【正文】 15． 2． 1 平方差公式 一、探究、歸納規(guī)律──平方差公式 文字語言：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差 符號語言：（ a+b）（ ab） =a2b2 二、 1．用簡便方法計(jì)算 2．計(jì)算： 三、應(yīng)用、升華： 七、教學(xué)反思： 平方差公式（二） 喀拉布拉鄉(xiāng)中學(xué)：權(quán)成龍、孫美榮 課型：新授 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 探究平方差公式的應(yīng)用，熟練地應(yīng)用于多項(xiàng)式乘法之中． 2．過程與方法 經(jīng)歷平方差公式的運(yùn)用過程，體會(huì)平 方差公式的內(nèi)涵． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 培養(yǎng)良好的運(yùn)算能力，以及觀察事物的特征的能力，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際價(jià)值． 重、難點(diǎn)與關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：運(yùn)用平方差公式進(jìn)行整式計(jì)算． 2．難點(diǎn)：準(zhǔn)確把握運(yùn)用平方差公式的特征． 3．關(guān)鍵：弄清平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，左邊：（ 1）兩個(gè)二項(xiàng)式的積；（ 2） 兩個(gè)二項(xiàng)式中一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．右邊：（ 1）二項(xiàng)式；（ 2）兩個(gè)因式中相同項(xiàng)平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方． 教學(xué)方法 采用“精講．精練”分層遞推的教學(xué)方 法，讓學(xué)生在訓(xùn)練中，熟練掌握平方差的特征． 教學(xué)過程 一、回顧交流，課堂演練 1．用平方差公式計(jì)算： （ 1）（－ 9x－ 2y）（－ 9x+2y） （ 2）（－ +）（ +） （ 3）（ 8a2b－ 1）（ 1+8a2b） （ 4） 20212－ 2021 2021 2．計(jì)算：（ a+12b）（ a－ 12b）－（ 3a－ 2b）（ 3a+2b） 【教師活動(dòng)】請部分學(xué)生上講臺(tái)“板演”，然后組織學(xué)生交流． 【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立完成課堂演練，再與同學(xué)交流． 二、范例學(xué)習(xí)，鞏固深化 【例 1】計(jì)算： （ 1）（ 34y+212x）（ 212x－ 34y）； （ 2）（－ 56 x－ ）（ 56 x－ ）； （ 3）（ 2a－ 3b）（ 2a+3b）（ 4a2+9b2）（ 16a4+81b4）． 解：（ 1）原式 =（ 52 x+34 y）（ 52 x－ 34 y） = 225 94 16x ? y2 （ 2）原式 =（－ － 56 x）（－ +56 x） =（－ ） 2－（ 56 x） 2= 9a4b2－ 2536 x2 （ 3）原式 =（ 4a2－ 9b2）（ 4a2+9b2）（ 16a4+81b4） =（ 16a4－ 81b4）（ 16a4+81b4） =256a8－ 6561b8 【例 2】運(yùn)用乘法公式計(jì)算： 734 814 。 (21 )180； (3)24 45 ()4； (4)(x6)(x2+x+1)x(2x+1)(3x1)； (5)2(a4)(a+3)(2a+1)(a1)； (6)(2x+1)(x1)(x+2)(2x1). 2x=a， 2y=b，求 2x+y+23x+2y的值 . x(x2+a)+3x2b=x3+5x+4 成立，則 a,b 的值分別為多少？ (3x22x+1)(x+b)中不含 x2項(xiàng)，求 b 的值 . 3k(2k5)+2k(13k)=52，求 k 的值 . x2+21x(32x)＜ 241. ： 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 …… 想一想，等式左邊各項(xiàng)的底數(shù)與等式右邊的底數(shù)有什么關(guān)系？猜一猜，可以得出什么規(guī)律？ (101 91 81 … 21 1)10 (3xy2)2= . ： (4 106) (8 103)= . x=2 時(shí)，代數(shù)式 ax3+bx7 的值為 5，則 x=2 時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值為 . . (1)(x)3(y)2(x3y2)； (2)890 bm (a)3=a6 (a3)2+a2 (a)2=a4 C.( a)3 xn=x2，那么 n等于 ( ) +5 ( ) A.( a) =8a (+)2a x4=x8； (3)不對， (a5)2=a10； (4)不對 ,(a3)2 (31 x2y)= . 答案： 3x3y2 課堂小結(jié) 本節(jié)歸納 、冪的乘方與積的乘方公式 .整式的乘法，包括單項(xiàng)式乘法、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及多項(xiàng)式乘法 . ，計(jì)算時(shí)一定要正確運(yùn)用法則和有關(guān)知識(shí) . 習(xí)題選解 課本習(xí)題 課本第 148～ 149頁 習(xí)題 1.(1)不對， b3 a2b= . 答案： a5b 例 8 (2021哈爾濱 )下列各式正確的是 ( ) A.(a)2=a2 B.(a)3=a3 C. 2a? =a2 D. 3a? =a3 答案 :A 例 7 (2021 (2xy)=8x3y. 例 5 (2021桂林 )計(jì)算： 4x2黑龍江 )下列運(yùn)算正確的是 ( ) x3=x6 B.(ab)3=a3b3 +2a=5a2 D.(a1)2=a21 (分析 ) 本題主要考查整式的乘法與合并同類項(xiàng) .其中 A 項(xiàng)不正確， x2 x2=x5；②原式 =(x)5= D 項(xiàng) . 例 2 (2021河北 )化簡 (x)3 (25)y22x 32y= . 老師評一評 ∵ 2x+5y3=0，∴ 2x+5y=3， ∴ 4x (521)=24 521=24 5520=120 520，∴是 120 的整數(shù)倍，∴ 523521能被 120 整除 . 例 14 設(shè) m2+m1=0，求 m3+2m2+2021 的值 . (分析 ) 欲求代數(shù)式的值，從 m2+m1=0 中求 m 的值是比較困難的，也是不必要的，只需利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的積的逆運(yùn)算即可 . 解：∵ m2+m1=0，∴ m2+m=1. ∴ m3+2m2+2021 =m(m2+m)+m2+2021 =m 2y=3 5=15. 又∵ 2z=15，∴ 2x+y=2z.∴ x+y=z. 例 11 比較大小 . (1)1625與 290； (2)2100與 375. (分析 ) 比較兩個(gè)正數(shù)冪的大小，一種是指數(shù)相同，比較底數(shù)大小，另一種是底數(shù)相同，比較指數(shù)大小 . 解： (1)∵ 1625=(24)25=2100， 290=290， 又∵ 2＞ 1，∴ 290＜ 2100，即 1625＞ 290. (2)∵ 2100=(24)25=1625， 375=(33)25=2725，且 16＜ 27， ∴ 1625＜ 2725，即 2100＜ 375. 學(xué)生做一做 比較 355， 444， 533的大小 . 老師評一評 ∵ 355=(35)11=24311， 444=(44)11=25611， 533=(53)11=12511，且 256＞243＞ 125， ∴ 25611＞ 24311＞ 12511，即 444＞ 355＞ 533. 例 12 如果 (x+q)(x+51 )的積中不含 x項(xiàng)，那么 q= . (分析 ) 欲求 q的值，則需化簡 (x+q)(x+51 )=x2+(51 +q)x+51 q, 因?yàn)榉e中不含 x項(xiàng)，即 x項(xiàng)的系數(shù)是 0，所以 51 +q=0，所以 q=51 . 小結(jié) 欲求多項(xiàng)式中不含某項(xiàng)，即某項(xiàng)的系數(shù)為 0. 例 13 若 n為自然數(shù)，試說明 n(2n+1)2n(n1)的值一定是 3的倍數(shù) . 解：∵ n(2n+1)2n(n1) =2n2+n(2n22n) =2n2+n2n2+2n =3n， 且 n 為自然數(shù)， ∴ n(2n+1)2n(n1)一定是 3的倍數(shù) . 學(xué)生做一做 用你所學(xué)的知識(shí)，說明 523521能被 120 整除 . 老師評一評 ∵ 523521=521+2521=521 55992=51 . (2)(32 )2021 (241 )1000=(32 )2021 (49 )1000=(32 ) 31 =131=31. 學(xué)生做一做 (1)(51)5993 252996= ； (2)(32)2021 (241)1000= ； (3)(131 )2021 (141 )2021 (53 )2021= . 老 師 評 一 評 (1)( 51 )5993 252996=( 51 )5993 (52)2996=( 51 )5993 55992=51 31 ]2021 (31 )2021 (31 )2021 =(3)2021 (31 )2021. (分析 )按照本題的運(yùn)算級別，應(yīng)先乘方后乘法，但是我們看到，要計(jì)算出(3)2021 m ba? =m12，∴ m )()( baba ??? =m12. ∴ (a+b)+(ab)=12， ∴ 2a=12.∴ a=6. 學(xué)生做一做 (1)若 644 83=2x，則 x= ； (2)若 x2n=4， x6n= ， (3x3n)2= ； (3)已知 am=2， an=3，則 am+n= . 老師評一評 (1)33 (2)64 576 (3)6 小結(jié) 在應(yīng)用同底數(shù)冪乘法、冪的乘方及積的乘方運(yùn)算解決問題時(shí)，貴在靈活，尤其是公式： am 5ab3) =(6a3b210a3b3) =6a3b2+10a3b3. 小結(jié) 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要注意兩個(gè)問題： (1)要用單項(xiàng)式與 多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，避免漏乘； (2)單項(xiàng)式帶有負(fù)號時(shí)，如 (2)小題，乘的時(shí)候容易弄錯(cuò)符號，為了避免這一錯(cuò)誤出現(xiàn)，可以用 (2)小題的第二種解法，就能有效地解決 . 例 4 計(jì)算 . (1)(x3y)(x+7y)； (2)(5x+2y)(3x2y). (分析 )先用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算，最后要合并同類項(xiàng) . 解： (1)(x3y)(x+7y)=x2+7xy3xy21y2=x2+4xy21y2. (2)(5x+2y)(3x2y)=15x21Oxy+6xy4y2=15x24xy4y2. 學(xué)生做一做 計(jì)算 . (1)(x+2)(x3)； (2)(3x1)(2x+1). 老師評一評 (1)(x+2)(x3)=x23x+2x6=x2x6. (2)(3x1)(2x+1)=6x2+3x2x1=6x2+x1. 綜合應(yīng)用題 本節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用包括： (1)整式乘法與方程的綜合應(yīng)用； (2)整式乘法與不等式的綜合應(yīng)用； (3)整式乘法與整式加減的綜合應(yīng)用 . 例 5 化簡 . (1)(a+b)(a2b)(a+2b)(ab)； (2)5x(x2+2x+1)(2x+3)(x5). (分析 ) 整式加 減與整式乘法的混合計(jì)算，要依照先乘法，后加減的順序計(jì)算 . 解： (1)(a+b)(a2b)(a+2b)(ab) =(a2ab2b2)(a2+ab2b2) =a2ab2b2a2ab+2b2 =2ab. (2)5x(x2+2x+1)(2x+3)(x5) =(5x3+10x2+5x)(2x27x15) =5x3+10x2+5x2x2+7x+15 =5x3+8x2+12x+15. 學(xué)生做一做 化簡 . (1)(3y+2)(y4)3(y2)(y3)； (2)(3x2)(x3)2(x+6)(x5)+31x27x13. 老師評一評 (1)原式 =5y26. (2)原式 =32x220x+53. 例 6 解方程 (3x2)(2x3)=(6x+5)(x1). (分析 ) 解方程時(shí)，有括號的先去括號 . 解： (3x2)(2x3)=(6x+5)(x1)， 6x213x+6=6x2x5， 6x213x6x2+x=56， 12x=11， ∴ x=1211 . 學(xué)生做一做 解下列方程 . (1)3x(7x)=18x(3x15)； (2)21 x(x+2)=1x(321 x). 老師評一評 (1)x=3； (2)x=41 . 小結(jié) 在解存在整式乘法的方程時(shí)，依照先乘法，后加減的順序，其他步驟沒有變化 . 例 7 解不等式 (3x+4)(3x4)＞ 9(x2)(x+3). 解： (3x+4)(3x4)＞ 9(x2)(x+3)， 9x216＞ 9(x2+x6)， 9x216＞ 9x2+9x54， 9x29x29x＞ 1654， 9x＞ 38,∴ x＜938. 學(xué)生做一做