【正文】 6設(shè)H是G的子群，則下列條件等價(jià)： （1） H是G的不變子群；（2） a∈G，aHa1H；（3） a∈G，a1HaH；（4） a∈G，h∈G，aha1H。即R是傳遞的。因?yàn)镠、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。a,b,c∈G，若aRb,bRc,則存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。故a=h1*a*k1,從而bRa。a,b∈G，若aRb，則存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。令h=k=e,則a=e*a*a=h*e*k,從而aRa。存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，則R是G上的等價(jià)關(guān)系。6設(shè)G,*是一個(gè)群，H、K是其子群。解得c=,d=。當(dāng)a0時(shí)，設(shè)(a,b)關(guān)于*的逆元為(c,d)。解得a=1,b=0。根據(jù)*和單位元的定義，對(x,y)S,有(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。60、設(shè)S=，Q為有理數(shù)集合，*為S上的二元運(yùn)算：對任意(a,b)，(c,d)S,有 (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),求出S關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元，以及當(dāng)a0時(shí)，(a,b)關(guān)于*的逆元。由此可見，G中的2n個(gè)非單位元構(gòu)成互為逆元的n對元素。因?yàn)镚的階數(shù)為奇數(shù)2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2 階元素，即除了單位元e以外，G的所有元素的階都大于2。5設(shè)e是奇數(shù)階交換群G,*的單位元，則G的所有元素之積為e。綜合可得a*bAB=G，這與已知矛盾。從而a*bA。因?yàn)閍A,所以aA。若AG且BG，則有aA,aB且bB,bA。若AB=G，則A=G或B=G。故a1的階也是k。從而a1的階是有限的，且|a1|k。證明：因?yàn)閨 a |=k，所以ak=e。同理可得ac=ca=b, cb=bc=a, ba=c。因?yàn)閍,b,c的階均為2，故a1=a,b1=b,c1=c。若G沒有4階元素，則除單位元e外，G的其余3個(gè)階均為2。證明：在4階群 G中，由Lagrange定理知，G中的元素的階只能是1，2或4。由Lagrange定理知|H|能整除|G|，故a的階能整除G的階。令H={e,a,a2,…,am1}。5有限群G的每個(gè)元素的階均能整除G的階。若a的階是無限的，則類似于上述證明過程可以得出，h(a)的階也是無限的。即|a|m。設(shè)|h(a)|=m,則h(am)= (h(a))m= h(e1)=e2。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。(H)G2。因?yàn)镠G，所以ab ∈H ，故cd∈h(H)。(3) c,d∈h(H),a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。證明：(1) 因?yàn)閔(e1)h(e1)=h(e1e1)= h(e1)= e2h(e1),所以h(e1)=e2。故d是n的一個(gè)正因子。否則H＝(am)，其中am是H中a 的最小正冪。設(shè)H是G的惟一的d階子群。因?yàn)閨H|=d，所以m==k，即H=H1。設(shè)H1是G的任一d階子群。故|H|=d。因?yàn)閨a|=n,所以bd=(ak)d=akd=an=e且|b|=d。因此n階循環(huán)群的子群的個(gè)數(shù)恰為 n的正因子數(shù)。因?yàn)镚是無限群，所以a的階是無限的，從而am的階也是無限的，故H也是無限群。故am是H的生成元。由于0rm，且am是H中a 的最小正冪，故r=0,即k=mq。則ar=akmq=akamq=b(am)q。5設(shè)G＝(a)，{e}HG，am是H中a 的最小正冪，則（1） H＝(am)；（2） 若G為無限群，則H也是無限群；證明：（1）bH, kI, 使得b=ak。故c=a或c=a1。若km1，則由消去律可知c的階是有限的，這與|G|無限矛盾。若c是G的生成元，則k,mI，分別滿足c=ak和a=cm。5設(shè)G＝(a)，若G為無限群，則G只有兩個(gè)生成元a和a1；證明：bG＝(a)，則nI,使b=an。 由消去律得 amk=e。50、設(shè)G,是有限群，|G|＝n，則a∈G，|a|n。由于p和m都是正整數(shù)，所以p=m。即p|qm。故mp且m|p。證明：記p=,q=,｜ak｜＝m。 故T,是S,的子獨(dú)異點(diǎn)。證明： ee=e，eT，即T是S的非空子集。故a是G的生成元。因?yàn)閜是素?cái)?shù)，故k=p。設(shè)a的階為k,則k1。證明：設(shè)G,*是p階循環(huán)群，p是素?cái)?shù)。由拉格朗日定理可知，|HK|是|H|和|K|的因子，這與已知矛盾。b HK,a1 HK。b,a1 K。因?yàn)镠和K都 是G的子群，故 a先證HK也是G的子群，從而也是H和K的子群。若HK{e}。試證：HK={e}。綜上所述，G是平凡群或質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。從而n是質(zhì)數(shù)。記H={e,ak,(ak)2,…,(ak)m1}，易證H是G 的子群，但1|H|=mn，故H是G 的非平凡子群。從而G一定是循環(huán)群，且a是G 的生成元。任取aG且ae,記H=（a）(由a生成的G的子群)。否則設(shè)G,試證：G是平凡群或質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。4設(shè)G,a1)=hC(G)。a1=ha1=（h因?yàn)閔C(G)，所以b=(aa1。對aG，hC(G)，記b=a 故C（G）是G 的子群。從而ax=x(aa)x)(x(bb）b。a ，ba,bC（G），對xG,有a證明C（G）是G的不變子群。x=x故HK是G 的不變子群。ha1K。a1H且a因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以aKhHh證明：因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以HK是G 的子群。4設(shè)H和K都 是G的不變子群。從而aH=Ha=GH。對aG，若aH，則aH=H,Ha=H。證明：由已知可知，G關(guān)于H 有兩個(gè)不同的左陪集H，H1和兩個(gè)不同的右陪集H，H2。從而f是G 的自同構(gòu)。f(b)。a)1=a1b)=(a從而f是G到G上的自同構(gòu)。又對aG，有f(a1)=(a1)1=a。滿足交換律 ，即G是可交換群。a。a))1=((ba1)1=(f(b) 對a，bG，a證明：f是G的自同構(gòu)G是交換群。4設(shè)G,由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c，即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，從而a*b*a=a。由已知條件可得a=a*a。證明：（1）aA,記b=a*a。試證明：（1）aA,a*a=a，即a是等冪元；（2） a,bA,a*b*a=a。 從而＜G,*＞是交換群。證明：對任一aG，由已知可得a*a=e，即a1=a。滿足交換律。a。從而ab)a)(ba)由于(bb)=a((bb)。a)(ab2，所以(a a,bS，因?yàn)椋╝b)=a2a)b)b=((a(aa)b)=((ab)證明：a,bS，（ab）2=a2中消去律成立，則S,從而對于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。故ax1=ax2。若x1,x2都滿足要求。3設(shè)G,是一個(gè)群，則對于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。由于運(yùn)算*滿足消去律，所以a=e。若a是G,*的等冪元，即a*a=a。3代數(shù)系統(tǒng)G,*是一個(gè)群，則G除單位元以外無其它等冪元。從而階為1的元素與階大于2 的元素個(gè)數(shù)之和是奇數(shù)。且當(dāng)一個(gè)元素的階大于2 時(shí)，其逆元和它本身不相等。證明：群中的每一個(gè)元素的階均不為0 且單位元是其中惟一的階為1的元素。從而a1也是〈G，*〉的生成元。證明：xG，因?yàn)閍是〈G，*〉的生成元，所以存在整數(shù)k，使得x=a。 所以單位元是惟一的。證明：設(shè)e1,e2都是群〈G,*〉的單位元。故在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。 a=e。對aG, 由零元的定義有 a*=。3證明在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。從而假設(shè)錯(cuò)誤。對A的任一元素a，因?yàn)閑和0是A上關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元和零元，則a=a*e=a*0=0。證明：用反證法證明。即單位元有惟一逆元。若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。單位元有惟一逆元。是S,封閉。因?yàn)閗+lI+，所以bc=ak證明：b，cSa，則存在k,lI+，使得b=ak,c=al。是S,令Sa={ai | iI+ }。2設(shè)S,故4a是a關(guān)于運(yùn)算*的逆元。故e=2是I關(guān)于運(yùn)算*的單位元。（2）記e=2。證明：（1）a,b,cI，(a*b)*c=(a*b)+c2=(a+b2)+c2=a+b+c4, a*(b*c)=a+(b*c)2=a+(b+c2)2=a+b+c4。2I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。由消去律得，a=e。a5= bb= ba4。(a2a2)a)a2 =((bb)a))a)=(ab))a=(ab)a））a=（a2(ab)(b（a則a4b=b證明：用反證法證明。bba5。是群，a,bG，ae，且a4則|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。2試求N6,+6中每個(gè)元素的階。且當(dāng)a 階大于2時(shí)，a1。證明：設(shè)G,故偶數(shù)階群中階為2 的元素一定是奇數(shù)個(gè)。證明：設(shè)G,從而H 是G的子群。a。滿足消去律，所以a a=adH。d)。d=ad=(ad)=(ca)=ca=c故(ca=aa=a試證：H 是G 的子群。x=x是群，aG。又因?yàn)?和3 關(guān)于*互為逆元，故3 也是I,*的生成元。因?yàn)閍n=na2(n1)，故1n=n2(n1)=2n。因?yàn)镮,*是無限階的循環(huán)群，則它只有兩個(gè)生成元。2I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。因?yàn)檠h(huán)群的子群也是循環(huán)群，且子群的階數(shù)是G 的階數(shù)的因子，故G的子群只能是1 階的、2階的、4 階的或8階的。則G={e,a,a2,..,a7}。求下列置換的運(yùn)算：解：（1）=（2）===2試求出8階循環(huán)群的所有生成元和所有子群。（半群與群部分）1求循環(huán)群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。最大元是e，無最小元；上界是e，下界是c。上確界是e，下確界是b。(c)的極大元為e,極小元為b。無最大元和最小元； 上界是e，下界是c。無上確界，下確界是c。 (d) {b,d,e} a e f b d c解：(1) ba,ce,df,cf成立；(2) (a)的極大元為a,e,f,極小元為c。 (b) {b,d}。1A上的偏序關(guān)系的Hasse圖如下。1R是A={1,2,3,4,5,6}上的等價(jià)關(guān)系，R=I{1,5,5,1,2,4,4,2,3,6,6,3}求R誘導(dǎo)的劃分。（3）是A的劃分。（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}。1設(shè)A={1,2,…,10}。MR=。MR=。MR=。即B如果有最大元?jiǎng)t它是惟一的。證明： 設(shè)a,b都是B的最大元，則由最大元的定義ab，ba。從而R(ST)(RS）（RT）。從而x，yR且y，zS且y，zT，即x，zRS且x，zRT。故R(ST)=（RS）（RT）。從而R(ST)（RS）（RT）。從而x，yR且y，zS或x，yR且y，zT，即x，zRS或x，zRT。即yRx，故R是對稱的。x，yA，若x,yR ，即y,xR1。即y,xR， R_1R。反之y,xR1,即x,yR 。即y,xR，故x,yR_1 。1設(shè)A是集合，RAA，則R是對稱的R＝R－1。xA，IAR，x,xR。證明：xA，R是自反的，xRx。故RS是A上的等價(jià)關(guān)系。故aRSc。a,b,c∈A，aRSb且bRSc，即aRb，aSb,bRc且bSc。故bRSa。a,b∈A，aRSb，即aRb且aSb。故xRSx。若R和S都是非空集A上的等價(jià)關(guān)系，則RS是A上的等價(jià)關(guān)系。若最小元為a，則a≤b；否則b≤a。證明：a，b∈A，則{a,b}是A的一個(gè)非空子集。因?yàn)锳B, 且BC，所以AC。雖然AB，且BC，但AC。(3) 不成立。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。即AC。對xA, 因?yàn)锳B，所以xB。設(shè)A,B,C是任意集合，證明或否定下列斷言：（1）若AB，且BC，則AC；（2）若AB，且BC，則AC。(5) (AB)(BC)={d,c,a}。(3) （A）C={b,d}。 解 ：(1) AB={a}。 （5）(AB)(BC)。求下列各集合：（1）AB； （2）；（3）(A)C。（4） P(A)A={,a,b,{a},a,{a},b,,a,,b,A,a,A,b}。（2） B2A={c,c,a,c,c,b}。 (4) P(A)A。設(shè)A={a,b}, B={c}。同理可證，CB。從而xC。對,因?yàn)锳，所以存在yA, 使y,xB。 若B，則AB。因?yàn)锳，所以C=。證明：