【正文】 ； 在Rt△AOG中， ∵AO=3， ∴OG=AOtan30176。3=60176?！?+∠PGC=90176。∴2∠DAG+2∠DAP=90176?！?+∠PGC=90176。＜α＜90176。．∴AK是BE的垂直平分線．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC與△BAD中∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．在RT△BCE中，BE==2，∴AH=BE=，∴S△ABC=BC?AH=2考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)14．（本題14分）小明在學習平行線相關知識時總結了如下結論：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短．小明應用這個結論進行了下列探索活動和問題解決．問題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90176。．∵BE∥AH，∴∠EBC=90176?！螦BC=30176。EC=BD=6，因為BC=4，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；②過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，仿照（2）利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出結論．試題解析：解：（1）∵AE=AB，AD=AC，∵∠EAB=∠DAC=60176。又∵∠DAE+∠BAE=90176。時，由題意可知此時四邊形EBFB′是正方形，∴AF=2，過點B′作B′N⊥AD，則四邊形AFB′N為矩形，∴AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴DN=ADAN=2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D= = ；綜上，可得B′D的長為或.【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)與判定，矩形有性質(zhì)判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)等，能正確地畫出圖形并能分類討論是解題的關鍵.9．點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A，C重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，點O為AC的中點．（1）如圖1，當點P與點O重合時，請你判斷OE與OF的數(shù)量關系；（2）當點P運動到如圖2所示位置時，請你在圖2中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結論是否仍然成立；（3）若點P在射線OA上運動，恰好使得∠OEF＝30176。時，由題意可知此時四邊形EBFB′是正方形，AF=2，過點B′作B′N⊥AD，則四邊形AFB′N為矩形，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=；【詳解】如圖1，當∠AB′F=90176?！唷?＝∠3在△BAF與△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）證明：過點D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90176。又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90176?！郞P=OE=，綜上所述：OP的長為或.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關鍵.6．如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求證：AF=BF+EF．【答案】詳見解析.【解析】【分析】由四邊形ABCD為正方形，可得出∠BAD為90176?！唷螧AE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如圖3中，點P在線段AO上，延長EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30176。∴DM⊥MN．所以（2）中的兩個結論還成立.考點：；；；．5．在△ABC中，AB=BC，點O是AC的中點，點P是AC上的一個動點（點P不與點A，O，C重合）．過點A，點C作直線BP的垂線，垂足分別為點E和點F，連接OE，OF．（1）如圖1，請直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關系；（2）如圖2，當∠ABC=90176。∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90176。 ∴AE=AB， ∴S△APE=S△APB， ∵S△APE=AEPF=AE=AB，S△APB=APPB，∴AB=APPB， 即：PA?PB=2AB；（3）如圖4，延長AD，BC交于點G， ∵∠BAD=∠B， ∴AG=BG，過點A作AF⊥BC于F，設CF=x（x＞0）， ∴BF=BC+CF=x+2， 在Rt△ABF中，AB=，根據(jù)勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2， 在Rt△ACF中，AC=，根據(jù)勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2， ∴x=﹣1（舍）或x=1， ∴AF==5，連接EG， ∵S△ABG=BGAF=S△AEG+S△BEG=AGDE+BGCE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5， 在Rt△ADE中，點M是AE的中點， ∴AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN， ∵AB=AE+BE， ∴2DM+2CN=AB， ∴DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB ∴△DEM與△CEN的周長之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]=（DE+CN）+AB=5+．點睛：本題主要考查的就是三角形全等的判定與性質(zhì)以及三角形的等積法，綜合性非常強，難度較大．在解決這個問題的關鍵就是作出輔助線，然后根據(jù)勾股定理和三角形全等得出各個線段之間的關系．2．問題發(fā)現(xiàn)：（）如圖①，點為平行四邊形內(nèi)一點，請過點畫一條直線，使其同時平分平行四邊形的面積和周長．問題探究：（）如圖②，在平面直角坐標系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，點 坐標為．已知點為矩形外一點，請過點畫一條同時平分矩形面積和周長的直線，說明理由并求出直線，說明理由并求出直線被矩形截得線段的長度．問題解決：（）如圖③，在平面直角坐標系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，軸，軸，且，點為五邊形內(nèi)一點．請問：是否存在過點的直線，分別與邊與交于點、且同時平分五邊形的面積和周長?若存在，請求出點和點的坐標：若不存在，請說明理由． 【答案】（1）作圖見解析；（2），；（3），．【解析】試題分析：（1）連接AC、BD交于點O，作直線PO，直線PO將平行四邊形ABCD的面積和周長分別相等的兩部分．（2）連接AC，BD交于點，過、P點的直線將矩形ABCD的面積和周長分為分別相等的兩部分．（3）存在，直線平分五邊形面積、周長．試題解析：（）作圖如下：（）∵，∴設，∴，交軸于，交于，．（）存在，直線平分五邊形面積、周長．∵在直線上，∴連交、于點、設，∴直線，