【正文】 Z }，[a]Rk={x| x206。Z，使k=lj，Z/Rk={[a]Rk| a206。解：（1）{a,a,b,b,c,c}（2）{a,a,b,b}（3）{a,a,b,b,c,c,a,b,b,a}（4）{a,a,b,b,c,c,a,b,b,a}（5）{a,b,b,ca,c}9. 設(shè)Rj表示Z上模j等價(jià)關(guān)系，Rk表示Z上模k等價(jià)關(guān)系, 證明：Z/Rk細(xì)分Z/Rj當(dāng)且僅當(dāng)k是j的整數(shù)倍。N)時(shí)，有iRk。Z)時(shí)，有iRk；（2）當(dāng)且僅當(dāng)mn8(m, n206。B矛盾。B，則x∈AB，x∈BC，即x∈B。(C∩B)（2）反證法。證明： （1）C∩(A197。B)=(C∩A)197。所以，P(A)∪P(B)≠P(A∪B)。{1}，{2}，{1,2}，{3}，{2,3}}，A∪B={1,2,3}，P(A∪B)= { 198。{1}，{2}，{1,2}}，P(B)={ 198。C?A∪B所以P(A)∪P(B)?P(A∪B)成立。C∈P(A)∨C∈P(B)219。C?A∩B所以P(A)∩P(B)＝P(A∩B)成立。C∈P(A)∧C∈P(B)219。,1, {0},1, {1},1, {0,1}}5. 證明：對(duì)任意集合A，B都有P(A)∩P(B)＝P(A∩B)，P(A)∪P(B)?P(A∪B)并舉例說明，一般P(A)∪P(B)≠P(A∪B)。,{0},{1},{0,1}}SP(S)={ 0, 198。,{{1,2}}}4. 設(shè)S = {0, 1}，求集合SP(S)。}}（3）P({a,{a}})={198。})={198。)={198。}；（3）{a,{a}}；（4）{{1,2}}。3. 求下列集合的冪集：（1）198。A={1}，B={1,{1}}，則A?B且A206。B？若存在，請(qǐng)舉一例。 ($x)C(x)∨($x)┐C (x)證明：(1) ($x)(S(x)∧H(x)) P(2) S(a)∧H(a) ES(1)(3) S(a) T(2) I(4) H(a) T(2) I(5) (x) (S(x)→D(x)) P(6) S(a)→D(a) US(5)(7) D(a) T(3)(6) I(8) (x) (D(x)∧H(x)→C(x)) P(9) D(a)∧H(a)→C(a) US(8)(10) C(a) T(4)(7) (9) I (11) ($x)C(x) EG(10)(12) ($x)C(x)∨($x)┐C (x) T(11) I習(xí)題三1. 分別用描述法和列舉法表示下列集合：(1) 非負(fù)偶數(shù)集；(2) 整數(shù)24的全部正因子的集合；(3) 不超過9且與9互質(zhì)的正整數(shù)集合（該集合的元素個(gè)數(shù)稱歐拉函數(shù)j (9)）。論域是{人}。H(x)：x是身體健康的。($x)(D(x)∧H(x))證明：(1) ($x)(S(x)∧H(x)) P(2) S(a)∧H(a) ES(1)(3) S(a) T(2) I(4) H(a) T(2) I(5) (x) (S(x)→D(x)) P(6) S(a)→D(a) US(5)(7) D(a) T(3)(6) I(8) D(a)∧H(a) T(4)(7) I(9) ($x)(D(x)∧H(x)) EG(8)（5）S(x)：x是科學(xué)家。論域是{函數(shù)}。D(x)：x是周期函數(shù)。(x)(O(x)←∣ → E(x))，(x)(E(x)→← D(x))，┐(x)D(x)222。D(x)：x能被2整除。(x)(Q(x)→┐W(x))證明：(1) ┐($x)(W(x)∧D(x)) P(2) (x)┐(W(x)∧D(x)) T(1) E(3) (x) (W(x)→┐D(x)) T(2 E(4) W(a)→┐D(a) US(3)(5) D(a)→┐W(a) T(4) E(6) (x)(Q(x)→D(x)) P(7) Q(a)→D(a) US(6)(8) Q(a)→┐W(a) T(5)(7) I(9) (x)(Q(x)→┐W(x)) UG(8)（3）O(x)：x是奇數(shù)。D(x)：x能表示成分?jǐn)?shù)。 ($x)┐F(x)證明：(1) ($x)┐B(x) P(2) ┐B(a) ES(1)(3) (x) (C(x)∨B(x)) P(4) C(a)∨B(a) US(3)(5) C(a) T(2)(4) I(6) (x) (F(x)→┐C(x)) P(7) F(a)→┐C(a) US(6)(8) C(a) →┐F(a) T(7) E(9) ┐F(a) T(5)(8) I(10) ($x)┐F(x) EG(9)（2）Q(x)：x是有理數(shù)。論域是{人}。C(x)：x喜歡喜歡乘汽車。所以存在著事業(yè)獲得成功的人或事業(yè)半途而廢的人。每個(gè)勤奮又身體健康的人在事業(yè)中都會(huì)獲得成功。所以，一些周期函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。（4）三角函數(shù)都是周期函數(shù)。并不是所以的自然數(shù)都能被2整除。（3）每個(gè)自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。有理數(shù)都能表示成分?jǐn)?shù)。因而有人的不愛步行。每一個(gè)人或者喜歡汽車或者喜歡騎自行車。 (x)P(x)→(x)Q(x)證明：(1) (x)P(x) P(附加前提)(2) P(a) ES(1)(3) (x) (P(x)→Q(x)) P(4) P(a)→Q(a) US(3)(5) Q (a) T(2)(4) I(6) (x)Q(x) UG(5)(7) (x)P(x)→(x)Q(x) CP(1) (6)（2）(x) (P(x)∨Q(x))222。 (x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x) (P(x)∨Q(x))222。 (x)A(x)(1) (x)C(x) P(2) C(a) US(1)(3) (x)(B(x)→┐C(x)) P(4) B(a)→┐C(a) US(3)(5) ┐B(a) T(2)(4) I(6) (x)(A(x)∨B(x)) P(7) A(a)∨B(a) US(6)(8) A(a) T(5)(7) I(9) (x)A(x) UG(8)21. 用CP規(guī)則證明。(x)(┐A(x)∨B(x))219。┐($x)A(x)∨(x)B(x)219。(x)(C(x)→┐A(x))（4）(x)(A(x)∨B(x))，(x)(B(x)→┐C(x))，(x)C(x)222。($x)A(x)（2）($x)A(x)→(x)B(x) 222。 ($x)($z)(y)(P(x)∧┐Q(x，u)∨┐R(y)∨S(v，z))20. 證明下列各式。┐(x)(P(x)→Q(x，y))∨(($y)R(y)→($z)S(y，z))219。 (($x)┐P(x)∧(y)┐Q(y))∨(x)R(x) 219。┐((x)P(x)∨($y)Q(y))∨(x)R(x) 219。($x)P(x)→(y) Q(y)219。(x) P(x)∧┐($y)Q(y) 219。($x)($u)($z)((P(x)∨P(u))∧(P(x)∨Q(y，z))∧(┐Q(x，y)∨P(u))∧(┐Q(x，y)∨Q(y，z))) 前束合取范式19. 求下列各式的斯柯倫范式。($x)(P(x)∧┐Q(x，y))∨(($u)P(u)∧($z)Q(y，z))219。($x)(z)(u)((┐P(x) ∧Q(x，z) ∧R(x，y，u))∨(┐P(x) ∧Q(x，z) ∧┐R(x，y，u))∨(┐P(x) ∧┐Q(x，z) ∧R(x，y，u))∨(┐P(x) ∧┐Q(x，z) ∧┐R(x，y，u))∨(P(x) ∧Q(x，z) ∧R(x，y，u))∨(P(x) ∧Q(x，z) ∧┐R(x，y，u))∨(P(x) ∧┐Q(x，z) ∧R(x，y，u))) 前束析取范式（4）(x)(P(x)→Q(x，y))→(($y)P(y)∧($z)Q(y，z))219。($x)( ┐P(x)∨(z)Q(x，z)∨(u)R(x，y，u))219。┐(x)P(x)∨($x)((z)Q(x，z)∨(z)R(x，y，z))219。(x)(y)(┐P(x)∨┐Q(x，y)∨┐R(y，x))) 前束合取范式219。（2）(x)(P(x)→(y)((z)Q(x，y)→┐(z)R(y，x)))219。（1）(($x)P(x)∨($x)Q(x))→ ($x)(P(x)∨Q(x))（2）(x)(P(x)→(y)((z)Q(x，y)→┐(z)R(y，x)))（3）(x)P(x)→($x)((z)Q(x，z)∨(z)R(x，y，z))（4）(x)(P(x)→Q(x，y))→(($y)P(y)∧($z)Q(y，z))解：（1）(($x)P(x)∨($x)Q(x))→ ($x)(P(x)∨Q(x))因?yàn)?($x)P(x)∨($x)Q(x)) 219。(x)(y)((z) ┐P(x，y，z)∨(u) ┐Q(x，u))∨($v) Q(y，v))219。($x)($y)(z)(P(x，y)∨┐Q(z)∨R(x))（3）(x)(y)((($z)P(x，y，z)∧($u)Q(x，u))→($v)Q(y，v)) 219。($x)(($y)P(x，y)∨(┐($z)Q(z)∨R(x)))219。(x)($y)(┐P(x)∨Q(x，y))（2）($x)(┐(($y)P(x，y))→(($z)Q(z)→R(x))) 219。（1）(x)(P(x)→($y)Q(x，y))（2）($x)(┐(($y)P(x，y))→(($z)Q(z)→R(x)))（3）(x)(y)((($z)P(x，y，z)∧($u)Q(x，u))→($v)Q(y，v))解：（1）(x)(P(x)→($y)Q(x，y)) 219。($x)P(x)→(y)Q(y)16. 下列推導(dǎo)過程中有何錯(cuò)誤？（1） (x)(P(x)→Q(x)) P（2） P(a)→Q(a) US(1)（3） ($x)P(x) P（4） P(a) ES(3)（5） Q(a) T(2),(4) I（6） ($x)Q(x) EG(5)解：應(yīng)先消去存在量詞。 (x) ┐P(x)∨(y)Q(y)219。($x)P(x)→(y)Q(y)證明：(x)(y)(P(x)→Q(y))219。 ┐(x) P(x)∨($x)Q(x)) 219。 ($x)( ┐P(x)∨Q(x))219。14. 求證：($x)(P(x)→Q(x))219?！笨梢酝瞥觥叭羲袑W(xué)生成績(jī)都優(yōu)秀，則所有學(xué)生都獲得獎(jiǎng)學(xué)金。(x)(P(x)→Q(x))表示：任何一個(gè)學(xué)生，只要成績(jī)優(yōu)秀，他就獲得獎(jiǎng)學(xué)金。論域?yàn)樗袑W(xué)生。P(x)：x成績(jī)優(yōu)秀。(x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x)P(x)→(x)Q(x) 222。 ($x)┐P(x)∨(x)Q(x))219。┐($x)P(x)∨┐($x)┐Q(x))219。┐($x)(P(x)∧┐Q(x)) 222。(x)(┐P(x)∨Q(x))219。(x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x)P(x)→(x)Q(x) 222。（7）對(duì)于任意的x，任意的y，存在z，使得xy=z。（6）存在x，對(duì)于任意的y，都有x（5）對(duì)于任意的x，存在y，使得x（4）存在x，對(duì)于任意的y，都有x（3）對(duì)于任意的x，存在y，使得x（2）存在x，對(duì)于任意的y，都有xy=x)（7）(x) (y) ($z)(xy=z)個(gè)體域分為（a）實(shí)數(shù)集合R（b）整數(shù)集合Z（c）正整數(shù)集合Z+（d）非零實(shí)數(shù)集合R{0}解：（1）對(duì)于任意的x，存在y，使得xy=1)（5）(x) ($y)( xy=0)（3）(x) ($y)( x（1）(x) ($y)(xF∧T219。 ((T→F)∧(T→F))∧((F→F)∧(F→T))219。(x)((P(x，1)→P(f (x)，f (1)))∧(P(x，2)→P(f (x)，f (2)))) 219。T∧T219。(P(1，1)∨P(2，1))∧(P(1，2)∨P(2，2))219。F（2）(x)($y)P(y，x) 219。 P(1，2)∧P(2，1) 219。（1）P(a，f(a))∧P(b，f(b))（2）(x)($y)P(y，x)（3）(x)( y)(P(x，y)→P(f (x)，f (y)))解：（1）P(a，f(a))∧P(b，f(b)) 219。F，P(2，2)219。T，P(1，2)219。（1）(($y)A(x，y)→(x)B(x，z))∧($x)(z)C(x，y，z)（2）((y)P(x，y)∧($z)Q(x，z))∨(x)R(x，y)解：（1）(($y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧($x)(z)C(x，w，z)（2）((y)P(u，y)∧($z)Q(v，z))∨(x)R(x，w)11. 考慮以下賦值。F9. 對(duì)下列謂詞公式中的約束變?cè)M(jìn)行換名。 (T→T)∧(T→T)∧(T→F)∨F219。T（2）(x) (P→Q(x))∨R(a)219。(T∨F) ∧(F∨T) 219。解：（1）(x)(P(x)∨Q(x)) 219。（1）(x)(P(x)∨Q(x))，其中P(x)：x=1，Q(x)：x=2，論域是{1，2}。7. 如果論域是集合{a，b，c}，試消去下面公式中的量詞。（3）(P(x)∧Q(y)) 的x和y為約束變?cè)?，分別受($x)和(y)約束，R(x)的x為約束變?cè)?，?x) 約束。