【正文】 ，得到 △OA2B1，拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）經(jīng)過點 B、 B A2． （ 1）求拋物線的解析式． （ 2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點 P 在什么位置時， △ PBB1的面積最大？求出這時點 P 的坐標． （ 3）在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點 Q，使點 Q 到線段 BB1的距離為 ？若存在，求出點 Q的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 方法一： （ 1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點 B、 B A2三點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式； （ 2）求出 △ PBB1的面積表達式，這是一個關于 P 點橫坐標的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出 △ PBB1面積的最大值；值得注意的是求 △ PBB1面積的方法，如圖 1所示； （ 3）本問引用了（ 2）問中三角形面積表達式的結論 ，利用此表達式表示出 △ QBB1的面積，然后解一元二次方程求得 Q點的坐標． 方法二： （ 1）利用三角函數(shù)分別求出 B、三點坐標，并求出拋物線表達式． （ 2）利用三角形面積公式，水平底與鉛垂高的乘積的一半得出面積函數(shù)，并求出 P點坐標． （ 3）利用等積法可求出 Q點坐標． 【解答】 方法一： 解：（ 1） ∵ AB⊥ x軸， AB=3， tan∠ AOB= ， ∴ OB=4， ∴ B（﹣ 4， 0）， B1（ 0，﹣ 4）， A2（ 3， 0）． ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）經(jīng)過點 B、 B A2， ∴ ， 解得 ∴ 拋物線的解析式為： y= x2+ x﹣ 4． （ 2）點 P是第三象限內(nèi)拋物線 y= x2+ x﹣ 4上的一點， 如答圖 1，過點 P作 PC⊥ x軸于點 C． 設點 P的坐標為（ m， n），則 m＜ 0， n＜ 0， n= m2+ m﹣ 4． 于是 PC=|n|=﹣ n=﹣ m2﹣ m+4， OC=|m|=﹣ m， BC=OB﹣ OC=|﹣ 4|﹣ |m|=4+m． S△ PBB1=S△ PBC+S 梯形 PB1OC﹣ S△ OBB1 = BC PC+ （ PC+OB1） OC﹣ OB OB1 = （ 4+m） （ ﹣ m2﹣ m+4） + [（ ﹣ m2﹣ m+4） +4] （ ﹣ m） ﹣ 4 4 = m2﹣ m= （ m+2） 2+ 當 m=﹣ 2時， △ PBB1的面積最大，這時， n= ，即點 P（﹣ 2， ）． （ 3）假設在第三象限的拋物線上存在點 Q（ x0， y0），使點 Q到線段 BB1的距離為 ． 如答圖 2，過點 Q作 QD⊥ BB1于點 D． 由（ 2）可知，此時 △ QBB1的面積可以表示為： （ x0+2） 2+ ， 在 Rt△ OBB1中， BB1= = ∵ S△ QBB1= BB1 QD= =2， ∴ （ x0+2） 2+ =2， 解得 x0=﹣ 1或 x0=﹣ 3 當 x0=﹣ 1時， y0=﹣ 4；當 x0=﹣ 3時， y0=﹣ 2， 因此，在第三象限內(nèi)，拋物線上存在點 Q，使點 Q到線段 BB1的距離為 ，這樣的點 Q的坐標是（﹣ 1，﹣ 4）或（﹣ 3，﹣ 2）． 方法二： （ 1）略． （ 2）連接 BB1，過點 P作 x軸垂線交 BB1于 H． lBB1： y=﹣ x﹣ 4，設 H（ t，﹣ t﹣ 4），則 P（ t， ）， ∴ S△ PBB1= = =﹣ ， ∴ 當 t=﹣ 2時， S△ PBB1有最大值， ∴ P（﹣ 2，﹣ ）． （ 3）若拋物線上存在點 Q，則過點 Q作 BB1的垂線，垂足為點 D， 則 S△ PBB1= BB1 QD= ， 即 = ， ∴ t2+4t+3=0， ∴ t1=﹣ 1， t2=﹣ 3， ∴ Q1（﹣ 1，﹣ 4）， Q2（﹣ 3，﹣ 2）． 。 ， ∴ Rt△ ACN中， AC= =5， 又 CD=2， ∴ AD=AC﹣ CD=5﹣ 2=3． ∵ BD∥ CP， ∴ ， ∴ CP= ． 在 Rt△ ACP中， AP= = ， AC+CP+AP=5++ =20， ∴△ ACP的周長為 20． 六、拓展探索題 26．如圖 ，在平面直角坐標系 xOy中， AB⊥ x軸于點 B， AB=3， tan∠ AOB= ，將 △ OAB繞著原點 O逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。 ， ∴∠ BCP+∠ BCA=90176。 ，證得直線 CP是 ⊙ O的切線． （ 2）作 BD⊥ AC于點 D，得到 BD∥ PC，從而利用 sin∠ BCP=sin∠ DBC= = = ，求得DC=2，再根據(jù)勾股定理求得點 B到 AC的距離為 4． （ 3）先求出 AC的長度，然后 利用 BD∥ PC的比例線段關系求得 CP的長度，再由勾股定理求出 AP的長度，從而求得 △ ACP的周長． 【解答】 解：（ 1） ∵∠ ABC=∠ ACB且 ∠ CAB=2∠ BCP，在 △ ABC中， ∠ ABC+∠ BAC+∠ BCA=180176。 ，得到 2∠ BCP+2∠ BCA=180176。 2） 247。=5 =5 （海里）， ∴ BC=BD﹣ CD=（ 5 ﹣ 5 ）海里， ∵ 中國海監(jiān)船以每小時 30海里的速度航行，某國軍艦正以每小時 13海里的速度航行， ∴ 海監(jiān)船到達 C點所用的時間 t= = = （小時）； 某國軍艦到達 C點所用的時間 i= = ≈ =（小時）， ∵ ＜ ， ∴ 中國海監(jiān)船能及時趕到． 24．現(xiàn)有一塊等腰三角形板，量得周長為 32cm，底比一腰多 2cm，若把這個三角形紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個四邊形，請畫出你能拼成的 各種四邊形的示意圖，并計算拼成的各個四邊形的兩條對角線長的和． 【考點】 圖形的剪拼． 【分析】 根據(jù)題意畫出所有的四邊形，再根據(jù)勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)分別進行計算即可求出各個四邊形的兩條對角線長的和． 【解答】 解： ∵ 等腰三角形的周長為 32cm，底比一腰多 2cm， ∴ 等腰三角形的腰長為 10cm，底為 12cm，底邊上的高為 8cm． 拼成的各種四邊形如下： ① ∵ BD=10， ∴ 四邊形的兩條對角線長的和是 10 2=20（ cm）； ② ∵ AC= = =4 ， ∴ 四邊形的兩條對角線長的和是 AC+BD=4 +8（ cm）； ③ ∵ BD= = =2 ； ∴ 四邊形的兩條對角線長的和是： AC+BD=6+2 （ cm）； ④ ∵ BO=AB?BC247。 ， AC=10海里， ∴△ ACD是等腰直角三角形， ∴ AD=CD= ==5 （海里）， 在 Rt△ ABD中， ∵∠ DAB=60176。 方向的 B地，有一艘某國軍艦正以每小時 13海里的速度向正西方向的 C地行駛，企圖抓捕正在 C地捕魚的中國漁民，此時， C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45176。 ， ∴∠ QAE=45176。 后，得到 △ ABQ， ∴ QB=DF， AQ=AF， ∠ BAQ=∠ DAF， ∵∠ EAF=45176。 ，將 △ ADF 繞點 A順時針旋轉(zhuǎn) 90176。 ； ∵ Rt△ ABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動的翻轉(zhuǎn)，且點 A第 3次落在直線 l上時，有 3個 的長， 2個 的長， ∴ 點 A經(jīng)過的路線長 = 3+ 2=（ 4+ ） π ．