【正文】 若a*bA,則b= a*(a*b)A，這與aB矛盾。因為A，B都是G的子群，故a,bG，從而a*bG。證明：用反證法證明。5在一個群G,*中，若A和B 都是G的子群。同理可證，a的階小于等于|a1|。即（a1）k=(ak)1=e。5在一個群G,*中，若G中的元素a的階是k，即|a|=k，則a1的階也是k。從而aba, abb, abe,故ab=c。不妨記為a,b,c。階為1 的元素恰有一個，就是單位元e.若G有一個4階元素，不妨設(shè)為a，則G=（a）,即G是循環(huán)群 ，從而是可交換群。5證明：在同構(gòu)意義下，只有兩個四階群，且都是循環(huán)群。則H是G的子群且|H|=m。證明：設(shè)|G|=n，aG，則|a|=m。故結(jié)論成立。故|h(a)|=|a|。因為h是單一同態(tài)，所以am=e1。從而h(a)的階也有限，且|h(a)|n。(4) 若|a|=n,則an=e1。又c1=(h(a))1=h(a1)且a1∈H，故c1∈h(H)。故cd=h(a)h(b)=h(ab)。(2) a∈G1，h(a)h(a1)=h(aa1)= h(e1)= e2,h(a1)h(a)=h(a1a)= h(e1)= e2,故h(a1)=h(a)1。5設(shè)h是從群G1,到G2,的群同態(tài)，G和G2的單位元分別為e1和e2，則（1） h(e1)=e2；（2） aG1，h(a1)=h(a)1；（3） 若HG1，則h(H)G2；（4） 若h為單一同態(tài)，則aG1，|h(a)|=|a|。d=。若d=1 ,則結(jié)論顯然成立。從而H是G的惟一d階子群。H1＝(am)，其中am是H1中a 的最小正冪，且|H|=。所以是G的一個d階子群。從而H中的元素是兩兩不同的，易證HG。證明：對n 的每一正因子d，令k=,b=ak, H={e,b,b2,…,bd1}。5設(shè)G＝(a)，|G|＝n，則對于n 的每一正因子d，有且僅有一個d階子群。（2）因為{e}H，故H的生成元為am （m0）。從而b=(am)q。因為b,amH, 且HG，所以arH。令k=mq+r, 0rm。從而G只有兩個生成元a和a1。從而km=1，即k=1,m=1或k=1,m=1。從而c= (cm)k= cmk。故b=(an)1=(a1)n,從而a1也是G的生成元。從而|a|mkn。證明：aG，由封閉性及|G|=n可知a,a2,…,an,an+1中必有相同的元素，不妨設(shè)為ak=am,km。即｜ak｜＝。但p和q 互質(zhì)，故p|m。又由于akm=e，n|km。由n和p的定義，顯然有(ak)p=e。4設(shè)G,是群，且a∈G的階為n，k∈I，則|ak|＝，其中(k,n)為k和n的最大公因子。 a,bT, S，是可交換獨異點,(ab)(ab)=((ab)a)b=(a(ba))b=（a(ab)）b=((aa)b)b=(aa)(bb)=ab,即abT。4若S,是可交換獨異點，T為S中所有等冪元的集合，則T,是S,的子獨異點。即a的階就是p，即群G的階。由拉格朗日定理，k是p的正整因子。對G中任一非單位元a。4素數(shù)階循環(huán)群的每個非單位元都是生成元。故HK是G的子群，從而也是H和K的子群。從而ab,a1 H且aa,b HK,則a,b H且a,bK。則HK是一個元素個數(shù)大于1的有限集。證明：用反證法證明。4設(shè)H和K都是G 的有限子群，且|H|與|K|互質(zhì)。故G是質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。這與已知矛盾。若n是合數(shù)，則存在大于1 的整數(shù)k,m，使得n=mk。顯然H{e}，且G沒有非平凡子群，故H=G。的階為n。證明：若G是平凡群，則結(jié)論顯然成立。是沒有非平凡子群的有限群。故C（G）是G的不變子群。(aa）h) 下證bC(G)。h再證C（G）是G的不變子群。b，a1C（G）。a1。b), a1b=xb=(xb)=(ax)= ax= a故（ax=xx=x證明：先證C（G）是G的子群。a}。4設(shè)群G的中心為C（G）={aG|xG,aa1HK。從而ahha1。a1aa1，a1a對aG，hHK，有a證明：HK也是G 的不變子群。故H是G的不變子群。否則因為aGH，故aHH,HaH。因為HH1=且HH1=G，HH2=且HH2=G，故H1=GH=H2。4若群G,＊的子群H,＊滿足|G|＝2|H|，則H,＊一定是群G,＊的正規(guī)子群。故f滿足同態(tài)方程。b1=f(a)b)1=(b對a，bG，因為G是可交換群，故f(a故f是G到G上的滿函數(shù)。因為當(dāng)ab時，a1b1，即f(a)f(b)，故f是G到G中的一個單一函數(shù)。故運算a)1)1=bf(a))1=(f(bb=(b1證明： 設(shè)f 是G的自同構(gòu)。是群，作f:GG,aa1。從而由已知條件知，a*b*c=a*c。（3） a,b,cA,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。（2）a,bA,因為由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。因為*是可結(jié)合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。（3） a,b,cA,a*b*c=a*c。設(shè)*是集合A上可結(jié)合的二元運算，且a,bA,若a*b=b*a，則a=b。對任一a,bG，因為a*b=(a*b)1=b1*a1=b*a，所以運算*滿足交換律。3設(shè)群G,＊除單位元外每個元素的階均為2，則G,＊是交換群。故b=bb。b=(ab)，即(bb=a滿足消去律，所以(bb))。(aa)故a(bb)=(ab)b）2=a2b2。(bb=(aa)b))b=(ab)(ab）2=(ab2。是可交換半群當(dāng)且僅當(dāng)a,bS，（a3設(shè)半群S,由于*滿足消去律，故x1=x2。即ax1=b且ax2=b。證明：因為a1*b∈G，且a*(a1*b)=(a*a1)*b=e*b=b，所以對于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。 即G除單位元以外無其它等冪元。 因為a*e=a，所以a*a=a*e。證明：設(shè)e是該群的單位元。因為該群的階是偶數(shù)，從而它一定有階為2 的元素。故階大于2 的元素是成對的。因為任一階大于2 的元素和它的逆元的階相等。3在一個偶數(shù)階群中一定存在一個2階元素。故x=((a))=((a))=(a)。3設(shè)a是一個群〈G，*〉的生成元，則a1也是它的生成元。 則e1=e1*e2=e2。3證明在一個群中單位元是惟一的。即G中只有一個元素，這與|G|2矛盾。 G,是群，關(guān)于*消去律成立。證明：（用反證法證明）設(shè)在素不少于兩個的群G,中存在零元。即e0。即A的所有元素都等于0,這與已知條件|A|1矛盾。假設(shè)e=0。3設(shè)e和0是關(guān)于A上二元運算*的單位元和零元，如果|A|1，則e0。因為e是關(guān)于運算的單位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。證明：設(shè)G,是一個群，e是關(guān)于運算的單位元。的子半群。故Sa,cSa，即Sa關(guān)于運算al=ak+l。從而b的子半群。試證Sa,為半群，aS。 綜上所述，I,*為群。（3）對aI，因為a*（4a）=a+4a2=2=e=4a+a2=(4a)*a。對aI，a*2=a+22=a=2+a2=2*a.。故(a*b)*c= a*(b*c)，從而*滿足結(jié)合律。試證：I,*為群。這與已知矛盾。a4。a5，所以b因為a4a2)=ba2=ba2=(ba)a)a2=((a(b(a(aa)a=((a2（bb))a=(a2a)=(a5b）= a3b= a3a。 假設(shè)aa。試證ab=b2設(shè)G,解： 0是N6,+6中關(guān)于+6的單位元。故階數(shù)大于2 的元素成對出現(xiàn)，從而其個數(shù)必為偶數(shù)。是有限群，則aG，有|a|=|a1|。2證明：有限群中階大于2的元素的個數(shù)一定是偶數(shù)。是偶數(shù)階群，則由于群的元素中階為1 的只有一個單位元，階大于2 的元素是偶數(shù)個，剩下的元素中都是階為2 的元素。2證明：偶數(shù)階群中階為2 的元素的個數(shù)一定是奇數(shù)。故c1H。c1=c1c,且由于c從而c(cc) a) (a(dd) d。c,d證明： c，dH，則對c，dHK，ca}。令H={xG|a2設(shè)G,從而對任一個kI,k=2(2k)=12k，故1是的生成元。1和3是它的兩個生成元。試問I,*是循環(huán)群嗎？解：I,*是循環(huán)群。因為|e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是該子群中a的最小正冪，故G的所有子群除兩個平凡子群外，還有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。由于ak是G的生成元的充分必要條件是k與8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。解：設(shè)G是8階循環(huán)群，a是它的生成元。解： 因為|C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 個：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。上確界是e，下確界是c。(d)的極大元為e,極小元為b,d。最大元是e，b是最小元；上界是e，下界是b。上確界是e，下確界是c。(b)的極大元為b,d,極小元為b,d。無最大元，c是最小元；無上界，下界是c。 (c) {b,e}。（1） 下列哪些關(guān)系式成立：ab,ba,ce,ef,df,cf；（2） 分別求出下列集合關(guān)于的極大（小）元、最大（?。┰?、上（下）界及上（下）確界（若存在的話）：(a) A。解：R誘導(dǎo)的劃分為{{1,5},{2,4},{3,6}}。其誘導(dǎo)的等價關(guān)系是I{1,2,2,1,1,7,7,1,2,7,7,2,3,5,5,3,3,10,10,3,10,5,5,10,4,6,6,4,4,8,8,4,6,8,8,6}。（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}}解：（1）和（2）都不是A的劃分。下列哪個是A的劃分？若是劃分，則它們誘導(dǎo)的等價關(guān)系是什么？（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}。它既不是自反的、反自反的、也不是對稱的、反對稱的、傳遞的。它是反自反的、對稱的；（3）R={1,2,2,1,1,3,3,3}。它是反自反的、反對稱的、傳遞的；（2）R={1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2}。1設(shè)A={1,2,3},寫出下列圖示關(guān)系的關(guān)系矩陣，并討論它們的性質(zhì)： 1 1 12 3 2 3 2 3解：（1）R={2,1,3,1,2,3}。是A上的偏序關(guān)系，a=b。1設(shè)〈A,≤〉為偏序集，BA，若B有最大(小)元、上(下)確界，則它們是惟一的。故x，z（RS）（RT） 。(2) x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。同理可證（RS）（RT）R(ST)。故x，z（RS）（RT） 。1設(shè)A,B,C和D均是集合，RAB，SBC，TCD，則(1)　　R(ST)=(RS)(RT)；(2)　　R(ST)(RS)(RT)；證明：（1）x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。 R=R1，y,xR。故R=R1。R是對稱的，yRx。從而RR1。證明：x,yR ，R是對稱的，yRx。即xRx，故R是自反的。即x,xR，故IAR。1設(shè)RAA，則R自反 IAR。從而RS是傳遞的。因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以aRc且aSc。從而RS是對稱的。因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以bRa且bSa。從而RS是自反的。　證明：a∈A，因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以xRx且xSx。從而≤為A上的的全序關(guān)系。≤是A上的良序關(guān)系，{a,b}有最小元。A上的任一良序關(guān)系一定是A上的全序關(guān)系。(4) 成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。雖然AB，且BC，但AC。(2) 不成立。又因為BC，所以xC。（3）若AB，且BC，則AC；（4）若AB，且BC，則AC；證明：(1) 成立。 (6) (AB) C={b,d}。 (4) P(A)P(B)={nhcuj7d3,{a,d}}。 (2) ={a,b,c,d,e}。 （6）(AB)C。 （4）P(A)P(B)。設(shè)全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。（3） (AB)2={a,c,a,c,a,c,b,c,b,c,a,c,b,c,b,c}。解：（1） A{0,1}B={a,0,c,a,1,c,b,0,c,b,1,c}。求下列集合：(1) A{0,1}B； (2) B2A；(3) (AB)2。故B=C。故BC。因為AB=AC，則y,xC。從而AC。即B=C。從而AC =。對任意集合A,B，證明：若A，AB=AC，則B=C。同理可證，AB。從而