【正文】 。 同時，在論文寫作過程中，我還參考了有關的書籍和論文，在這里一并向有關的作者表示謝意。 在臨近畢業(yè)之際，我還要借此機會向在這四年中給予了我?guī)椭椭笇У乃欣蠋煴硎居芍缘闹x意，感謝他們四年來的辛勤栽培。 行列式的計算方法研究 21 參考文獻 [1] 線性代數(shù) 方法導引 [m].屠伯塤 .上海科大出版社 .1994 [2] 高等代數(shù) [m].王萼芳 .石生明 .高等教育出版社 .1995 [3] 高等代數(shù)全程導學及習題全解 [m].杜煒 .馬訾偉 .中國時代經(jīng)濟出版社 .1998. [4] 高等代數(shù)輔導及習題全解（北大第三版） [m].王勇 .科學技術文獻出版社 .1995. [5] 高等代數(shù)習題集（上下冊） [m].楊子胥 .山東科學技術出版社 .2020. [6] 高等代數(shù)習題課參考書 [m].張均本 .高等教育出版社 .2020. [7] 高等代數(shù) [m].上海財經(jīng)大學數(shù)學系 主編 .復旦大學出版社 .2020. [8] 高等代數(shù) [m].王住登 .國防工業(yè)大學出版社 .2020. [9] Introduction To Higher Algebra[m].Dover publications 2020. [10] Higher Enginering Mathematics[m].John . 行列式的計算方法研究 22 謝辭 本論文設計在老師的悉心指導和嚴格要求下業(yè)已完成，從課題選擇到具體的寫作過程，無不凝聚著老師的心血和汗水，在我的畢業(yè)論文寫作期間，劉老師為我提供了種種專業(yè)知識上的指導和一些富于創(chuàng)造性的建議，沒有這樣的幫助和關懷，我不會這 么順利的完成畢業(yè)論文。總的原則是：充分利用所求行列式的特點，運用行列式性質及上述常用的方法，有時綜合運用以上方法可以更簡便的求出行列式的值；有時也可用多種方法求出行列式的值。使問題簡化以利計算。假設 1??kn 時命題成立 ,考察 n=k 的情形： 故命題對一切 自然數(shù) n 成立。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。 一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出猜想的證明。加邊法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分別為 1?n 個元素的倍數(shù)的情況。它要求： 1 保持原行列式的值不變； 2 新行列式的值容易計算。 變形范德蒙行列式 例 1 計算行列式122 2 21 1 2 21 2 1 2 1 21 1 2 21 1 11 1 1nnnn n n n n nnnx x xD x x x x x xx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 解 把第 1行的－ 1 倍加到第 2行，把新的第 2行的－ 1倍加到第 3 行，以此類推直到把新的第 n－ 1行的－ 1倍加到第 n行，便得范德蒙行列式 122 2 21211 1 1121 1 1()nn i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x? ? ?? ? ?? ? ?? 例 2：計算 1n? 階行列式 1 2 2 11 1 1 1 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 2 2 21 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1n n n n nn n n n nn n n n nn n n n n n n na a b a b a b ba a b a b a b bDa a b a b a b b? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ．其中1 2 1 0naa a ? ? ． 解 : 這個行列式的每一行元素的形狀都是 n k kiiab? ， k? 0， 1， 2，?， n．即 ia按降冪排列， ib 按升冪排列，且次數(shù)之和都是 n，又因 0ia? ，若在第 i行（ i ? 1，2，?， n）提出公因子 nia ，則 D可化為一個轉置的范德蒙行列式，即 行列式的計算方法研究 12 ? ?21 1 11 1 122 2 2 11 2 1 2 2 21 1 1 1 121 1 11 1 111 .1nnnjn n n n in i i j i ji j i n j i nijnn n nn n nb b ba a ab b b bbD a a a a b a a ba a aaab b ba a a??? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?≤ ≤ ≤ ≤ 例 3： 計算行列式 xyxzyzzyxzyxD 222? . 解： ))()()((222222)1()3(22222)1)(()3(yzxzxyxzyzxyxzyzxyzxzyzxyyxzyzxyxzyxzyxxyzyzxzyzyyzxzxyzyxzyxDxzy?????????????????????????? 系數(shù)范德蒙行列式 例 1： 計算行列式 nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD?????????21222212222121111???? 解 作如下行列式 ,使之配成范德蒙行列式 行列式的計算方法研究 13 nnnnnnnnnnnnnnnnnyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxyP???????????21111211222221222221211111)(????????? = ?????? ?? nij jini i xxxy 11 )()( 易知 nD 等于 )(yP 中 1?ny 的系數(shù)的相反數(shù) ,而 )(yP 中 1?ny 的系數(shù)為?? ???? ?? nij jink k xxx 11 )( ,因此 , ? ??? ??? ?? nk nij jikn xxxD 1 1 )( 利用行列式性質湊范德蒙行列式 例 1: 計算 n階行列式 1 1 1 12 2 2 2( 1 ) ( 2) ( 1 )( 1 ) ( 2) ( 1 )1 2 11 1 1 1n n n nn n n nna n a n a aa n a n a aDa n a n a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? 解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質把它化為范德蒙行列式的類型。其中范德蒙行列式就是一種。因此可考慮利用遞推關系式計算。,)1(11???? ?????nnnnnD 行列式的計算方法研究 8 例 2 ： 計算ayyyxayyxxayxxxaD n?????????? 解： 111)()(1010010001)(000???????????????????nnnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaD???????