【正文】 1+x2=3m2,x1x2=3m234,所以|AB|=1+k2|x1x2|=1+k2PF2=(cx,y)|PF2|=(|PF1|a)2+a2∈[b2,a2].∴|PF1|,所以cos∠PFC=FCPF=3a2ca+c=12,解得e=ca=.(3)∵|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=2a|PF1|(ac≤|PF1|≤a+c).∴|PF1||=2a=6,∴a=3,∵點(diǎn)P(0,b)到直線l距離d=|3b|5≥65,∴b≥2,∴a2c2=9c2≥2,即0c≤5,∴e=ca∈0,.(2)由題意,因?yàn)椤鱂2PF1是底邊為PF1的等腰三角形,所以|PF2|=|F2F1|.因?yàn)镻為直線x=2a上一點(diǎn),直線PF1的斜率為13,△PDF2是直角三角形,所以|PD|2+|DF2|2=|PF2|2,即2a+c32+(2ac)2=4c2,可得13e2+16e20=0,解得e=1013或e=2(舍去).故選A.(3)由正弦定理,可得|MF1|sin∠MF2F1=|MF2|sin∠MF1F2,結(jié)合題意可得|MF1|c=|MF2|a,所以|MF1|c=|MF2|a=|MF1|+|MF2|a+|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|=2aca+c,|MF2|=2a2a+c,易知|MF2||MF1|.因?yàn)镸為橢圓上一點(diǎn),所以ac|MF2|a+c,即ac2a2a+ca+c,整理得c2+2aca20,所以e2+2e10,解得21e.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)C　(2)B　(3)12,1　(1)由橢圓x211m+y2m3=1的長(zhǎng)軸在y軸上,且焦距為4,可得m311+m=2,解得m=.(2)如圖,設(shè)直線x=3a2與x軸的交點(diǎn)為C,由△APF是底角為30176。為平行四邊形,∴AF=BF39。,如下圖所示:由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則|OA|=|OB|,又|OF39。,P為短軸的上端點(diǎn),連接AF39。5,0),可得c=5,設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(ab0),可得9a2+4b2=1,又a2b2=5,所以a=15,b=10,故所求的橢圓方程為x215+y210=1.(2)由題意可設(shè)橢圓C1:x2a2+y22=1,C2:y22+x2b2=1(a2,0b2),由a22a2=2b22,得ab=2,由2a22|,∴|PF|+|QF|=,∴|PQ|min=2b=8,∴△PFQ的周長(zhǎng)的最小值為10+8=.(2)橢圓x236+y2100=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,8),F2(0,8),由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=20,兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=202,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2||=4a=|PF|=|QF39。為平行四邊形,由橢圓定義可知|PF|+|PF39。學(xué)案突破例1(1)A　(2)A　(1)(1)如圖,由直線l為∠F1PF2的外角平分線,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在橢圓E:x225+y29=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=.(2)因?yàn)閤24+y2b2=1,則a=2,由0b2可知,焦點(diǎn)在x軸上.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8,所以|BF2|+|AF2|=8|AB|,當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大,此時(shí)|AB|=2b2a,又a=2,所以5=8b2,解得b=3,則橢圓的離心率e=ca=1b2a2=12.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)D　(2)35　(1)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,P,Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).設(shè)F39。利用定義|PF1|+|PF2|=2a轉(zhuǎn)化或變形,借助三角形性質(zhì)求最值一般是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡(jiǎn),然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,注意直線斜率存在與否的討論和判別式的符號(hào)判斷的應(yīng)用.　橢圓必備知識(shí)若焦點(diǎn)位置不明確,則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論,也可設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1(A0,B0,A≠B)求橢圓的方程,先定性,后定量,利用待定系數(shù)法求解,注意焦點(diǎn)位置不定的要討論.求方程通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后,能夠明確動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足橢圓的定義,便可直接求解其軌跡方程求最值抓住|PF1|與|PF2|之和為定值,可聯(lián)系到基本不等式求|PF1|(2)若直線l2的斜率存在且不為0,四邊形ABCD為平行四邊形,求證:m+n=0。若所研究的直線的斜率存在,則可設(shè)直線方程為y=kx+b的形式,若平行于坐標(biāo)軸的直線都包含,則不要忘記斜率不存在的情況的討論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2020山西太原五中3月摸底)若過(guò)橢圓x216+y24=1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)的弦被該點(diǎn)平分,則該弦所在的直線方程為(　　)+4y13=0 =0+3y15=0 =0考向3　直線與橢圓的綜合【例6】(2020北京,20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)過(guò)點(diǎn)A(2,1),且a=2b.(1)求橢圓C的方程。(2)設(shè)A,B為橢圓C上的任意兩點(diǎn),若直線AB與圓O:x2+y2=127相切,求△AOB面積的取值范圍.考向2　中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)問(wèn)題【例5】已知橢圓x22+y2=1.(1)求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程。(3)設(shè)點(diǎn)P(2,0),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D,若點(diǎn)C,D和點(diǎn)Q74,14共線,求k的值.思考利用哪種弦長(zhǎng)公式能使求直線和橢圓相交所得的弦長(zhǎng)變簡(jiǎn)單?如何設(shè)直線的方程能減少計(jì)算量?解題心得與橢圓中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)用橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式kAB考點(diǎn)直線與橢圓的綜合問(wèn)題(多考向探究)考向1　與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題【例4】已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為63,B.(1)求橢圓M的方程。|PF2|的最大值為m,PF1③只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=c2a2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2020河南洛陽(yáng)一模)已知橢圓x211m+y2m3=1的長(zhǎng)軸在y軸上,且焦距為4,則m等于(　　) (2)設(shè)F是橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn),A是橢圓E的左頂點(diǎn),P為直線x=3a2上一點(diǎn),△APF是底角為30176?？键c(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校檢測(cè))已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P,直線l:4x3y=0與橢圓相交于A,|AF|+|BF|=6,點(diǎn)P到直線l的距離不小于65,則橢圓離心率的取值范圍為(　　),95 ,32,53 ,32(2)設(shè)F1,F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=2a上一點(diǎn),△F2PF1是底邊為PF1的等腰三角形,且直線PF1的斜率為13,則橢圓E的離心率為(　　) (3)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且|F1F2|=2c,若橢圓上存在點(diǎn)M使得在△MF1F2中,sin∠MF1F2a=sin∠MF2F1c,則該橢圓離心率的取值范圍為(　　)A.(0,21) ,1 ,22 D.(21,1)思考求離心率的方法有哪些?解題心得求離心率常見(jiàn)的方法有三種:①求出a,c,代入公式e=ca。(4)得方程:解方程組求出a,b,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2020山東聊城調(diào)研)過(guò)點(diǎn)(3,2)且與橢圓3x2+8y2=24有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為(　　)+y210=1 +y215=1+y210=1 +y210=1(2)如圖,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上的橢圓C1,C2都過(guò)點(diǎn)A(0,2),且橢圓C1,C2的離心