,43上單調(diào)遞增， 故 ),43( bba??? 且是唯一 的． 三點(diǎn)定拋物線法 一般地，過三點(diǎn) ),(),(),( 332211 yxyxyx 的二次拋物線的方程為： 31323 1221232 1313121 32 ))(( ))(())(( ))(())(( ))(()( yxxxx xxxxyxxxx xxxxyxxxx xxxxxp ?? ????? ????? ??? 對于含函數(shù) )(xf 在二階導(dǎo)數(shù)的問題，若知道函數(shù)在不同的三點(diǎn)處的值，便可利用“三點(diǎn)定拋物線”，另 )(x? 等于 )(xf 與拋物線縱坐標(biāo)差值來解決． 例 6 設(shè) )(xf 在 ? ?40， 上二階可導(dǎo)，且 2)4(,1)1(,0)0( ??? fff ，證明存 )4,0(?? ，使 31)( ??xf ． 證明 過三點(diǎn) )2,4(),1,1(),0,0( 可做拋物線 xxy 6761 2 ??? ， 令 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 )6761()()( 2 xxxfx ????? ， 則 31)()( ?????? xfx? ， 且 0)4()1()0( ??? ??? ， 在 ? ?? ?4110 ， 上對 )(x? 用羅爾定理，存在 )4,1(),1,0( 21 ?? ?? 使得 0)()( 21 ???? ???? ， 在 ? ?21,?? 上對 )(x?? 用羅爾定理得，存在 )4,0(?? 使得 0)(39。,0239。,...,( 11 tqqqqLL ss ??? ，而在數(shù)學(xué)分析中其表現(xiàn)形式為一種多元函數(shù)，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方式，求其偏導(dǎo)函數(shù)得到駐點(diǎn)，從而找到極大（極小）值或者最大（最小）值 [4]． 例 3 求橢圓 1222222 ??? czbyax 的內(nèi)接長方體的最大體積． 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 解 設(shè)橢圓內(nèi)接長方體位于第一卦限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ),( zyxM ， 則 xyzV 8? ， 設(shè) )1(222222 ????? czbyaxxy zF ? ， 令 ????????????????????????.01,0239。 0)( axxa?? 得 )(0)( axx ??? ， 所以 0)( ?b? ，故 ab ba? ． Lagrange 函數(shù) 拉 格 朗 日 函 數(shù) 是 力 學(xué) 系 的 特 性 函 數(shù) ， 其 明 顯 的 表 現(xiàn) 形 式 為)。