【正文】 ?????????????????????????????0 00 10??nkkk ， 其中??????????????????nnnnnncccccccccA121122221211 1 1 1??????? 而 0)(de t11 ???? ? ???? nij ji ccAA，則 A 可逆， 用 1?A 左乘 A ??? ? ??? nfff ? 進而 有 0)(,0)(,0)( )1(139。11222211111)(1)(1)(1???nnnnnnnabababababab??????（ Vandermonde 行列式） 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 9 上式右端 的 行列式是以新元素112211 ,??nnababab ? 為列元素的 1?n 階 Vandermonde行列式，所以 ： 1?nD = nnnn aaa ?21 !2 )!1( ?n ???? ?61 )(ij ji aa 計算特殊的行列式 Vandermonde 行列式在 行列式計算 中的應(yīng)用 ，除了應(yīng)用其 推廣的性質(zhì)定理 來 計算各階準(zhǔn) Vandermonde 行列式 之外，還可以用以下一些方法來計算某些類似 Vandermonde 行列式 的 特殊的行列式 . （ 1）法一 : 所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，但其方冪 次數(shù)或其排列與 Vandermonde 行列式不完全相同，需 利用行列 的 性質(zhì)（如提取公因式，寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 8 調(diào)換各行（列）的次序等）將 其 化為 Vandermonde 行列式 [7]. 例 2 計算 n 階行列式 nnnnnnD??????22 222111? 解 nD1212122211111!???nnnnnn??????? )1()13)(12(! ???? nn ? V (k=0,1,2?n 1) 定理得證 . 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 7 4 Vandermonde 行列式的應(yīng)用 Vandermonde 行列式在 行列式計算 中的應(yīng)用 計算 準(zhǔn) Vandermonde 行列式 利用 Vandermonde 行列式推廣的性質(zhì)定理可以計算各階準(zhǔn) Vandermonde 行列式 （ 缺行 的 Vandermonde行列式也叫做超 Vandermonde行列式或準(zhǔn) Vandermon de 行列式 ）， 簡便易行 [6].特 別 地 ，當(dāng) kn? 時，令 0p =1， ()nkV 即為 Vandermonde行列式 nV . 例 1 計算準(zhǔn) Vandermonde 行列式 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 21 2 3 4 5 66 ( 3 ) 4 4 4 4 4 41 2 3 4 5 65 5 5 5 5 51 2 3 4 5 66 6 6 6 6 61 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1a a a a a aa a a a a aVa a a a a aa a a a a aa a a a a a? 解 由定理， n =6,k =3,所以 1 2 31 2 36 ( 3 ) p p pp p pV a a a? ?1 (x x )ijj i n? ???， 則1212() , ... ... nknkn k p p pp p pV x x x ??? ? )(knV ( 1)nk??? 1212, ... ... nknk p p pp p p x x x ???1 ()ijj i n xx? ? ? ?? (ii)由 上 式的兩端分別計算多項式 kx 中項的系數(shù) .在 上 式 左端，由行列式 計算 kx 的系數(shù)為 ： 行列式中該元素對應(yīng)的代數(shù)余子式 ( 1)kn?? ? ? ? ? ))(( 11 ?? ?? nnn xxxx V (k=0,1,2?n 1) 其中 符號“ ()nkV ”中的下標(biāo)“ n”表示 n 階行列式 ， “ (k)”表示僅缺少的 k 次方冪元素行； 12, ... nkp p p ? 是 1,2,...n 中（ nk? ）個數(shù)的一個正序排列 ；12... nkpp p??表示對所有（ nk? ）階排列求和 ；1 (x x )ijj i nV ? ? ?? ?[5]. 證 明 （ i）在行列式 ( ) 1, 2( ... )n k nV x x x 中增補第（ 1k? ）行和（ 1n? ）列相應(yīng)的元素 ， 考慮（ 1n? ）階 Vandermonde 行列式 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 6 121 1 1 11212121 1 1 112121 1 .. . 1 1..... . .. . .. . .. . .. ....( ) ( , .. . , )........ . .. . .. . .. . .. ....nk k k knn k k k knk k k knn n n nnx x x xx x x xf x V x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ?? ? ? ??? = 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x? ? ? ? 13 ??? nn xA ? nA1 x? 2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 .. . 1 1..... . .. . .. . .. . .. .......nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ?? 注意到行列式2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 .. . 1 1..... . .. . .. . .. . .. .......nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ??是 1n? 階 Vandermonde 行列式 1?nV ，即已經(jīng)將 nV 用 1?nV 表示出來 ,降了一階，并且少了一元 1a .重復(fù)用上述方法對 1?nV 再 進行求解，經(jīng)過有限步 則 可以得到： 1nV? =（ ( 21aa? ) ? 1 1 1( )( )nna a a a? ??） 淺析 Vandermonde 行列式的性質(zhì)與 應(yīng)用 摘 要 ： 在 線性代數(shù)與高等代數(shù) 的學(xué)習(xí)中，行列式 無疑是一個重點和難點，它是后續(xù)課程矩陣、向量空間和 線性變換 等的基礎(chǔ)，且其 計算具有一定的 規(guī)律性和技巧性 .而 Vandermonde 行列式是一類很重要的行列式 ,它構(gòu)造獨特、形式優(yōu)美、性質(zhì)特殊 ， 是 行列式中的一顆璀璨明珠 .為了使 我們對 vandermonde 行列式進一步加深了解與應(yīng)用，同時 開闊數(shù)學(xué)視野 、 培養(yǎng)發(fā)散思維能力 ， 以便更好地 為我們的科研和生活服務(wù)， 本文主要闡述了 Vandermonde 行列式的證法及其相關(guān)性質(zhì) ,并用 例舉 法介 紹及總結(jié)了 如何利用 Vandermonde 行列式 計算某些特殊的 行列式與