高中數(shù)學(xué)132球的體積和表面積教案新人教a版必修2(參考版)
2024-12-12 20:24本頁面
【正文】 33(3 33 rR ? ， 解得 r′=63 31634 RR ?, ∴ h′=( 3123? )R. 答：容器中水的高度為 ( 3123? )R. 思路 2 例 1 （ 2021廣東高考， 12）若棱長為 3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 ____________. 活動(dòng)： 學(xué)生思考長方體和球的結(jié)構(gòu)特征 .教師可以借助于信息技術(shù)畫出圖形 . 分析： 畫出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對(duì)角線，所以球的半徑 R= 233 ，則該球的表面積為 S=4π R2=27π . 答案： 27π 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查簡單的組合體和球的表面積 .球的表面積和體積都是半 徑 R的函數(shù) .對(duì)于和球有關(guān)的問題，通?？梢栽谳S截面中建立關(guān)系 .畫出軸截面是正確解題的關(guān)鍵 . 變式訓(xùn)練 1.（ 2021全國高考卷Ⅰ，理 7）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為 4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ ） 分析： 由 V=Sh，得 S=4，得正四棱柱底面邊長為 ，該正四棱柱的對(duì)角線即為球的直徑，所以，球的半徑為 R= 642221 222 ??? ，所以球的表面積為S=4π R2=24π . 答案： C 2.（ 2021湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽， 13）一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切 ，若正四面體的棱長為 a，則這個(gè)球的體積為 _____________. 分析： 把正四面體補(bǔ)成正方體的內(nèi)接正四面體，此時(shí)正方體的棱長為 a22 ，于是球的半徑為 a42 ， V= 3242 a? . 答案： 3242 a? 3.（ 2021天津高考，理 12）一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為 1,2,3，則此球的表面積為 ___________. 分析： 長方體的對(duì)角線為 14321 222 ??? ，則球的半徑為214,則球的表面積為4π ( 214 )2=14π . 答案： 14π 例 2 圖 5是一個(gè)底面直徑為 20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為 6 cm，高為 20 cm的一個(gè)圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？ 圖 5 活動(dòng)： 學(xué)生思考杯里的水將下降的原因，通過交流和討論得出解題思路 .因?yàn)椴ＡП菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為 20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度 . 解： 因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為 2)26(31 ??? 20=60 π（ cm3）， 設(shè)水面下降的高度為 x，則小圓柱的體積為 x2)220(? =100π x（ cm3） . 所以有 60π =100π x，解此 方程得 x=（ cm） . 答：杯里的水下降了 cm. 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查幾何體的體積問題，以及應(yīng)用體積解決實(shí)際問題的能力 .明確幾何體的形狀及相應(yīng)的體積公式是解決這類問題的關(guān)鍵 .解實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型 .本題的數(shù)學(xué)模型是下降的水的體積等于取出的圓錐形
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