20xx數(shù)學(xué)歸納法講義(參考版)
2024-11-24 23:54本頁面
【正文】 當(dāng) n=1時(shí)， 1 2kkaa? ?? ? ? ? ?1 42f x x x?? 2176。 、 2176。 當(dāng) n=1時(shí)， ∴ ，命題正確 . （ 1）證法一： 2176。5/31/n(n≥m) 考慮到 1/(k+1)178。+ （ 1/3） 178。5/3f(k+1) ==f(k)f(k+1)1/(k+1)178。)()2()(32122221212121212122??????????????????????kPFFFFFFFFFFFFFkkkkkkkkkkkkk應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧 n（ 1）起點(diǎn)前移：有些命題對(duì)一切大于等于 1的正整數(shù) 都成立，但命題本身對(duì) n=0也成立，而且驗(yàn)證起來比驗(yàn)證 n=1時(shí)容易，因此用驗(yàn)證n=0成立代替驗(yàn)證 n=1同理，其他起點(diǎn)也可以前移，只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以．因而為了便于起步，有意前移起點(diǎn)，當(dāng)然也可以起點(diǎn)后移。:)(?????????nnnnnnnFFFFnQFFFnP命題證：記命題成立；時(shí)，易知由 )1(),1(1)1( QPn ?均成立命題命題即成立；時(shí)，設(shè)22211122212:)(。當(dāng)將這與已知，于是線段總數(shù)為：不小于出的線段都，若不然，則由每點(diǎn)引點(diǎn)引出的線段條數(shù)為則由，是引出線段最少的一點(diǎn)條線段且個(gè)點(diǎn)間連有設(shè)證明)()(1)1(2)1(23,1)1(2)13(2121)1(213)()()2(222kFkEkkkkAkkkkkSkkaaAkkkkkFkE??????????????????? ?。 ：設(shè) P(n)是一個(gè)與正整數(shù) n有關(guān)的命題，如果 : (2) 假設(shè)當(dāng) n＝ k (k∈ N*, k≥n0 +1) 時(shí) P(k)成立 , 由此推得當(dāng) n＝ k1時(shí) P(k1)也成立． naaa , 21 ?n nn aaanaaa ??2121 ????例 1．設(shè) 都是正數(shù)，證明： )(。 ),7( Nnnn ??任何 的郵資． 原命題成立；綜合及歸納假設(shè)顯然成立時(shí)，由時(shí)，命題成立，則當(dāng)假設(shè)當(dāng)可知命題成立；時(shí)，由當(dāng)證明：)2)(1()1(3),7()2(5510,3339,53810,9,8)1(?????????????knNkkknn n為不小于 6的自然數(shù)，證明：可以將一個(gè) 1個(gè)正三角形分成 n個(gè)較小的正三角形。)(,0,11111211121111211121311112131112121211211113312131131131121312113?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????}{ na ,8,3 21 ?? aa202453)(4 221 ????? ?? nnaaa nnn3?nnn na 22 ??例 2．已知數(shù)列 滿足： 試證： 且 時(shí) 證明： 121 21 ??a（ 1）當(dāng) n=1時(shí)： 命題顯然成立 （ 2）假設(shè) n≤k時(shí)： nn na 22 ??那么當(dāng) n=k+1時(shí)由 20)1(24)1(53)(4 211 ??????? ?? kkaaa kkk11453 21 ???? ? kka k所以： 1145)]2)1(()2[(43 21221 ???????? ?? kkkka kkk114548238 212 ???????? ? kkkk k12 23363 ?????? kkk所以： 121 2)1( ?? ??? kk ka即 n=k+1時(shí)命題成立 由（ 1）、（ 2）及數(shù)學(xué)歸納法知命題對(duì)任何正整數(shù)都成立 數(shù)學(xué)歸納法的其他形式： 完成這兩個(gè)步驟后 , 就可以斷定命題 P(n)對(duì)從 n0開始的所有正整數(shù) n都成立． (1) 證明當(dāng) n＝１，２， … ，ｓ時(shí)， P(１ )， P(２ )， …… ， P(ｓ )成立 。 小結(jié)： (1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法； (2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法； (3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推 (遞歸 )思想，它的使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉； (4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想． 第二階段 :新舊知識(shí)相互作用階段 完成這兩個(gè)步驟后 , 就可以斷定命題 P(n)對(duì)從 n0開始的所有正整數(shù) n都成立． (1) 證明當(dāng) n取第一個(gè)值 n = n0 （ n0∈ Ｎ）時(shí) P(n)成立 。 這就是說，當(dāng) n=k+1時(shí)等式也成立。 例 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明 2)1()13(1037241 ?????????? nnnn?證明： （ 1）當(dāng) n=1時(shí)，左邊＝ 1 4＝ 4，右邊＝ 1 22＝ 4，等式成立。 （ 2）假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，等式成立，就是 16321 ???6)12)(1(321 2222 ??????? kkkk?那么 ? ?? ?61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222??????????????????????????????kkkkkkkkkkkkkkkkkkk?這就是說，當(dāng) n=k+1時(shí)等式也成立。 歸納： 重點(diǎn)： 兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論； 注意： 遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉 。 沒有步驟（ 1）命題的成立就失去了基礎(chǔ)； 沒有步驟（ 2）命題的成立就失去了保證！ 證明： 當(dāng) n=1時(shí)，左邊＝ 2，右邊＝ 3，等式不成立； 哪錯(cuò)了？？？ ？ .(2) ，從 n=k(k≥n0)時(shí)命題成立的假設(shè)出發(fā)，推證 n=k+1 時(shí)命題也成立。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法 2＋ 4＋ 6＋ … ＋ 2n＝ ＋ n+1對(duì) n∈ N都正確。 n22＋ 4＋ 6＋ … ＋ 2n＝ ＋ n+1(n∈
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