新課標(biāo)人教a版高中數(shù)學(xué)選修1-1單元測(cè)試-第二章圓錐曲線與方程一(參考版)
2024-12-05 09:33本頁(yè)面
【正文】 （Ⅱ）當(dāng) 1?? 時(shí)， 2e? ， 2ca? ， 223ba? ，雙曲線為 22143xyaa??四邊形 OFPM 是菱形，所以直線 OP的斜率為 3 ，則直線 AB的方程為 3( 2 )y x a??，代入到雙曲線方程得： 229 48 60 0x ax a? ? ?， 又 12AB? ，由 221 2 1 21 ( ) 4A B k x x x x? ? ? ?得： 224 8 6 01 2 2 ( ) 499aa??，解得 2 94a?，則 2 274b ?，所以 2212794xy??為所求。 19．解：（Ⅰ）解法 1：以 O 為原點(diǎn)， ,ABOD 所在直線分別為 x 軸、 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 ( 2, 0), (2, 0)AB? ， (0, 2), ( 3,1)DP，依題意得 M A M B PA PB? ? ? 2 2 2 2( 2 3 ) 1 2 3 1 2 2 4AB? ? ? ? ? ? ? ?（ ） ＝ ∴曲線 C 是以原點(diǎn)為中心， ,AB為焦點(diǎn)的雙曲線 . 設(shè)實(shí)半軸長(zhǎng)為 a ，虛半軸長(zhǎng)為 b ，半焦距為 c ， 則 2c? ， 2 2 2a? 2 2 2 22 , 2a b c a? ? ? ? ?，∴曲線 C 的方程為 122 22 ?? yx . 解法 2：同解法 1 建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得 4M A M B P A P B A B? ? ? ? ?. ∴曲線 C 是以原點(diǎn)為中心， ,AB為焦點(diǎn)的雙曲線 . 設(shè)雙曲線的方程為 abyax (12222 ?? ＞ 0， b＞ 0） . 則由 222222( 3) 1 14.abab? ???????? 解得 222ab??, ∴曲線 C的方程為 .122 22 ?? yx (Ⅱ )解法 1：依題意，可設(shè)直線 l 的方程為 2y kx??，代入雙曲線 C 的方程并整理， 得 22(1 ) 4 6 0k x kx? ? ? ?. ∵直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點(diǎn) ,EF, ∴??? ? ???????? ?????? ?? ,33 ,10)1(64)4( ,01222＜＜，＞ kkkkk ∴ ( 3 , 1) (1, 3 )k ? ? ? . 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )E x y F x y，則由①式得1 2 1 22246,11kx x x xkk? ? ???于是 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( )E F x x y y k x x? ? ? ? ? ? ? =|1| 32214)(1 222212212 k kkxxxxk ? ?????? ?? 而原點(diǎn) O 到直線 l 的距離221d k? ? , ∴ 2222221 1 2 2 2 3 2 2 3| | 1 .2 2 | 1 | | 1 |1O E F kkS d E F k kkk? ? ? ? ??? ? ? ???? 若 22OEFS ? ，即 ,0222|1| 322 2422 ?????? ? kkk k解得 2k?? , 滿足② .故滿足條件的直線 l 有兩條，其方程分別為 22yx??和 .22 ??? xy 解法 2：依題 意，可設(shè)直線 l 的方程為 2y kx??,代入雙曲線 C的方程并整理， 得 22(1 ) 4 6 0k x kx? ? ? ?. ① ∵直線 l 與雙曲線 C相交于不同的兩點(diǎn) ,EF， ∴???????????????????? .33 ,10)1(64)4(,01222＜＜，＞ kkkkk ∴ ( 3 , 1) (1, 3 )k ? ? ? ② 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )E x y F x y，則由①式得 221 2 1 2 1 2 222 2 3( ) 4 | 1 | | 1 |kx x x x x x kk??? ? ? ? ? ???. ③ 當(dāng) ,EF在同一支上時(shí)（如圖 1所示）， 1 2 1 211| | | | || | | || | | | |22O E F O Q F O Q ES S S O Q x x O Q x x??? ? ? ? ? ?； 當(dāng) ,EF在不同支上時(shí)（如圖 2所示）， 1 2 1 211| | ( | | | |) | | | | .22O E F O Q F O Q ES S S O Q x x O Q x x??? ? ? ? ? ? 綜上得121 | | | |2O E FS O Q x x???，于是 由 2OQ? 及③式，得 222 2 3| 1 |OEF kS k?? ?. 若 22OEFS ? ，即 0222|1| 322 2422 ?????? ? kkk k,解得 2k?? ,滿足② . 故滿足條件的直線 l 有兩條，方程分別為 22yx??和 2 ?? ? 20． 解：（ Ⅰ ）設(shè) OA m d??， AB m? ， OB m d?? 由勾股定理可得： 2 2 2( ) ( )m d m m d? ? ? ? 得： 14dm? ， tan bAOF a??， 4ta n ta n 2 3ABA O B A O F OA? ? ? ? ? 由倍角公式 ? 22 431baba????????，解得 12ba?
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