【正文】 )t1=(14253(2)ts=(1425)(25))s1ts=(143(3)ts=(14)(12)(15)奇置換，t1=(14)(12)(15)(13)偶置換s1ts=(14)(13)(25)奇置換。232。 232。54132247。 sts=231。21534247。1=231。230。s1230。232。232。232。45123247。 t=231。43125247。45321247。解：(1)ts=231。247。1230。230。230。(1)計(jì)算st,ts,t1,s1,s1ts；(2)將ts,t1,s1ts表成不交的輪換之積。232。232。34512247。t=231。21453247。s=231。230。,t是5元置換，且230。證明：設(shè)G是循環(huán)群,令G=,x,y206。j2是G1到G3的同態(tài)。a,b206。證明：有已知j1是G1到G2的函數(shù)，j2是G2到G3的函數(shù)，則j1N(a)由ax=xa，得x1axx1=x1xax1,x1ae=eax1，即x1a=ax1，所以x1206。fx,y206。證明：ea=ae,e206。（1）全體對(duì)稱矩陣 是子群（2）全體對(duì)角矩陣 是子群（3）（4）全體上（下）三角矩陣。令b=a2的證。G,a1=a,b1=b,(ab)1=ab,所以ab=a1b1=(ba)1=ba，與G為Abel群矛盾；所以，G含至少含一個(gè)3階元，設(shè)為a，則a185。所以，偶數(shù)階群G必含2階元，證明G中存在非單位元a和b,a≠b,且ab=：先證明G含至少含3階元。G，當(dāng)a=e時(shí)，a是一階元，當(dāng)a185。(bca)k=e 設(shè)(abc)k=e,則(abc)(abc)(abc)L(abc)=e，即a(bc)(abc)(abc)La(bc)aa1=e 左邊同乘a1，右邊同乘a得(bca)(bca)(bca)L(bca)=(bac)k=a1ea=e反過來，設(shè)(bac)k=e,則(abc)k=，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣：偶數(shù)階群G必含2階元。22證明:設(shè)e0206。所以G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個(gè)群．，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 證明：G是交換群。248。247。231。10246。解：(1)x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代數(shù)運(yùn)算。248。248。253。01247。,231。01247。231。10246。10246。232。248。,248。01247。,231。01247。231。(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz =(x+y2)oz=(x+y2)+z2=x+y+z4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，結(jié)合律成立。如下： ” x,y∈Z,xoy= x+y2 問Z關(guān)于o運(yùn)算能否構(gòu)成群？為什么？ 〉不構(gòu)成群 解：(1)x,y∈Z, xoy= x+y2206。所以，(x(3)x∈S,(xx)=x,，所以1是單位元。r163。S,是S上的代數(shù)運(yùn)算。(aob)ob沒有單位元, 沒有零元(d)不滿足交換律，滿足結(jié)合律和冪等律沒有單位元, 沒有零元(2)求每個(gè)運(yùn)算的單位元，零元以及每一個(gè)可逆元素的逆元。0時(shí)，x,y1=1y, xx+10．令S={a，b}，S上有四個(gè)運(yùn)算：*。即無零元。設(shè)是單位元，S，*= *= 則==，解的=，即為單位。Q Q為有理數(shù)集，*為S上的二元運(yùn)算，,S有 a，b * = （1）*運(yùn)算在S上是否可交換，可結(jié)合？是否為冪等的？ 不可交換：*= 185。4,(2)* 在Z上是否適合交換律，結(jié)合律，和冪等律？ 滿足交換律，結(jié)合律，和冪等律(3)求*運(yùn)算的單位元，零元及Z+中所有可逆元素的逆元。見上題7．設(shè) * 為Z+上的二元運(yùn)算x,y206。加法不封閉，乘法封閉；乘法滿足交換律，結(jié)合律（10）S = ,S關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。封閉，均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律 加法單位元是0，無零元；乘法無單位元（n1），零元是0；n=1單位元是1（7）A = {a1,a2,L,an} n運(yùn)算定義如下：封閉 不滿足交換律，滿足結(jié)合律，（8）S = 關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。111=1207。n實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣加法及乘法運(yùn)算，其中n2。（3）全體n180。封閉,不滿足交換律和結(jié)合律，無零元和單位元（2）非零整數(shù)集合普通的除法運(yùn)算。錯(cuò)(3)f是從X到Y(jié)的滿射,但不是單射。R,f(x)=x22x15不是滿射，不是單射={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,}判斷以下命題的真假:(1)f是從X到Y(jié)的二元關(guān)系,但不是從X到Y(jié)的函數(shù)。1，若x為偶數(shù)(5)f:N{0}174。{0,1},f(x)=237。0，若x為偶數(shù)236。N,f(x)=237。N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余數(shù)不是滿射，不是單射236。求f(0), f({0}), f(1), f({1}), f({0,2,4,6,…})，f({4,6,8}), f1({3,5,7}).解：f(0)=0, f({0})={0}, f(1)=1, f({1})={1}, f({0,2,4,6,…})=N，f({4,6,8})={2,3,4}, f1({3,5,7})={6,10,14}.?哪些是單射的?哪些是雙射的?(1)f:N174。x若x為偶數(shù)239。1，若x為奇數(shù)239。IA.(2)A={a,b,c,d,e}, Rp={}:edbcadeabc(1)(2)項(xiàng)目(1)(2)極大元: e a,b,d,e 極小元: a a,b,c,e 最大元: e 無 最小元: a 無第八章部分課后習(xí)題參考答案1．設(shè)f :N174。IA(b)A={a,b,c,d,e,f,g} Rp={,}200。A ，〈a，b〉R〈c，d〉219。A上的二元關(guān)系, 〈a，b〉，〈c，d〉206。A180。u+y=xy ∴R219。A上的等價(jià)關(guān)系.(2)確定由R 引起的對(duì)A180。A，〈u,v R 219。A上定義二元關(guān)系R，,206。{0,1}={,} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．設(shè)A={a,b,c,d}，R1，R2為A上的關(guān)系，其中R1={a,a,a,b,b,d}R2={a,d,b,c,b,d,c,b23求R1oR2,R2oR1,R1,R2。B)={4} AB={,}，fld(AB)={1,2,3} ={,} 求RoR, R1, R173。B={,} A199。B), ranA, ranB, ran(A199。B,A199。網(wǎng)球的人} |C|=6,C205。C)=AB200。C(2)(AC)(BC)=(AI～C)I～(B I～C)=(AI～C)I(～BUC)=(AI～CI～B)U(AI～CIC)=(AI～CI～B)U198。C(2)(AB)C=(AC)(BC)證明(1)(AB)C=(AI～B)I～C= AI(～BI～C)= AI～(B200。（4）UIA=198。（3）IUA=1I2I3I198。}（2）IA={1，2}I{2，3}I{1，3}I{198。}},計(jì)算下列表達(dá)式：（1）UA（2）IA（3）IUA（4）UIA 解:（1）UA={1，2}U{2，3}U{1，3}U{198。解: 阿A={會(huì)打籃球的人}，B={會(huì)打排球的人}，C={會(huì)打 |A|=14, |B|=12, |AIB|=6,|AIC|=5,| AIBIC|=2, 如圖所示。已知6個(gè)會(huì)打網(wǎng)球的人都會(huì)打籃球或排球。（2）（（AUBUC）（BUC））UA=（（AUBUC）I～（BUC））UA =（AI～（BUC））U（（BUC）I～（BUC））UA =（AI～（BUC））U198。, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化簡(jiǎn)下列集合表達(dá)式：（1）（AUB）IB）（AUB）（2）（（AUBUC）（BUC））UA 解:(1)（AUB）IB）（AUB）=（AUB）IB）I～（AUB）=（AUB）I～（AUB）)IB=198。｛198。, ｛198。, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} }（3）｛198。｝｝,a,b｝假 8．求下列集合的冪集：（1）｛a,b,c｝ P(A)={ 198。｝，a,b｝=｛｛198。｝ =｛｛a,b｝,c｝假（2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝真（3）｛｛a｝，｝=｛｛a,b｝｝假（4）｛198。｛a,b,｛｛a,b｝｝｝真（8）｛a,b｝206。｛a,b,c,｛a,b,c｝｝真（6）｛a,b｝206。{198。}真（4）198。205。198。真（2）198。205。，并且改變論域使該公式在新的解釋下取值相反。小王沒學(xué)好數(shù)學(xué)。┓q),p,┓s ├ ┓q ，他一定會(huì)學(xué)好數(shù)學(xué)。r，┓t ├ q p174。