23數(shù)學(xué)歸納法1(參考版)
2024-09-05 15:13本頁(yè)面
【正文】 由 ①、②可知，對(duì)一切 n∈N , 原等式均成立。 例 求證 :(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ? 1? 3?… ?(2n1) 證明：① n=1時(shí)：左邊 =1+1=2，右邊 =21?1=2，左邊 =右邊，等 式成立。3+[(k+1)1] 例 4．對(duì)于 n∈ N*用數(shù)學(xué)歸納法證明： 事實(shí)上 f(k+1)不但比 f（ k）多一項(xiàng)，而且前 k項(xiàng)中每一項(xiàng)分別比 f（ k）中多了 1,2,3,4……k f(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k 證明：設(shè) f(n)= (1)當(dāng) n＝ 1時(shí)，左邊＝ 1，右邊＝ 1，等式成立 12)1()2(3)1(21 ???????????????? nnnnn (2)設(shè)當(dāng) n＝ k,時(shí)等式成立，即 )2)(1(61)( ??? kkkkf則 n=k+1時(shí)， f(k+1)=1 練習(xí)： )2)(1(6112)1()2(3)1(21 ??????????????????? nnnnnnnn?)(kf 12)1()2(3)1(21 ???????????????? kkkkk)1( ?kf )(kf分析 :找到“遞推關(guān)系”就等于把握住解決問(wèn)題的“靈魂”。 (2)假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)等式成立，就是 1+2+22+…+2k 1 =2k1 那么， 1+2+22+…+2k 1 +2k=2k1 + 2k =2 2k1 =2k+11 這就是說(shuō)，當(dāng) n=k+1時(shí)，等式也成立。 因此 ,根據(jù) (1)和 (2)可斷定 ,等式對(duì)于任何 n∈ N都成立。 ? 例 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+5+…… +(2n1)=n2 （ n∈N ） . ? 請(qǐng)問(wèn)： 第②步中 “ 當(dāng) n=k+1時(shí) ” 的證明可否改換為： 1+3+5+…… +(2k1)+[2(k+1)1]= 1+3+5+…… +(2k1)+(2k+1) = = (k+1)2 ?為什么？ （ k + 1) [ 1 + ( 2k + 1) ]2? 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (n∈N) ； 證明 :(1)當(dāng) n=1時(shí) ,左邊 =1,右邊 =1,等式是成立的。 ②假設(shè) n=k(k∈N ,k≥1) 時(shí)等式成立 ,即： 1+3+5+…… +(2k1)=k2，
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