【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 G與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BF=AE，由AFAE=EF，等量代換可得證.【詳解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90176?！逥E⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90176。∴∠ADE+∠DAE=90176。又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90176。，∴∠ADE=∠BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF與△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴BF=AE．∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF．點(diǎn)睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．如圖（1）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G交AD于F（1）求證：AF＝DE；（2）連接DG，若DG平分∠EGF，如圖（2），求證：點(diǎn)E是CD中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，連接CG，如圖（3），求證：CG＝CD．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）CG＝CD，見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）證明△BAF≌△ADE（ASA）即可解決問(wèn)題．（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點(diǎn)M，N．想辦法證明AF＝DF，即可解決問(wèn)題．（3）延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，只要證明BC＝CP即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90176。又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90176。∴∠1+∠2＝90176。，∴∠1＝∠3在△BAF與△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）證明：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點(diǎn)M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90176。，AB＝AD∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN， 又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝AD＝CD，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．（3）延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90176。，∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝BP＝BC，∴CG＝CD．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E為BC上一定點(diǎn)，BE＝6，F(xiàn)為AB上一動(dòng)點(diǎn)，把△BEF沿EF折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，當(dāng)△AFB′恰好為直角三角形時(shí)，B′D的長(zhǎng)為？【答案】或【解析】【分析】分兩種情況分析：如圖1，當(dāng)∠AB′F=90176。時(shí)，此時(shí)A、B′、E三點(diǎn)共線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB，B′N(xiāo)⊥AD，由三角形的面積法則可求得B′M=，再由勾股定理可求得B′N(xiāo)=，在Rt△CB′N(xiāo)中，由勾股定理得，B′D=；如圖2，當(dāng)∠AFB′=90176。時(shí)，由題意可知此時(shí)四邊形EBFB′是正方形，AF=2，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥AD，則四邊形AFB′N(xiāo)為矩形，在Rt△CB′N(xiāo)中，由勾股定理得，B′D=；【詳解】如圖1，當(dāng)∠AB′F=90176。時(shí)，此時(shí)A、B′、E三點(diǎn)共線(xiàn)，∵∠B=90176。，∴AE==10，∵B′E=BE=6，∴AB′=4，∵B′F=BF，AF+BF=AB=8，在Rt△AB′F中，∠AB′F=90176。，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，∴AF=5，BF=3，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB，B′N(xiāo)⊥AD，由三角形的面積法則可求得B′M=，再由勾股定理可求得B′N(xiāo)=，∴AN=B′M=，∴DN=ADAN==，在Rt△CB′N(xiāo)中，由勾股定理得，B′D= = ；如圖2，當(dāng)∠AFB′=90176。時(shí)，由題意可知此時(shí)四邊形EBFB′是正方形，∴AF=2，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥AD，則四邊形AFB′N(xiāo)為矩形，∴AN=B′F=6，B′N(xiāo)=AF=2，∴DN=ADAN=2，在Rt△CB′N(xiāo)中，由勾股定理得，B′D= = ；綜上，可得B′D的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)與判定，矩形有性質(zhì)判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)等，能正確地畫(huà)出圖形并能分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.9．點(diǎn)P是矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），分別過(guò)點(diǎn)A，C向直線(xiàn)BP作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示位置時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形并通過(guò)證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若點(diǎn)P在射線(xiàn)OA上運(yùn)動(dòng)，恰好使得∠OEF＝30176。時(shí)，猜想此時(shí)線(xiàn)段CF，AE，OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明．【答案】（1）OE＝OF．理由見(jiàn)解析；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示見(jiàn)解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線(xiàn)，即可判定，得出OE=OF；（2）先延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)G，通過(guò)判定，得出OG=OE，再根據(jù)中，即可得到OE=OF；（3）根據(jù)點(diǎn)P在射線(xiàn)OA上運(yùn)動(dòng)，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可．【詳解】（1）OE=OF．理由如下：如圖1．∵四邊形ABCD是矩形，∴ OA=OC．∵，∴．∵在和中，∴，∴ OE=OF；（2）補(bǔ)全圖形如圖2，OE=OF仍然成立．證明如下：延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)G．∵，∴ AE//CF，∴．又∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴ AO=CO．在和中，∴，∴ OG=OE，∴中，∴ OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OEAE．證明如下：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上時(shí)．∵，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)．∵，∴，同理可得：是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GFCG，∴ CF=OEAE．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系使問(wèn)題得以解決．10．如