【正文】 15． 2． 1 平方差公式 一、探究、歸納規(guī)律──平方差公式 文字語言：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差 符號語言：（ a+b）（ ab） =a2b2 二、 1．用簡便方法計算 2．計算： 三、應(yīng)用、升華： 七、教學反思： 平方差公式（二） 喀拉布拉鄉(xiāng)中學：權(quán)成龍、孫美榮 課型：新授 教學目標 1．知識與技能 探究平方差公式的應(yīng)用，熟練地應(yīng)用于多項式乘法之中． 2．過程與方法 經(jīng)歷平方差公式的運用過程，體會平 方差公式的內(nèi)涵． 3．情感、態(tài)度與價值觀 培養(yǎng)良好的運算能力，以及觀察事物的特征的能力，感受到學習數(shù)學知識的實際價值． 重、難點與關(guān)鍵 1．重點：運用平方差公式進行整式計算． 2．難點：準確把握運用平方差公式的特征． 3．關(guān)鍵：弄清平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，左邊：（ 1）兩個二項式的積；（ 2） 兩個二項式中一項相同，另一項互為相反數(shù)．右邊：（ 1）二項式；（ 2）兩個因式中相同項平方減去互為相反數(shù)的項的平方． 教學方法 采用“精講．精練”分層遞推的教學方 法，讓學生在訓練中，熟練掌握平方差的特征． 教學過程 一、回顧交流，課堂演練 1．用平方差公式計算： （ 1）（－ 9x－ 2y）（－ 9x+2y） （ 2）（－ +）（ +） （ 3）（ 8a2b－ 1）（ 1+8a2b） （ 4） 20212－ 2021 2021 2．計算：（ a+12b）（ a－ 12b）－（ 3a－ 2b）（ 3a+2b） 【教師活動】請部分學生上講臺“板演”，然后組織學生交流． 【學生活動】先獨立完成課堂演練，再與同學交流． 二、范例學習，鞏固深化 【例 1】計算： （ 1）（ 34y+212x）（ 212x－ 34y）； （ 2）（－ 56 x－ ）（ 56 x－ ）； （ 3）（ 2a－ 3b）（ 2a+3b）（ 4a2+9b2）（ 16a4+81b4）． 解：（ 1）原式 =（ 52 x+34 y）（ 52 x－ 34 y） = 225 94 16x ? y2 （ 2）原式 =（－ － 56 x）（－ +56 x） =（－ ） 2－（ 56 x） 2= 9a4b2－ 2536 x2 （ 3）原式 =（ 4a2－ 9b2）（ 4a2+9b2）（ 16a4+81b4） =（ 16a4－ 81b4）（ 16a4+81b4） =256a8－ 6561b8 【例 2】運用乘法公式計算： 734 814 。 (21 )180； (3)24 45 ()4； (4)(x6)(x2+x+1)x(2x+1)(3x1)； (5)2(a4)(a+3)(2a+1)(a1)； (6)(2x+1)(x1)(x+2)(2x1). 2x=a， 2y=b，求 2x+y+23x+2y的值 . x(x2+a)+3x2b=x3+5x+4 成立，則 a,b 的值分別為多少？ (3x22x+1)(x+b)中不含 x2項，求 b 的值 . 3k(2k5)+2k(13k)=52，求 k 的值 . x2+21x(32x)＜ 241. ： 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 …… 想一想，等式左邊各項的底數(shù)與等式右邊的底數(shù)有什么關(guān)系？猜一猜，可以得出什么規(guī)律？ (101 91 81 … 21 1)10 (3xy2)2= . ： (4 106) (8 103)= . x=2 時，代數(shù)式 ax3+bx7 的值為 5，則 x=2 時，這個代數(shù)式的值為 . . (1)(x)3(y)2(x3y2)； (2)890 bm (a)3=a6 (a3)2+a2 (a)2=a4 C.( a)3 xn=x2，那么 n等于 ( ) +5 ( ) A.( a) =8a (+)2a x4=x8； (3)不對， (a5)2=a10； (4)不對 ,(a3)2 (31 x2y)= . 答案： 3x3y2 課堂小結(jié) 本節(jié)歸納 、冪的乘方與積的乘方公式 .整式的乘法，包括單項式乘法、單項式乘以多項式及多項式乘法 . ，計算時一定要正確運用法則和有關(guān)知識 . 習題選解 課本習題 課本第 148～ 149頁 習題 1.(1)不對， b3 a2b= . 答案： a5b 例 8 (2021哈爾濱 )下列各式正確的是 ( ) A.(a)2=a2 B.(a)3=a3 C. 2a? =a2 D. 3a? =a3 答案 :A 例 7 (2021 (2xy)=8x3y. 例 5 (2021桂林 )計算： 4x2黑龍江 )下列運算正確的是 ( ) x3=x6 B.(ab)3=a3b3 +2a=5a2 D.(a1)2=a21 (分析 ) 本題主要考查整式的乘法與合并同類項 .其中 A 項不正確， x2 x2=x5；②原式 =(x)5= D 項 . 例 2 (2021河北 )化簡 (x)3 (25)y22x 32y= . 老師評一評 ∵ 2x+5y3=0，∴ 2x+5y=3， ∴ 4x (521)=24 521=24 5520=120 520，∴是 120 的整數(shù)倍，∴ 523521能被 120 整除 . 例 14 設(shè) m2+m1=0，求 m3+2m2+2021 的值 . (分析 ) 欲求代數(shù)式的值，從 m2+m1=0 中求 m 的值是比較困難的，也是不必要的，只需利用單項式與多項式的積的逆運算即可 . 解：∵ m2+m1=0，∴ m2+m=1. ∴ m3+2m2+2021 =m(m2+m)+m2+2021 =m 2y=3 5=15. 又∵ 2z=15，∴ 2x+y=2z.∴ x+y=z. 例 11 比較大小 . (1)1625與 290； (2)2100與 375. (分析 ) 比較兩個正數(shù)冪的大小，一種是指數(shù)相同，比較底數(shù)大小，另一種是底數(shù)相同，比較指數(shù)大小 . 解： (1)∵ 1625=(24)25=2100， 290=290， 又∵ 2＞ 1，∴ 290＜ 2100，即 1625＞ 290. (2)∵ 2100=(24)25=1625， 375=(33)25=2725，且 16＜ 27， ∴ 1625＜ 2725，即 2100＜ 375. 學生做一做 比較 355， 444， 533的大小 . 老師評一評 ∵ 355=(35)11=24311， 444=(44)11=25611， 533=(53)11=12511，且 256＞243＞ 125， ∴ 25611＞ 24311＞ 12511，即 444＞ 355＞ 533. 例 12 如果 (x+q)(x+51 )的積中不含 x項，那么 q= . (分析 ) 欲求 q的值，則需化簡 (x+q)(x+51 )=x2+(51 +q)x+51 q, 因為積中不含 x項，即 x項的系數(shù)是 0，所以 51 +q=0，所以 q=51 . 小結(jié) 欲求多項式中不含某項，即某項的系數(shù)為 0. 例 13 若 n為自然數(shù)，試說明 n(2n+1)2n(n1)的值一定是 3的倍數(shù) . 解：∵ n(2n+1)2n(n1) =2n2+n(2n22n) =2n2+n2n2+2n =3n， 且 n 為自然數(shù)， ∴ n(2n+1)2n(n1)一定是 3的倍數(shù) . 學生做一做 用你所學的知識，說明 523521能被 120 整除 . 老師評一評 ∵ 523521=521+2521=521 55992=51 . (2)(32 )2021 (241 )1000=(32 )2021 (49 )1000=(32 ) 31 =131=31. 學生做一做 (1)(51)5993 252996= ； (2)(32)2021 (241)1000= ； (3)(131 )2021 (141 )2021 (53 )2021= . 老 師 評 一 評 (1)( 51 )5993 252996=( 51 )5993 (52)2996=( 51 )5993 55992=51 31 ]2021 (31 )2021 (31 )2021 =(3)2021 (31 )2021. (分析 )按照本題的運算級別，應(yīng)先乘方后乘法，但是我們看到，要計算出(3)2021 m ba? =m12，∴ m )()( baba ??? =m12. ∴ (a+b)+(ab)=12， ∴ 2a=12.∴ a=6. 學生做一做 (1)若 644 83=2x，則 x= ； (2)若 x2n=4， x6n= ， (3x3n)2= ； (3)已知 am=2， an=3，則 am+n= . 老師評一評 (1)33 (2)64 576 (3)6 小結(jié) 在應(yīng)用同底數(shù)冪乘法、冪的乘方及積的乘方運算解決問題時，貴在靈活，尤其是公式： am 5ab3) =(6a3b210a3b3) =6a3b2+10a3b3. 小結(jié) 單項式與多項式相乘時，要注意兩個問題： (1)要用單項式與 多項式的每一項相乘，避免漏乘； (2)單項式帶有負號時，如 (2)小題，乘的時候容易弄錯符號，為了避免這一錯誤出現(xiàn)，可以用 (2)小題的第二種解法，就能有效地解決 . 例 4 計算 . (1)(x3y)(x+7y)； (2)(5x+2y)(3x2y). (分析 )先用多項式乘法法則計算，最后要合并同類項 . 解： (1)(x3y)(x+7y)=x2+7xy3xy21y2=x2+4xy21y2. (2)(5x+2y)(3x2y)=15x21Oxy+6xy4y2=15x24xy4y2. 學生做一做 計算 . (1)(x+2)(x3)； (2)(3x1)(2x+1). 老師評一評 (1)(x+2)(x3)=x23x+2x6=x2x6. (2)(3x1)(2x+1)=6x2+3x2x1=6x2+x1. 綜合應(yīng)用題 本節(jié)知識的綜合應(yīng)用包括： (1)整式乘法與方程的綜合應(yīng)用； (2)整式乘法與不等式的綜合應(yīng)用； (3)整式乘法與整式加減的綜合應(yīng)用 . 例 5 化簡 . (1)(a+b)(a2b)(a+2b)(ab)； (2)5x(x2+2x+1)(2x+3)(x5). (分析 ) 整式加 減與整式乘法的混合計算，要依照先乘法，后加減的順序計算 . 解： (1)(a+b)(a2b)(a+2b)(ab) =(a2ab2b2)(a2+ab2b2) =a2ab2b2a2ab+2b2 =2ab. (2)5x(x2+2x+1)(2x+3)(x5) =(5x3+10x2+5x)(2x27x15) =5x3+10x2+5x2x2+7x+15 =5x3+8x2+12x+15. 學生做一做 化簡 . (1)(3y+2)(y4)3(y2)(y3)； (2)(3x2)(x3)2(x+6)(x5)+31x27x13. 老師評一評 (1)原式 =5y26. (2)原式 =32x220x+53. 例 6 解方程 (3x2)(2x3)=(6x+5)(x1). (分析 ) 解方程時，有括號的先去括號 . 解： (3x2)(2x3)=(6x+5)(x1)， 6x213x+6=6x2x5， 6x213x6x2+x=56， 12x=11， ∴ x=1211 . 學生做一做 解下列方程 . (1)3x(7x)=18x(3x15)； (2)21 x(x+2)=1x(321 x). 老師評一評 (1)x=3； (2)x=41 . 小結(jié) 在解存在整式乘法的方程時，依照先乘法，后加減的順序，其他步驟沒有變化 . 例 7 解不等式 (3x+4)(3x4)＞ 9(x2)(x+3). 解： (3x+4)(3x4)＞ 9(x2)(x+3)， 9x216＞ 9(x2+x6)， 9x216＞ 9x2+9x54， 9x29x29x＞ 1654， 9x＞ 38,∴ x＜938. 學生做一做