【正文】 綜合得 4 位同學不同的得分情況為 36 種。 同理 B， C， D 再同樣討論，則共有 12+12+12+12=48 種。 [解析 ]： 設(shè)四個人為 A， B， C， D。為了了解普通話在該校中的推廣普及情況，用分層抽樣的方法，從全體教師中抽取一個容量為 70 人的樣本進行普通話水平測試，其中在不到 40 歲的教師中應抽取的人數(shù)為 __50____。 A3） + P（ 321 AAA ?? ） =2=， P（ ? =1） =1－ =. 所以 ? 的分布列為 E? =1+3=. 2021 全國 II. 比賽問題 甲、乙兩隊進行一場排球比賽．根據(jù)以往經(jīng)驗，單 局比賽甲隊勝乙隊的概率為 ，本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束．設(shè)各局比賽相互間沒有影響．令 ? 為本場比賽的局數(shù)．求 ? 的概率分布和數(shù)學期望．（精確到 ） 解： ξ 的所有取值為 3,4,5 P(ξ=3)= 3 3 0 0 0 333( 0 . 6 ) ( 0 . 4 ) ( 0 . 6 ) ( 0 . 4 ) 0 . 2 8CC? ? ? ? ? ?； P(ξ=4)= 2 2 1 1 1 2( 0 .6 ) ( 0 .4 ) 0 .6 ( 0 .6 ) ( 0 .4 ) 0 .4 0 .3 7 4 4? ? ? ? ? ? ? ?； P(ξ=5)= 2 2 2 1 2 223( 0 .6 ) ( 0 .4 ) 0 .6 ( 0 .6 ) ( 0 .4 ) 0 .4 0 .3 4 5 6CC? ? ? ? ? ? ? ? 奎屯王新敞 新疆 ∴ ξ 的分布列為： ξ 3 4 5 P ∴ Eξ=3+4+5=++= 奎屯王新敞 新疆 2021 理工湖北理 .某突發(fā)事件，在不采取任何預防措施的情況下發(fā)生的概率為 ，一旦發(fā)生，? 1 3 P 將造成 400 萬元的損失 . 現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用 . 單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為 45 萬元和 30 萬元，采用相應預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為 和 . 若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單 獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少 .（ 總費用 ． ． ． =采取預防措施的費用 +發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值 .） 解：①不采取預防措施時，總費用即損失期望為 400 =120（萬元）； ②若單獨采取措施甲，則預防措施費用為 45 萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為 1－ =，損失期望值為 400 =40（萬元），所以總費用為 45+40=85（萬元） ③若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為 30 萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為 1－ =，損失期望值為 400 =60（萬元），所以總費用為 30+60=90（萬元）； ④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，則預防措施費用為 45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（ 1－ ）（ 1－ ） =，損失期望值為 400 =6（萬元），所以總費用為 75+6=81（萬元） .綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，可使總費用最少 . 2021 遼寧 . 綜合問題 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨立，每道工序的加工結(jié)果均有Ａ、Ｂ兩個等級，對每種產(chǎn)品，兩道工序的加 工結(jié)果都為Ａ級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品． （Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的 加工結(jié)果為Ａ級的概率如表一所示，分別求生 產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率Ｐ 甲 、Ｐ 乙 ； （Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用 ? 、 ? 分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在（Ⅰ） 的條件下，求 ? 、 ? 的分布列及 ?E 、 ?E ； （Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資 金如表三所示，該工廠有工人 40名，可用資 金 60萬，設(shè) x 、 y 分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品 的數(shù)量，在（Ⅱ）的條件下， x 、 y 為何值時 ?? yExEz ?? 最大？最大值是多少？ （解答時須給出圖示 ） （Ⅰ）解： ., ????? 乙甲 PP ??2 分 （Ⅱ）解：隨機變量 ? 、 ? 的分別列是 ? 5 P ? P 表一 概 工 率 序 產(chǎn)品 第一工序 第二工序 甲 乙 表三 用 項 量 目 產(chǎn)品 工人 (名 ) 資金 (萬元 ) 甲 8 5 乙 2 10 表二 利 等 潤 級 產(chǎn)品 一等 二等 甲 5(萬元 ) (萬元 ) 乙 (萬元 ) (萬元 ) , ??????E . ??????E ?? 6 分 （Ⅲ）解：由題設(shè)知?????????????.0,0,4028,60105yxyxyx 目標函數(shù)為 . yxyExEz ???? ?? ?? 8 分 作出可行域（如圖）： 作直線 :l , ?? yx 將 l 向右上方平移至 l1 位置時，直線經(jīng)過可行域上 的點 M 點與原點距離最大， yxz ?? 取最大值 . 解方程組??? ?? ?? .4028 ,60105 yx yx 得 .4,4 ?? yx 即 4,4 ?? yx 時， z 取最大值， z 的最大 值為 . 會用隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等抽樣方法從總體中抽取樣本。 2021 湖南卷 .計算方法展示 某城市有甲、乙、丙 3 個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是 ， ， ，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值 .,求ξ的分布及數(shù)學期望； 解：客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)分別為 m、 n 則 ???nm ， m+n=3,則 ? 的可能取值為 1， 3. P（ ? =3） =P（ A1 2021C2 理 從裝有 3 個紅球， 2 個白球的袋中隨機取出 2 個球，設(shè)其中有ξ個紅球，則隨機變量ξ的概率分布為 2021 理工湖南卷 ．同時拋物線兩枚相同的均勻硬幣，隨機變量ξ =1 表示結(jié)果中有正面向上，ξ =0 表示結(jié)果中沒有正面向上，則 Eξ = . 2021 遼寧 .已知隨機變量 ? 的概率分布如下： ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 32 232 332 432 532 632 732 832 932 m 則 ?? )10(?P C A．932 B．1032 C．931 D．1031 2021 理工湖北 .設(shè)隨機變量 ? 的概率分布為 ???? akaakPk 則為常數(shù) ,2,1,5)( ?? 4 2021 天津理 . 某公司有 5 萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利 12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的 50%，下表是過去 200 例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果： 投資成功 投資失敗 192 次 8 次 則該公司一年后估計可獲收益的期望是 __________（元）。7,6,11,6。 (1) 求該種零件的合格率； (2) 從該種零件中任取 3 件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。 3 粒種子都不發(fā)芽的概率為 3 1(1 )8??，不需要補種的概率為 .87811 ?? 恰有 2 個坑需要補種的概率為 223 17( ) 1,88C ? ? ? 打電話四次占線三次 2021C1 理 .一接待中心有 A、 B、 C、 D 四部熱線電話，已知某一時刻電話 A、 B 占線的概率均為 ，電話 C、 D 占線的概率均為 ，各部電話是否占線相互之間沒有影響 .求該時刻有 3 部電話同時占線 的概率 . 22C 12C + 12C 22C = 練習： 2021CI 文． 從 10 位同學（其中 6 女， 4 男）中隨機選出 3位參加測驗 .每位女同學能通過測驗的概率均為 54 ，每位男同學能通過測驗的概率均為 53 .試求： （ I）選出的 3 位同學中，至少有一位