期權(quán)定價(jià)的數(shù)值策略(參考版)
2025-01-11 17:31本頁(yè)面
【正文】 答案：為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于）。 同時(shí)有限差分方法也不善于處理期權(quán)價(jià)值取決于標(biāo)的變量歷史路徑的情況。 變量置換： 在使用有限差分方法時(shí)，人們常常把標(biāo)的變量 置換為。但是，顯性方法存在一個(gè)缺陷：它的三個(gè)“概率”可能小于零，這導(dǎo)致了這種方法的不穩(wěn)定，它的解有可能不收斂于偏微分方程的解。 1M? 1 , 1 1 , 1 , 1 ,j N j j N j j N j N ja f b f c f f? ? ? ? ?? ? ?1,..., 1jM??0j? 1,0NfX? ?jM1, 0NMf ?1,Njf ?0,jfjS? f? 頁(yè)面呈現(xiàn) 顯性有限差分法： 其中， 即直接從 時(shí)刻的三個(gè)相鄰格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值求出 時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格為 時(shí)的期權(quán)價(jià)值，可理解為從格點(diǎn)圖外部推知內(nèi)部格點(diǎn)期權(quán)價(jià)值的方法 * * *, 1 , 1 1 , 1 , 1i j j i j j i j j i jf a f b f c f? ? ? ? ?? ? ?* 2 21 1 11 2 2ja rj t j trt ???? ? ? ? ????? ??? ?* 2 21 11jb j trt ?? ? ???* 2 21 1 11 2 2jc rj t j trt ?? ? ? ???? ?1it??it?jS?ijf 1, 1ijf ??1,ijf ?1, 1ijf ??? 有限差分方法 樹圖方法 相同點(diǎn)：兩種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng) 不同點(diǎn)：樹圖方法中包含了資產(chǎn)價(jià)格的擴(kuò)散和波動(dòng)率情形； 有限差分方法中的格點(diǎn)則是固定均勻的，只是參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的變化，以反映改變了的擴(kuò)散情形。如圖所示： ijf,1ijf ?1,ijf ?,1ijf ?下面介紹一下 、 和 的差分近似 － (2) 、 和 的差分近似 ft??S?22fS? ft??fS?22fS?? 1. 的近似 對(duì)于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn) ，期權(quán)價(jià)值對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來(lái)表示： 、 和 2. 的近似 對(duì)于 點(diǎn)處的 ，我們則采取前向差分近似以使 時(shí)刻的值和 時(shí)刻的值相關(guān)聯(lián)： 3. 的近似 點(diǎn) 處的 的后向差分近似為 ，因此點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階差分為 這個(gè)二階差分也是中心差分，其誤差為 。 ? 222212f f frS S rft S S?? ? ?? ? ?? ? ?轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，即用離散算子逼近 、 和 各項(xiàng)，之后用迭代法求解，得到期權(quán)價(jià)值。 2. 模擬運(yùn)算次數(shù)的確定 如果對(duì)估計(jì)值要求 95％的置信度，則期權(quán)價(jià)值應(yīng)滿足 （ 是進(jìn)行運(yùn)算的個(gè)數(shù)， 為均值， 是標(biāo)準(zhǔn)差） ?1216iiR?????iR? ?1 12i?? 6 6fMM????? ? ? ?M??? （一）對(duì)偶變量技術(shù) （二）控制方差技術(shù) （三）重點(diǎn)抽樣法 （四）間隔抽樣法 （五）樣本矩匹配法 （六）準(zhǔn)隨機(jī)序列抽樣法 （七）樹圖取樣法 ? 主要優(yōu)點(diǎn)： 1. 在大多數(shù)情況下，人們可以很直接地應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法，而無(wú)需對(duì)期權(quán)定價(jià)模型有深刻的理解 2. 蒙特卡羅模擬的適用情形相當(dāng)廣泛 主要缺點(diǎn)： 1. 只能為歐式期權(quán)定價(jià)，難以處理提前執(zhí)行的情形。 ? ??rT Tf e E f?????E? ? rT Tf E e f???? ??r? 隨機(jī)樣本的產(chǎn)生和模擬運(yùn)算次數(shù)的確定： 1. 的產(chǎn)生 是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。 的離散過(guò)程可以寫為： i? （期權(quán)依賴于 個(gè)變量， ， 為 的波動(dòng)率， 為 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望增長(zhǎng)率， 為 和 之間的瞬間相關(guān)系數(shù)） ? ? ? ? ? ? ? ??i i i i i i it t t m t t s t t? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?n ? ?1i in? ??is??imi? ik?i?k? 常數(shù)利率和隨機(jī)利率的蒙特卡羅模擬 利率為常數(shù)時(shí)：期權(quán)價(jià)值為（初始時(shí)刻設(shè)為 0）： . 其中， 表示風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望。 0t??? Monte Ca
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