【正文】 =OF仍然成立．證明如下：延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)G．∵，∴ AE//CF，∴．又∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴ AO=CO．在和中，∴，∴ OG=OE，∴中，∴ OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OEAE．證明如下：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)．∵，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長(zhǎng)線上時(shí)．∵，∴，同理可得：是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GFCG，∴ CF=OEAE．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對(duì)角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問(wèn)題得以解決．10．如圖，拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求AC、BE的交點(diǎn)F的坐標(biāo)（3）若拋物線的頂點(diǎn)為D，連結(jié)DC、DE，四邊形CDEF是否為菱形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2+x﹣；（2）F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明見(jiàn)解析【解析】【分析】將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組求得該拋物線的解析式；根據(jù)（1）題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程以及B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，由CE∥x軸，可知C、E關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)。由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，∴AF=5，BF=3，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB，B′N(xiāo)⊥AD，由三角形的面積法則可求得B′M=，再由勾股定理可求得B′N(xiāo)=，∴AN=B′M=，∴DN=ADAN==，在Rt△CB′N(xiāo)中，由勾股定理得，B′D= = ；如圖2，當(dāng)∠AFB′=90176。時(shí)，此時(shí)A、B′、E三點(diǎn)共線，∵∠B=90176。時(shí)，此時(shí)A、B′、E三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB，B′N(xiāo)⊥AD，由三角形的面積法則可求得B′M=，再由勾股定理可求得B′N(xiāo)=，在Rt△CB′N(xiāo)中，由勾股定理得，B′D=；如圖2，當(dāng)∠AFB′=90176。AB＝AD∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN， 又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝AD＝CD，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．（3）延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90176。∴∠1+∠2＝90176?！唷螦DE=∠BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF與△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴BF=AE．∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF．點(diǎn)睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．如圖（1）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G交AD于F（1）求證：AF＝DE；（2）連接DG，若DG平分∠EGF，如圖（2），求證：點(diǎn)E是CD中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，連接CG，如圖（3），求證：CG＝CD．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）CG＝CD，見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）證明△BAF≌△ADE（ASA）即可解決問(wèn)題．（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點(diǎn)M，N．想辦法證明AF＝DF，即可解決問(wèn)題．（3）延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，只要證明BC＝CP即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90176?！唷螦DE+∠DAE=90176。AB=AD，進(jìn)而得到∠BAG與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BF=AE，由AFAE=EF，等量代換可得證.【詳解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90176?！唷螧OP=90176?！螮KF=60176?！螦BE+∠CBF=90176。時(shí)，請(qǐng)判斷線段OE與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，當(dāng)△POF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OP的長(zhǎng)．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由見(jiàn)解析；（3）OP的長(zhǎng)為或.【解析】【分析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)EO交CF于K，證明△AOE≌△COK，從而可得OE=OK，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE；（2）如圖2中，延長(zhǎng)EO交CF于K，由已知證明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，繼而可證得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分點(diǎn)P在AO上與CO上兩種情況分別畫(huà)圖進(jìn)行解答即可得.【詳解】（1）如圖1中，延長(zhǎng)EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；（2）如圖2中，延長(zhǎng)EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90176。∵M(jìn)N∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90176?！郈E=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，DM、MN的位置關(guān)系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，∴AF=2DM，∵M(jìn)N是△AEF的中位線，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90176。．從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90176。角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論．結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是 ；結(jié)論2：DM、MN的位置關(guān)系是 ；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)18