【正文】 則 D（ 0，﹣ 1， 0）， B（ 0， 1， 0）， E（ ）， F（ ）， ， ， 設(shè)平面 BEF 的一個法向量為 ，則 ， 取 z=2，可得平面 BEF 的一個法向量為 ， 同理可求得平面 DEF 的一個法向量為 ， ∴ cos＜ ＞ = = ， ∴ 二面角 B﹣ EF﹣ D 的余弦值為 ． 19．某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實(shí)行 “階梯式 ”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過 200 度的部分按 元 /度收費(fèi)，超過 200 度但不超過 400 度的部分按 元 /度收費(fèi)，超過 400 度的部分按 元 /度收費(fèi)． （ 1）求某戶居民用電費(fèi)用 y（單位：元）關(guān)于月用電量 x（單位：度）的函數(shù)解析式； （ 2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年 1 月份 100 戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這 100 戶居民中，今年 1 月份用電費(fèi)用不超過 260 元的點(diǎn) 80%，求 a， b 的值； （ 3）在滿足（ 2）的條件下，若以這 100 戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，記 Y 為該居民用戶 1 月份的用電費(fèi)用，求 Y 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī) 變量及其分布列． 【分析】 （ 1）利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可得出． （ 2）利用（ 1），結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出． （ 3）由題意可知 X 可取 50， 150， 250， 350， 450， 550．結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出． 【解答】 解：（ 1）當(dāng) 0≤ x≤ 200 時(shí)， y=； 當(dāng) 200＜ x≤ 400 時(shí)， y= 200+ （ x﹣ 200） =﹣ 60， 當(dāng) x＞ 400 時(shí)， y= 200+ 200+ （ x﹣ 400） =x﹣ 140， 所以 y 與 x 之間的函數(shù)解析式為： y= ． （ 2）由（ 1）可知：當(dāng) y=260 時(shí)， x=400，則 P（ x≤ 400） =， 結(jié)合頻率分布直方圖可知： +2 100b+=， 100a+=， ∴ a=， b=． （ 3）由題意可知 X 可取 50， 150， 250， 350， 450， 550． 當(dāng) x=50 時(shí)， y= 50=25， ∴ P（ y=25） =， 當(dāng) x=150 時(shí)， y= 150=75， ∴ P（ y=75） =， 當(dāng) x=250 時(shí)， y= 200+ 50=140， ∴ P（ y=140） =， 當(dāng) x=350 時(shí)， y= 200+ 150=220， ∴ P（ y=220） =， 當(dāng) x=450 時(shí)， y= 200+ 200+ 50=310， ∴ P（ y=310） =， 當(dāng) x=550 時(shí)， y= 200 200+ 150=410， ∴ P（ y=410） =． 故 Y 的概率分布列為： Y 25 75 140 220 310 410 P 所以隨機(jī)變量 Y 的數(shù)學(xué)期望 EY=25 +75 +140 +220 +310 +410 =． 20．已成橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）的左右頂點(diǎn)分別為 A A2，上下頂點(diǎn)分別為 B2/B1，左右焦點(diǎn)分別為 F F2，其中長軸長為 4，且圓 O： x2+y2= 為菱形 A1B1A2B2的內(nèi)切圓． （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）點(diǎn) N（ n， 0）為 x 軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn) N 作橢圓 C 的切線 l，記右焦點(diǎn)F2在 l 上的射影為 H，若 △ F1HN 的面積不小于 n2，求 n 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】 （ 1）由題意求得 a，直線 A2B2的方程為 ，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求 得 b 的值，求得橢圓 C 的方程； （ 2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由 △ =0，求得 m和 n 的關(guān)系，利用三角形的面積公式，求得 m的取值范圍，代入即可求得 n 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1）由題意知 2a=4，所以 a=2， 所以 A1（﹣ 2， 0）， A2（ 2， 0）， B1（ 0，﹣ b）， B2（ 0， b），則 直線 A2B2的方程為 ，即 bx+2y﹣ 2b=0， 所以 = ，解得 b2=3， 故橢圓 C 的方程為 ； （ 2）由題意，可設(shè)直線 l 的方程為 x=my+n， m≠ 0， 聯(lián)立 ，消去 x 得（ 3m2+4） y2+6mny+3（ n2﹣ 4） =0，（ *） 由直線 l 與橢圓 C 相切，得 △ =（ 6mn） 2﹣ 4 3 （ 3m2+4）（ n2﹣ 4） =0， 化簡得 3m2﹣ n2+4=0， 設(shè)點(diǎn) H（ mt+n， t），由（ 1）知 F1（﹣ 1， 0）， F2（ 1， 0），則 ? =﹣ 1， 解得： t=﹣ ， 所以 △ F1HN 的面積 = （ n+1）丨﹣ 丨 = ， 代入 3m2﹣ n2+4=0，消去 n 化簡得 = 丨 m 丨， 所以 丨 m丨 ≥ n2= （ 3m2+4），解得 ≤ 丨 m丨 ≤ 2，即 ≤ m2≤ 4， 從而 ≤ ≤ 4，又 n＞ 0， 所以 ≤ n≤ 4， 故 n 的取值范圍為 [ ， 4]． 21．已知函數(shù) f（ x） =xlnx， e 為自然對數(shù)的底數(shù)． （ 1）求曲線 y=f（ x）在 x=e﹣ 2處的切線方程； （ 2）關(guān)于 x 的不等式 f（ x） ≥ λ（ x﹣ 1）在（ 0， +∞ ）上恒成立，求實(shí)數(shù) λ 的值； （ 3）關(guān)于 x 的方程 f（ x） =a 有兩個實(shí)根 x1， x2，求證： |x1﹣ x2|＜ 2a+1+e﹣ 2． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算 f′（ e﹣ 2）和 f（ e﹣ 2）的值，求出切線方程即可； （ 2）求出函數(shù) g（ x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值，從而求出 λ 的值即可； （ 3）記 h（ x） =f（ x）﹣（﹣ x﹣ e﹣ 2） =xlnx+x+e﹣ 2，求出 h（ x）的最小值，得到 a= ﹣ 1=f（ x2） ≥ x2﹣ 1，得到 |x1﹣ x2|=x2﹣ x1≤ ﹣ ，從而證出結(jié)論． 【解答】 解（ 1）對函數(shù) f（ x）求導(dǎo)得 f′（ x） =lnx+1， ∴ f′（ e﹣ 2） =lne﹣ 2+1=﹣ 1， 又 f（ e﹣ 2） =e﹣ 2lne﹣ 2=﹣ 2e﹣ 2， ∴ 曲線 y=f（ x）在 x=e﹣ 2處的切線方程為 y﹣（﹣ 2e﹣ 2） =﹣（ x﹣ e﹣ 2）， 即 y=﹣ x﹣ e﹣ 2； （ 2）記 g（ x） =f（ x）﹣ λ（ x﹣ 1） =xlnx﹣ λ（ x﹣ 1），其中 x＞ 0， 由題意知 g（ x） ≥ 0 在（ 0， +∞ ）上恒成立， 下面求函數(shù) g（ x）的最小值， 對 g（ x）求導(dǎo)得 g′（ x） =lnx+1﹣ λ， 令 g′（ x） =0，得 x=eλ﹣ 1， 當(dāng) x 變化時(shí)， g′（ x）， g（ x）變化情況列表如下： x （ 0， eλ﹣ 1） eλ﹣ 1 （ eλ﹣ 1， +∞ ） g′（ x） ﹣ 0 + g（